函数的值域（最值）高频考点专项练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数值域（最值）高频考点，以多元方法体系（基本不等式、单调性等）为核心，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养逻辑推理与直观想象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法应用|单选1-5、填空12|配方法、单调性法、基本不等式|从函数定义出发，结合定义域分析值域，强化概念与运算能力| |函数性质综合|单选6-8、多选9-11|奇偶性、对称性、分段函数分析|通过函数性质（奇偶性、单调性）推导值域，体现数学抽象与逻辑推理| |跨模块结合|解答15-19|换元法、数形结合、分类讨论|融合三角、不等式等知识，构建知识网络，提升综合应用与模型意识|

函数的值域（最值） 高频考点专项练 2027届高中数学高考一轮复习备考 一、单选题 1．定义二元函数.若实数，，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设，函数则（    ） A．是偶函数，且有最大值 B．是偶函数，且没有最大值 C．是奇函数，且有最大值 D．是奇函数，且没有最大值 7．设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．在上是减函数 D．的最小值为2 8．已知函数的图象的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设正实数m、n满足，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．mn的最大值为 D．的最小值为 10．在锐角中，内角的对边分别为，满足．则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．若，则的最小值为2 11．下列函数中，对于任意使得有意义的，始终存在常数，使得在区间上的最大值与最小值之差为的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知,则函数的最大值与最小值的和为__________． 13．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______． 14．已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数均有，则：①     ；  ②的值域为  ；  ③  ；④是奇函数，则上述结论正确的序号是__________. 四、解答题 15．已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 16．求的值域. 17．已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 18．求函数的最小值与最大值． 19．已知函数的定义域、值域均为，定义集合． (1)当，，求； (2)当，，求； (3)给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有； ②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有．判断这两个结论是否正确，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D B B D C ACD ABC 题号 11 答案 BC 1．B 根据给定条件，结合基本不等式，配方法求出最小值. 二元函数，则 ，当且仅当时取等号， 故选：B 2．A 利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 3．D 令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 4．D 根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 5．B 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 6．B 根据分段函数节点，结合函数奇偶性的定义分类讨论可以判断函数为偶函数；结合分段函数在不同区间的单调性和最值即可判断是否有最大值. 函数定义域为，关于原点对称，对任意可得： 若，则，代入得： 若，则，代入得： 若，代入得： 对所有都满足，因此是偶函数. ①当时，，，函数单调递增，因此，开区间取不到，因此无法达到； ②当时，，，函数单调递减， 所以，同理开区间也无法取得； ③当时，，由得：，即，所以中间段最大值也小于, 综上所述，所有函数值都小于，且不存在使得，所以没有最大值. 7．D 令，，得，则或． 若，令，则对，， 这与“是定义在上的不恒为0的函数”矛盾， ，故A正确； 当时，由②可知； 当时，由选项A可知，； 当时，，由②可知， 令，，则，故； 综上，，，故B正确； 对，且，则，由②得， ，即， 在上为减函数，从而在上是减函数，故C正确； 在开区间上为减函数，没有最小值，故D错误． 8．C 由题意可得，令，可证函数是奇函数，进而可得关于点对称，然后结合二次函数的性质可求的最小值. 由， 可得，令， 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称， 所以关于点对称， 因为的对称中心在直线上，所以， 所以, 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 9．ACD 由题设得，结合指数函数性质判断A；应用三角换元、辅助角公式及正弦型函数性质求的范围判断B；应用基本不等式求最值判断C、D. 