第26章 二次函数--求二次函数的解析式 专项提升 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数解析式求解，通过多题型系统覆盖待定系数法、顶点式、交点式及图形变换，强化运算能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |待定系数法|10题|三点设一般式、顶点设顶点式、交点设交点式|从基本形式到条件适配，构建“已知条件→解析式形式”推理链| |图形变换|5题|平移“左加右减，上加下减”、旋转180°变a符号|结合几何直观，实现代数表达与图形变换的转化| |综合应用|7题|对称轴与韦达定理结合、最值求参数|融合推理意识，提升复杂情境下的模型构建能力|

第26章 二次函数--求二次函数的解析式 专项提升 2026-2027学年 上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．已知二次函数的图象与y轴交点坐标为，与x轴交点坐标为和，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．如果二次函数图象的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么这个函数的解析式为（    ） A． B．或 C． D．或 3．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 A． B． C． D． 4．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（    ） A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3 5．将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（） A． B． C． D． 6．二次函数的图象经过（0，3），（-2，-5），（1，4）三点，则它的解析式为 A． B． C． D． 7．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2﹣3 C．y=﹣（x﹣2）2+3 D．y=﹣（x﹣2）2﹣3 8．如图，抛物线的表达式是（ ） A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2 C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2 9．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　　） A．y=﹣2x2+8x+3 B．y=﹣2x‑2﹣8x+3 C．y=﹣2x2+8x﹣5 D．y=﹣2x‑2﹣8x+2 10．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2－4x－1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(     ) A．y＝－x2＋2x＋4 B．y＝－ax2－2ax－3(a＞0) C．y＝－2x2－4x－5 D．y＝ax2－2ax＋a－3(a＜0) 二、填空题 11．若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为（0,－3）.则这个二次函数的表达式为__． 12．若抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，则这条抛物线的解析式为________． 13．请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是_____． 14．已知二次函数的图象经过原点及点（-2，-2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为___________ 15．抛物线中，已知，最小值为6，则此抛物线的解析式为___. 三、解答题 16．已知抛物线经过点. (1)求此抛物线的函数解析式，并写出此抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此抛物线上. 17．已知：抛物线经过坐标原点，且当时，y随x的增大而减小，求抛物线的解析式； 18．知关于x的一元二次方程有实数根，k为正整数． （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式； 19．抛物线与x轴的交点分别为，． （1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点； （2）若，求此抛物线的解析式． 20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，求这个函数的解析式． 21．已知：抛物线经过、两点，顶点为A． 求： 抛物线的表达式； 顶点A的坐标． 22．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）． （1）求该函数的关系式； （2）求当横坐标取﹣3和1时所对应的函数值； （3）根据（2）计算，直接写出当x的值在什么范围时，所对应的函数值大于0． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B D D C D C D 1．B 设二次函数解析式，利用待定系数法即可求即． 解：设二次函数解析式， ∵二次函数的图象与y轴交点坐标为， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交点坐标为和， ∴， 解得， ∴二次函数解析式． 故选择B． 2．B 根据二次函数图象的形状与的形状相同，可得到所求函数解析式的二次项系数为 ，再根据顶点坐标是，即可求解． 解：∵二次函数图象的形状与的形状相同，即二次项系数 相同， ∴所求函数解析式的二次项系数为 ， ∵顶点坐标是， ∴这个函数的解析式为或， 故选：B． 本题主要考查了二次函数的性质，根据题意得到二次项系数 相同是解题的关键． 3．D 根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动，根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点（－1，0）→（0，－2）．因此，所得到的抛物线是．故选D． 4．B 把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式． 解：把(3，0)与(2，−3)代入抛物线解析式得： ， 由直线x=1为对称轴，得到=1，即b=−2a， 代入方程组得：， 解得：a=1，b=−2，c=−3， 则抛物线解析式为y=x2−2x−3， 故选：B． 此题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴公式． 5．D y=2x2-12x+16=2（x2-6x+8）=2（x-3）2-2， 将原抛物线绕顶点旋转180°后，得：y=-2（x-3）2-2=-2x2+12x-20； 故选D． 6．D 设函数的解析式为，根据待定系数法求函数的解析式即可. 设该二次函数的解析式为：，则由已知条件可得： ，解得， ∴该二次函数的解析式为：． 故选D． 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是利用代入法构造三元一次方程组，并解方程组即可，是基础题. 7．C 观察图象可知抛物线的顶点坐标是（2，3），且过点（0，1），设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+3，把（0，1）代入求得a值，由此即可求得函数解析式. 由图知道，抛物线的顶点坐标是（2，3），且过点（0，1）， 设二次函数的解析式y=a（x-2）2+3， 把（0，1）代入得1=4a+3 解得a=． 故二次函数的解析式为y=（x-2）2+3． 故选C． 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，知道二次函数的顶点坐标，要用顶点式y=a（x-h）2+k求函数的解析式． 8．D 根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可． 解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0）， 所以， 解得a=-1，b=1，c=2， 这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2． 故选D 本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目． 9．C 根据题意,设y=a(x−2)2+3，抛物线经过点(3，1)，所以a+3=1，a=−2. 因此抛物线的解析式为：y=−2(x−2)2+3=−2x2+8x−5. 故选C. 10．D 试题解析：抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下． A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，5），故选项错误； B、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3a-3），故选项错误； C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误； D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确． 故选D． 11．y=﹣x2﹣3 分析：根据二次项系数和顶点坐标，直接写出抛物线的解析式； 解：∵抛物线二次项系数为-1，顶点坐标为（0，-3）， ∴抛物线的顶点式为y=-（x－0）2-3,即y=-x2-3; 故答案是y=-x2-3． 12．y=x2﹣2x﹣8 由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=（x+2）（x-4），然后变形为一般式即可． 解：抛物线的解析式为y=(x+2)(x-4)，即y=x2-2x-8， 故答案为y=x2-2x-8 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 13．y=﹣x2﹣1等（答案不唯一） 分析：设二次函数解析式为y=ax2+c，将（1，-2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值． 详解：∵对称轴为y轴， ∴设二次函数解析式为y=ax2+c， 将（1，-2）代入解析式，得a+c=-2， 不防取a=-1，c=-1，得解析式为y=-x2-1，答案不唯一． 故答案为y=-x2-1等（答案不唯一）． 点睛：此题考查了二次函数的性质，要熟悉对称轴公式、二次函数成立的条件，要注意此题具有开放性，答案不唯一． 14．或 根据与x轴的另一交点到原点的距离为4，这个交点坐标有（-4，0）、（4，0）两种情况，利用待定系数法求函数解析式进行解答． ∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4， ∴这个交点坐标为（-4，0）、（4，0）， 设二次函数解析式为， ①当这个交点坐标为（-4，0）时， 解得 所以二次函数解析式为 ②当这个交点坐标为（4，0）时， 解得 所以二次函数解析式为 综上所述，二次函数解析式为或． 故答案为或. 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，注意另一个交点要分两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错． 15． 根据顶点坐标公式求解即可． 因为， 则抛物线的解析式， 根据顶点坐标公式可得y的最值为， 则可得:， 解得(舍去)， 所以抛物线的解析式为:， 故答案为:． 本题考查了抛物线的图象与性质，其中掌握顶点纵坐标公式即是解题关键． 16．(1)抛物线的函数解析式为,对称轴为直线； (2)点不在此抛物线上，理由见解析. （1）把代入，即可求出b的值，再根据对称轴公式，求出对称轴； （2）把代入，若左右两边的值相等，则点在函数图像上，反之则不在函数图像上． （1）解：将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）当时，， ∴点不在此抛物线上． 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 17．． 根据抛物线经过坐标原点，即m2−1＝0，求出m的值，结合当x＜0时，y随x的增大而减小，对m的值作出取舍，即可求解． 解：∵抛物线经过坐标原点， ∴m2−1＝0， ∴m＝±1， ∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴m＝−1， ∴抛物线的解析式为． 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是根据抛物线经过原点求出m的值，结合题意作出取舍，此题难度不大． 18．（1）k的值是1，2，3；（2） （1）根据方程有实数根可得△≥0，求出k的取值范围，然后根据k为正整数得出k的值； （2）根据方程有两个非零的整数根进行判断，得出k＝3，然后得出函数解析式，最后根据平移的性质求出平移后的图象的表达式． （1）∵关于x的一元二次方程有实数根， ， ∴k−1≤2， ∴k≤3， ∵k为正整数， ∴k的值是1，2，3； （2）∵方程有两个非零的整数根， 当k＝1时，，不合题意，舍去， 当k＝2时，，方程的根不是整数，不合题意，舍去， 当k＝3时，， 解得：，符合题意， ∴k＝3， ∴， ∴平移后的图象的表达式． 本题考查了二次函数的综合应用，涉及了根的判别式，图象的平移等知识，解题关键是根据图象以及函数解析式进行分析求解． 19． （1）证明：△＝64m2−4m•（16m−1）＝4m， ∵m＞0， ∴Δ＞0， ∴抛物线总与x轴有两个不同的交点； （2）． （1）证明Δ＞0即可； （2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x1、x2为方程的两根，利用根与系数的关系得到x1＋x2＝-＝8，x1•x2＝，再变形|x1−x2|＝2得到（x1＋x2）2−4x1•x2＝4，所以82−4•＝4，然后解出m即可得到抛物线解析式． （1） 略 （2）根据题意，x1、x2为方程的两根， ∴x1+x2＝-＝8，x1•x2＝， ∵|x1−x2|＝2， ∴（x1+x2）2−4 x1•x2＝4， ∴82−4•＝4， ∴m＝1， 经检验：符合题意； ∴抛物线的解析式为． 本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 20．y＝－x2＋2x＋. 分析:根据二次函数的对称轴和二次函数图象与x轴的一个交点,可求出二次函数与x轴的另一个交点(-1,0),然后设二次函数的交点式y＝a(x＋1)(x－5),最后将二次函数经过的点(1,4)代入二次函数交点式求a即可求解. 详解:由抛物线的对称轴为直线x＝2,且经过点(5,0), 根据抛物线的对称性知图象经过另一点(－1,0), 则可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－5), 把点(1,4)代入,得4＝a(1＋1)(1－5), 解得a＝－, ∴y＝－ (x＋1)(x－5), 即y＝－x2＋2x＋. 点睛:本题主要考查待定系数法求二次函数解析式,解决本题的关键是要能够根据已知条件正确设出二次函数解析式,利用待定系数法进行求解. 21．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）A的坐标为（1，4）． （1）直接把B（3，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c，可确定抛物线的解析式； （2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可． （1）把B（3，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，解得． 故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x2﹣2x+1）+3+1=﹣（x﹣1）2+4，所以顶点A的坐标为（1，4）． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设抛物线的解析式（一般式、顶点式或交点式），再把抛物线上的点的坐标代入得到方程组，然后解方程可确定抛物线的解析式．也考查了二次函数的性质． 22．（1）y=-（x+1）2+4；（2）0；（3）-3<x<1 （1）已知顶点A（﹣1，4），则设顶点式y=a（x+1）2+4，再代入点B求出a即可； （2）将x=-3和x=1分别代入函数求出y值即可； （3）根据（2）求出的结果可知x=-3和x=1时，y=0，再根据a的值得出抛物线开口方向，即可判断y>0时x的取值范围. 解：（1）已知顶点A（﹣1，4），则设顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入，得 -5= a（2+1）2+4， 解得a=-1， 则函数解析式为y= -（x+1）2+4=-x2-2x+3； （2）当x=-3时，y=-（-3+1）2+4=0， 当x=1时，y=-（1+1）2+4=0； （3）由x=-3和x=1时，y=0，且a=-1<0，即抛物线开口向下， 则当-3<x<1时，所对应的函数值大于0． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟悉顶点式和二次函数的性质. 学科网（北京）股份有限公司 $