四川省成都市第二中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

**基本信息** 高中数学期末试卷通过现实情境问题设计，整合抽象能力、推理意识与模型意识，实现基础知识与创新应用的有机融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/70|函数与导数、立体几何、概率统计|以科技前沿数据为背景，设置多问梯度，考查数学建模与逻辑推理| |选择题|12/60|集合、数列、解析几何|结合文化传承素材，基础题占比60%，注重抽象能力与几何直观|

2025-2026学年四川省成都市第二中学高三上期期末考试 数学 (总分：150分，考试时间：120分钟) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知空间向量a=(1,-2,-1),b=(2,-2,x),若a16,则x=() A.6 B.2 C.6 D.2 2.已知命题P:3x>1,x2-1>0,那么P是() A.x>1,x2-1>0 B.x>1,x2-1≤0 C.3x>1,x2-1≤0 D.3r≤1，x2-1≤0 3.已知数列{an}是等比数列，若a,a2s是方程x2-9x+2=0的两个根，则 log2a1+log242+log2a3+…+log2a6的值为() A.1013 B.2026 3 C.2023 D.1022 4.如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计， 在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性，生产工艺 和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为”，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间部分）的面积 为() 图2 9 5、已知双曲线C:号若-1(a>06>0)的左、右能点分别为R,,者双曲线右支上 点P满足PF=3PF且∠FPF=60°，则双曲线C的离心率为() A. B.7 1 4 2 0 试卷第1页，共4页 6.已知实数x,y满足(x+3)+y2=4,则3x+4y-2的最大值为() A.1 B.11 C.21 D.31 7.已知a>0,b>0,若c-e0=1-a-2b,则+的最小值为（） b ab A.3 B.3+2W2 C.6 D.6+4V2 已强数国a:在：，起37B4.专mk-6 f(2x)+2 若g(x)=f(3x)+3f(x),则g(x)在x∈[0，m上的最大值为() A.2+1B.√2-1 C.22 D.1 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分. 9.下列说法正确的是() A.数据12,13,14,15,17,19,23,24,2730的70%分位数是23 B.二项式 2x-9 的展开式中各项系数的和为1，则a=1 C.已知A,B相互独立，且0<P(B)<1,P(A|B)=0.6,则P(A)=0.6 D.若己知数据x,2,…,xo的方差为3，则数据3x1+5,3x2+5,,3x20+5的方差为27 10.已知log2a>logob,则() B.0.2°>0.24 C.In b-a>0 b A.a°2<b02 D.In 1l.函数f(x)=a+bx2+cx+d(a≠0)的图象如图所示，设(x)是函数f(x)的导函数，则下列结 论正确的是() A.(x)>0的解集是(2,5) B.3a+2b+c=0 C.x=2时，'(x)取得最大值 D.f(x)f(x)>0的解集是(-o,-1)U(1,2)U(3,5) 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. [e2-,x≤1 12.已知函数f(x)= ,则ff(-1》= Inx,x>I 13.如图，线段AB,BD在平面a内，AC⊥a,∠ABD=60°，且AC=√5，AB=4,BD=5,则 CD= D 14.在平面直角坐标系xOy中，关于曲线C:x+y=x2+y2(x2+y2≠0)，下列四个结论： ①曲线C有且仅有一条对称轴： ②曲线C恰好经过8个整点（横坐标与纵坐标都为整数的点，称为整点）： ③曲线C所围成的区域面积S>4: ④曲线C上的点与原点的距离最大值为√. 其中正确结论的序号是 (选不全不得分) 四、解答题：共5道题，77分.其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各 17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=9,9a,+a=54 11 (1)求an和Sn: -++ 124 2设b,=log,a,证明：bb+b,Ab.b 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/IBC,PA=2,AB=1, BC=1,AD=2,M是PD的中点. (I)求证：CM//平面PAB: (2)已知AB⊥AD,求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： 试卷第3页，共4页 17.2025年“十一“黄金周期间，某市文旅局对五大热门景区的游客数据进行了统计.己知前五日 每日总游客接待量(x,单位：万人次)与全市旅游综合收入(y,单位：亿元)的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 y 6 7 8 6.5 5.5 (1)根据数据建立旅游综合收入y关于游客接待量x的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到 38万人次时，该市旅游综合收入的估计值： (2)在“十一”黄金周期间，其中某一个景区单日客流量超过承载上限(5万人次)的概率为0.4.在 黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为X,求X的分布列及数学期望. 2x=15.2x=48452xy=1035,6= 26-0-可 参考数据、公式： a=y-bx 2-可 1区已知双自线C:号芳=6>0点0为坐标限点过C的右售直的直我I交C的右支于PQ 两点，当1⊥x轴时，Pg=2√2. ()求C的方程： (2)求△0PQ面积的最小值. (3)过点P作直线x=1的垂线，垂足为N,证明：直线OW过定点. 19.已知函数f(x)=lnx+a-1(a∈R). ()讨论f(x)的单调性： (2)若fc+心)<a-ar对所有x>0成立，求a的最大值： x+e (3)设g(x)=f(x)+x-1,若g(x)有两个零点x,x(x<x),求证：x+x2<2. 试卷第4页，共4页 2025-2026学年四川省成都市第二中学高三上期期末考试-数学参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D C 9 10 11 12 13 14 BCD ABD BC 3 2V6 ②③④ 7.D【详解】令f(x)=e+x,对f(x)求导得f(x)=e+l. :e>0,f'(x)=e+1>0恒成立 ∴f(x)=e+x在R上单调递增 整理e-e2h=1-a-2b得e-1+a-1=e2h-2b, 由f(x)=e+x在R上单调递增知a-1=-2b,即a+2b=1 -…22别 b abab ab a b +=2+》上6+42故选：D b ab a b 2s1 8.C【详解】两数f=sm,则-2s22)s2.-1≤/2)1所以5f2 3s2 若#在5，，满起2eH24,则B=1.)= f(2x,)+2 则2=受+2kx低eZ).即5=骨+ka6eZ列. 4 则26=+2k%e2,即6=+6eZ, 4 所以令m--x-骨+42 x,元_花 g(x)=f(3x)+3f(x)=sin3x+3sinx, sin 3x=sin(2x+x)=sin 2xcosx+cos 2xsinx=2sin xcos2x+(1-2sin2x)sinx =2sinx(1-sin2x)+(1-2sin'x)sinx =3sinx-4sin'x 所以g(x)=sin3x+3sinx=6sinx-4sin'x,令sinx=1∈[0，l], 答案第1页，共8页 则h(0=61-4r(∈[0，])， 则h'()=6-122, 当10,2时，0>0，)单调递增 '(<0,h(t)单调递减， 所以h)= (√2 =22 2 所以g(x)在x∈[0，m]上的最大值为2√互，故选：C 11.BC【详解】对于A项，由图象可得，函数f(x)在(L,3)上单调递增， 所以'(x)>0的解集是(L,3),故A项错误： 对于B项，因为f(x)=3a2+2br+c,又由图象知，函数f(x)在x=1处取得极小值， 所以有'(1)=3a+2b+c=0,故B项正确： 对于C项，由图象知，当x∈(1,3)时，f(x)单调递增，则'(x)>0: 当x∈(-o,)时，f(x)单调递减，则'(x)<0: 当xe(3,+o)时，f(x)单调递减，则f'(x)<0. 所以(x)<0的解集为(-o,1)U(3,+∞)，(x)>0的解集为(1,3). 又f'(x)=3ar2+2br+c为二次函数，根据二次函数的图象可知a<0. 因为函数f(x)在x=1以及x=3处取得极值， [f'(1)=03a+2b+c=0 =-6a 所以有)=0即27a+6动+c-=0所以 c=9a' 所以f'(x)=3ar2+2hr+c=3ax2-12ax+9a=3a6-2)23a, 因为a<0,所以x=2时，f'(x)取得最大值，故C项正确： 对于D项，由ff()>0可得因>0或)<0 f'(x)>0f'(x)<01 由图象知，当x∈(-o,-1U(2,5)时，f(x)>0. 答案第2页，共8页 又(x)>0的解集为(1,3).所以由 广g>0可得xe2,3): f(x)>0 由图象知，当x∈(-1,2)U(5,+o)时，f(x)<0. 又f'(x)<0的解集为(-oo,I)U(3,+o). f(x)<0 所以由 /x<0可得xe(-lU5,+o). 所以，(x)∫'(x)>0的解集是(-1，)U(2,3)U(5,+∞)，故D项错误.故选：BC. 14.②③④【详解】用-y代替y,-x代替x,代入曲线方程，方程不变，所以曲线关于x轴、y轴对称， 用x代替y,y代替x,代入曲线方程，方程不变，所以曲线关于直线=x均对称，①不正确。 当x=1时，1+y=1+y2,解得y=±1，y=0: 当x=0时，y=y2,解得y=±1，y=0(舍)： 当22或≥2时，x≥4x2>x2,方程不成立， 得到整点：(1,0).(0，±1)，（仕1，±1），共8个，②正确. 曲线经过整点（仕1,0），(0，±)，（仕1，±），这些点构成一个边长为2的正方形（顶点为（仕1，±）)，该正方形面 积为4， 当x号时，代入方程可得少-少0 0 81 令0)=y上和，因为⑩<0，②>0，所以/0)必有一个大于1的零点， 即在该正方形外部还有点，故面积S>4,③正确」 设点与原点距离为，则r2=x2+y2,方程可化为r-r2=2xy2>0, 解得2≥1或<0（含去），又由r+y之任+，可得r52 2 因此曲线C上的点与原点的距离的最大值为√2，当x=1,y=1时取到最大值，④正确。 15.【详解】（1)由{a,}为等比数列，9%，+4，=54，可得90+a,g=54, 9 即81+9g=54,42-6g+9=0,解得9=3， 所以a=4=3,a,=3×34=3”,S= 31-3”）3m1-3 1-3 2 答案第3页，共8页 o侧号站g日 2 11 片动4 bba bbs bpad 14 因为0，所以1-点<1.从面点点++6 11 16.【详解】(1) 取PA中点N,M为PD中点， CMNIAD,且W=AD 又'BC=I,BC∥AD .BCIN,且BC=MN, ∴.四边形BCMN为平行四边形，即CMIIBN,BNc平面PAB,CMa平面PAB, .CM∥平面PAB: (2):PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 则以点A为坐标原点，AB,AD,AP方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), AB=(1,0,0),AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2),CD=(-1,1,0), 因为PA⊥平面ABCD,且PAC平面PAB, 所以平面PAB⊥平面ABCD, 又因为平面PABO平面ABCD=AB,AB⊥AD,ADC平面ABCD, 所以AD⊥平面PAB, 所以平面PAB的一个法向量为片D=m=(0,10), 设平面PCD的法向量为（化，，）， PD.n2 =2y-2z=0 西元=x+y=0,令x=1,则元=1， 答案第4页，共8页 1 ..cos(m,n= 12+1+1 3 ∴.平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为 D方 B 17.【详解】(1)因为x=31,下=6.6 立-两 所以6= 1035-5x31×6.6_12-0.3. 2 4845-5×31×3140 ā=y-m=6.6-0.3×31=-2.7 所以回归方程为：y=-2.7+0.3x,，当x=38时，y=-2.7+0.3×38=8.7 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元. (2)由题意可知，X~43号引X=0123 Px-2-c号 Px=到-= 所以X的分布列为： X 0 2 3 27 54 36 8 125 125 125 125 E(X)=p=3×2-5=1.2 55 18.【详解】(1)由1⊥x轴时，Pg=22,可令P(c,V2), 代入双曲线得S-2=1,又因为心=2+b2, 26 解得=2，则所求方程为二上=1： 22 答案第5页，共8页 (2)设P(x,片)，Q(x2,),由(1)知F(2,0), 由1斜率不为0，可设1：x=my+2, 联立双曲线并整理得(m2-1)y2+4my+2=0, 则m2-1≠0，△=8m2+8>0, 4m m275 2 所以y+为2= m2-1 SAoPQ =IOFlly1-y2l =y1+y2)2-4y1y2 =2v2 m2+1 √0m2-1)2 m2-1≠0 由①得8(m2+1)>0,解得0≤m2<1,令1=m2-1∈[1,0)， 2 m -<0 则5=22：受=2层+=222+)-言 因为1e-10),所以e(←o,-小，则So0≥2W2,当1=-1时取等号， 所以SAoPQ的最小值为2V2. (3)由题知N(L),由(1)知F(2,0), 4 2 由(2)知y+为= m二4=m六 由5≠1，直线NQ:y=片二当(x-+, 3-1 根据双曲线的对称性，直线Q所过定点必在x轴上， 令y=0,则二出(x-)+=0,解得x=么二少5 3-1 2- 因为=，+2，所以x=业-m少-2当 2- 而当+上=-2m,所以4十业=-m为，则x= %+”-23, 2 y 2 2- 2 所以过定点M0: 答案第6页，共8页 1.【详解1)函数)=n+是1的定义城为®+小，八-是- 2, 当a≤0时，x-a>0,即f(x)>0在(0，+∞)上恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=a, f'(x)>0→x>a,即f(x)在(a,+o)上单调递增. ∫(x)<0→0<x<a,即f(x)在(0，a)上单调递减. 综上， 当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增. (②方法一：(x+e)<a-ar对所有x>0成立，即ln(x+e)+a-1<0对所有x>0成立： x+e 令h)=lhx+e)+a-l,h0)=0.则h(0)≤0，即a≤-I 再证充分性：as-则nx+e+ar-1≤ln(x+e)-Lx-l e 令F)=1nx+e)-x-1FW=L-,当x>0时，F(<0恒成立 e xte e .F(x)在(0，+o)上单调递减。即F(x)<F(O)=0 1 ∴.ln(x+e)-二x-1<0即ln(x+e)+ar-1<0成立. e 方法二：分离变量，洛比达法则可做。 (3)g(x)=fx)+x-1=lnx+0-1+x-1=nx++x-2 g)=+1-9=+-a,且x>0, 令g'(x)=0,得x2+x-a=0, 由g()有两个零点，且2+x-a=0有唯一的正根=-1++4和，此时a>0, 2 当0<x<x时，g(x)<0,g(x)在(0，x)单调递减， 当x>x时，g(x)>0,g(x)在(，+0)单调递增 所以x是g(x)的极小值点，且g(x)<0,两个零点满足0<x<x。<2. 因为g(x)=0,解得a=x(2-x-lnx), 答案第7页，共8页 又因为g)=a-1,g()=lnx+x,+。-2,且x是g()的极小值点， 所以g'(x)=0→a=x后+x,将a代入得到g()=lnx。+2x。-1, 若x。≥1，则g(x)>0,与g(x)<0矛盾， 所以x<1,即x<x<1,可以得到2-x>1>. 所以2-x位于g(x)的递增区间(x,+0)内. g2-)=n(2-+(2-+222=la-)+22 a 将a=x(2-x-1nx)代入得，g2-x)=ln(2-x)+-n=n(2-)专ns, 2-x 2-x 因为0<x<1,所以g(2-x)>0=g(x2), 又，与2-x都在g(x)的递增区间(，+∞)内， 所以有2-x>x2,即x+x2<2 答案第8页，共8页