对于A，因为正实数m，n满足，则，，故，正确； 对于B，设，，，满足正实数m，n的关系式， 所以， 由于，所以，所以，错误； 对于C，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，正确； 对于D，因为，可得，当且仅当时等号成立，正确． 故选：ACD 10．ABC 利用余弦定理和均值不等式可判断A选项；利用和差化积以及积化和差公式将所求式子化为关于的函数，利用函数的单调性可判断B，C选项；D选项可构造反例解答. 由余弦定理 ， 代入 得 又由均值不等式 ，结合 得 ，即 ， 代入上式得，所以 由于为锐角，故，最大值为（当且仅当 时取等号），所以A 正确； 由正弦定理得 所以 利用和差化积公式： ， 代入即得 因为 ，且 ， 代入得 于是， ， 令，由题意为锐角三角形可知，， 所以，由知， 又 ，即， 解得，所以 则，令， 因为在上递减，在上递减， 所以函数在上单调递减， 所以，所以正确； 因为， 令，其中， 因为在上递减，在上递减， 所以函数在上单调递减，所以，所以正确； 对于D选项，取，此时，，满足， 因为，满足三个角均为锐角， 但，即此时，所以D错误. 11．BC 结合题目定义，根据各选项函数的性质分别判断即可． 要求函数在区间且上的最值之差等于, 对于选项A，函数的最值之差为， 若要其等于，则必须满足，这与任意有意义的均成立的要求矛盾，故A错误； 对于选项B，函数，令且， 当且时，由推导可得， 因为，因此必定存在正实数， 同理当时，由，推导可得，必定存在正实数， 当时显然存在，故B正确； 对于选项C，函数，令，且， 当时，由， 根据对数函数图像性质得，可知必定存在正实数， 当时由推导可得， 同理可知必定存在正实数，故C正确； 对于选项D，若，假设存在满足条件的正实数与，令， 因为，故有，由指数函数的单调性可知必有，则， 由于，必有，进而， 由和在的图像可知不等式无解，故D错误． 12．16 根据对勾函数的性质求解即可. 解：由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，， 所以， 所以. 故答案为： 13． 作出在内的图象，数形结合，将问题转化为斜率问题求解即可. 由得，作出在内的图象如图所示， 设， 直线恒过定点， 直线的斜率，直线的斜率， 所以数形结合可知，即的取值范围为． 故答案为：.      14．①③ 利用赋值法判断①和③的正误；设，代入已知等式即可验证②的正误；取，验证④的正误会. 对于①，令，可得，因为是非常数函数，所以不恒为0， 所以，故①正确． 对于③，令，则，可得， 即，故③正确． 对于②，根据，可取， 可知是定义域为的非常数函数， 且， 可知符合题意，但，故②错误． 对于④，例如，可知是定义域为的非常数函数， 且，注意到同号， 可得， 可知符合题意，但， 即为偶函数，故④错误． 故答案为：①③. 15．(1)证明:因为函数，且，所以，解得， 故. 任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 故函数在上为增函数. (2)最大值为5，最小值为4 （1）先由条件求出的值，再利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的单调性计算即得函数在给定区间上的最值. （1）略； （2）由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 16． 设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 17．， 将函数化成顶点式，然后分，和三种情况讨论求出，再分三种情况求的最大值即可. 由得， 当，即时， 的最小值为； 当，即时，在上为增函数， 所以最小值为； 当，即时，在上为减函数， 所以最小值为． 于是 当时，， 当，，一个开口向下的一元二次函数， 其对称轴，， 因此在内，； 当，，，其为一个减函数， 因此在，. 综上在处取得最大值为． 18．最小值－3，最大值 令转化为上半单位圆约束，设借助换元把原式化为关于的二次函数，先求出在上半单位圆下的取值范围，再结合二次函数单调性代入区间端点得到函数最值. 令，则,隐含的几何约束条件为：（且）． 原函数可重写为关于和的表达式：， 令，因为， 所以有交叉项． 将目标函数完全转化为关于的一元二次函数：， 由柯西不等式，，故． 当时取等号．所以． 因为，当时，若，则，；若，则； 在一、二象限单位圆上，的投影最小值发生在最左侧端点（即），所以． 因此，． 二次函数开口向上，对称轴为． 因为定义域区间整体在对称轴－1.5的右侧，函数在此区间单调递增． 所以最小值；·最大值. 19．(1) (2) 时； 当时，； 当时， (3) 对于①，假设在上单调递增函数， 对于任意实数， 因为，则，所以，故①正确； 对于②，设，当时，此时取， 则不满足 当时，，取，则， 因为，所以，所以，此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足， 综上，不存在实数，使得对任意均有，故②错误． （1）先计算，再代入得到关于的表达式，根据函数单调性确定该表达式的值域，即得到 （2）对的取值范围进行分类讨论：当时，代入对应分段解析式得到的表达式，结合求值域；当时，代入对应分段解析式，分别求出在和的值域，再合并得到 （3）结论①：构造一个满足条件的函数，即可证明结论正确；结论②：构造一个不满足题意的函数，即可证明结论错误 （1）由题意得，该函数在定义域上单调递减 故， （2）当时，，而 故 所以当时，，； 当时，,； 同理，当时， 即 令，有 故时，，当时， 综上知，时； 当时，； 当时， （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $