江苏省如皋中学2024-2025学年高三上学期期初考试数学试题

徐州 江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试 数学试卷 1、 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集 合为（    ） A． B． C． D． 2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4. 方程的实数解有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6. 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线 右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（    ） A． B． C． D．3 8. 已知分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知，，则椭圆的离心率为 （    ） A． B． C． D． 二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 已知曲线C：，下列结论中正确的有（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则C是两条直线 10. 如图，正方体的棱长为4， 点是其侧面上的一个动点（含边界）， 点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得二面角大小为 B．存在点，使得平面与平面平行 C．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 D．当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为 11. 已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则 A．抛物线的方程为 B．直线一定过抛物线的焦点 （    ） C．线段长的最小值为 D． 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 过点的等轴双曲线的方程为 . 13. 过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为 ． 14. 已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 16. 设椭圆的左焦点为，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为． (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设l上两点P，Q，关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线 与x轴相交于点D．若的面积为，求直线AP的方程． 17. 如图，直三棱柱的体积为1，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 18. 设双曲线的方程为，直线过抛物线的焦点和点.已知的焦距为且一条渐近线与平行. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线过双曲线上的右焦点，若与交于点（其中点在第一象限），与直线交于点，过作平行于的直线分别交直线轴于 点，求. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试 数学答案 1.【答案】A 【详解】因为，， 所以，所以， 即图中阴影部分表示的集合为.故选：A 2. 【答案】B 【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为， 则由，得，所以， 所以．故选：B． 3. 【答案】C 【详解】设抛物线方程为或， 依题意知，∴.∴抛物线方程为.故选：C. 4. 【答案】C 【详解】，所以或，所以或， 所以方程的实数解有2个.故选：C. 5. 【答案】B 【详解】设，由题可知，， 则，所以，即，解得， 所以，则，所以，故选：B． 6. 【答案】B 【详解】由圆的方程为可得圆心，半径， 若圆与函数相交，则圆心到直线的距离， 即，若函数图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部， 即，解得， 综上函数的图象与圆有四个公共点则， 所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B 7. 【答案】D 【详解】因为点M，N分别在双曲线C的右支和左支上，所以．又，，，所以，解得，， 所以，所以是直角． 在中，，所以，解得， 所以，即．又的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，所以，所以点的坐标满足，解得， 所以，故.故选：D． 8. A 解：试题分析：如图所示，设，因为，所以， ， 所以，解得，所以， ，在中，由余弦定理得 ，化为，所以 ，化简得，所以， 9. 【答案】CD 【详解】对于A，若，则可化为，∴，∴，即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故A不正确； 对于B，若，则可化为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为，此时曲线C表示双曲线，由可得，故C正确； 对于D，若，，则可化为，，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 故选： CD. 10. 【答案】BC 【详解】对于A，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以A错误； 对于B，如图所示，当M为中点，为中点时， 在正方体中，可得， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为，且平面，且平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面，所以B正确；  对于C，如图所示，取中点，连接，，， 在正方体中，平面，且， 所以平面，因为平面，可得， 则， 则点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为2的劣弧， 分别交，于，如图所示，则， 结合对称性可知，， 则，劣弧的长为，所以C正确； 对于D，当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面， 连接与交于点，可得， 所以四棱锥外接球的球心即为与的交点， 所以四棱锥外接球的半径为，其外接球的体积为，所以D错误.故选：BC. 11. 【答案】ACD 【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程为， 因为抛物线上存在一点到其焦点的距离为， 由抛物线的定义可得，可得， 所以抛物线的方程为，所以A正确； 设，显然直线的斜率存在且不为0，设斜率为， 可得的方程为， 联立方程组，整理得， 因为是抛物线的切线，所以，即， 且点的纵坐标为，代入抛物线方程，可得横坐标为，即， 设直线的斜率存在且不为0，设斜率为， 同理可得：，且， 所以是方程的两个不等式的实数根，所以， 因为， 所以，所以D正确； 由，且，可得， 则直线的方程为，即， 又由，可得， 所以，即， 所以直线一定过定点，该点不是抛物线的焦点，所以B不正确. 由直线的斜率不为0，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得，所以， 则 ，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为，所以C正确.故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 过点的等轴双曲线的方程为 . 13. 过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】根据题意，将曲线，变形为，，分析可得其为圆的上部分， 结合直线与圆的位置关系即可． 【详解】由题意可设直线，又曲线可化为，， 作出直线l与曲线的图象如图所示： 设图中直线，，，的斜率分别为，，，， 则，，， 又直线的方程为， 圆心到直线的距离为，解得（舍去）或， 要使两图象有两个不同的交点，则．故答案为： 14. 已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点代入可得． 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点可作三条直线与曲线相切． 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【详解】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 16. 【详解】（1）依题意设点，因，且， 由对称性知抛物线的准线方程为，则，解得，，， 于是． 从而得椭圆的方程为，抛物线的方程为． （2）由于准线方程为，依题意设，则． 因，则，得直线方程为①， 将①式代入中化简，得， 设，由韦达定理得，则， 即，则，于是得直线方程为， 令，解得，即．则， 于是，化简得，即得， 代入①式化简，得直线方程为，或. 17. 【详解】（1）直三棱柱的体积为：， 则，四边形为正方形， 法一：在直棱柱中，面，， 又平面，则， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，所以， 在正方形中，有， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 法二：直棱柱，平面，又， 以为原点，，，所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，所以． （2）由（1）得， 设，在中，过作于，连接， 因为，，平面，且， 所以平面，又平面， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为，，得， 又在中，，得， ， 所以二面角的余弦值为． 法二： ，，，，， ，，设平面的法向量：， 则，取，得， ，，设面的法向量， 则，取，得， 设二面角的大小为，则： ， 因为为锐角，所以二面角余弦值为． 18.解：因为拋物线的焦点为，所以直线的斜率， 因为双曲线的一条渐近线与平行，所以，即.又因为双曲线的焦距为，即， 所以，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 双曲线的右焦点为， 由题意知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 联立，消去得， 且，所以， 将代入得，所以. 直线方程为，与直线联立， 可得， 因为，所以. 因为，所以，所以为的中点，即. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 【详解】（1）由题意得，，则， 由，解得．显然， 若，则当时，单调递增，当时，单调递减； 若，则当时，单调递减，当时，单调递增． 综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． （2）（i）由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． （ii）不妨设，则，且． 解法一： 当时，，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 解法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增， 又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$