精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段测试数学试卷

牡丹江二中2026—2027学年度第一学期高三第一次阶段测试 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．（根据学年修改考试时间） 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合交集的运算结合条件即可求解. 【详解】集合，，∴. 2. 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知角终边过点, 根据,其中, 可得. . 3. 幂函数在上递增，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】由条件根据幂函数的定义可得，解方程求，判断函数的单调性，由此确定结论. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以不满足题意， 当时，在上递增，所以满足题意， 综上，实数， 故选：B. 4. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 5. 函数的零点个数为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，令，即，即. 在同一直角坐标系中作出两函数与（）的图象，如图， 由图可知两图象只有一个交点. 综上可知，函数的零点个数为. 6. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 7. 下列说法正确的个数有（ ） （1）电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理，则不同的选法有6种 （2）若变量，具有线性相关关系，且，，其经验回归方程为，则实数的值是 （3）若，，，则事件与事件相互独立 （4）若随机变量服从正态分布，且，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列组合、经验回归直线、条件概率与独立事件、正态分布的相关性质分析各说法是否正确. 【详解】对于（1），因为电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人， 分别担任带货主播和运营助理，所以不同的选法有种，（1）正确； 对于（2），经验回归直线必过样本中心点， 将，代入回归方程， 得，解得，（2）正确； 对于（3），由条件概率公式可得， 又，满足， 故事件A与B相互独立，（3）正确. 对于（4），随机变量，正态曲线关于对称， 故， 因此，故（4）正确. 8. 函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，根据题意分析的单调性和奇偶性，分类讨论是否为0，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，， 因为，可知函数为的偶函数， 又因为， 当时，， 若，则，即； 若，则，，可得， 可知在内单调递减，则在内单调递增. 对于不等式， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，可得， 即，可得，解得，且； 综上所述：不等式解集为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b≠0，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用幂函数、指数函数单调性推理判断BD. 【详解】对于AC，取 ，，AC错误； 对于B，函数在R上单调递增，，B正确； 对于D，函数在R上单调递增，，D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数无最小值 C. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D. 函数有5个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导，即可得到函数的单调区间，然后得到函数的极值点，结合函数解析式画出函数大致图象，从而判断A、B、C；令解得的值，结合函数的极值点及函数图象得到零点个数，从而判断D. 【详解】， 当时，；当时，， 所以在，上为增函数，在上为减函数， 当时，函数有极大值，当时，函数有极小值. 由，即，得或， 所以当时函数的图象在x轴上方，画出函数图象，如图 由图知，A正确，B错误； 若函数在上是减函数，实数a的取值范围是，故C错误； 由得或. 因为，， 所以与，的图象共有5个交点， 所以函数有5个零点，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式中，含的项是，所以项的系数为20. 13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【详解】由为假命题，得为真命题， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 14. 已知函数，若，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，，即函数是奇函数， 又因为函数，都是上的增函数，则在上递增， 由，得，于是，即， 则，而，，即有，， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当，时，取得最小值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求当时，函数的最值. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性. （2）利用（1）的结论，可求函数在区间上的最值. 【小问1详解】 因为， 所以. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得：函数在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又，，所以. 综上，当时，函数的最小值为，最大值为. 16. 已知函数，在处取到极小值． （1）求的解析式； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据函数的极值求函数的解析式； （2）根据（1）的结果，求函数的导数，转化为恒成立，利用参变分离，转化为求函数的最值问题，即可求解. 【小问1详解】 ，又因为在处取到极小值， 所以，，联立解得，， 所以，经检验满足，所以. 【小问2详解】 由（1）有：， 所以，因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 所以，解得. 17. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查．得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 45 70 女生 20 10 30 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关？ （2）现按是否喜爱打篮球的比例分配从样本女生30人中，按是否喜爱打篮球的比例分配，采用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； （3）若将频率视作概率，用样本估计总体，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记40人中喜爱打篮球的人数为，求的均值． 附：，． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）学生喜爱打篮球与性别有关 （2） 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据列联表计算，再和临界值比较，即可求解； （2）首先确定，再代入超几何概率公式，即可求解分布列和数学期望； （3）代入二项分布期望公式，即可求解. 【小问1详解】 零假设为：学生喜爱打篮球与性别无关， 由题意可得， 所以在犯错的概率不超过的情况下，能认为学生喜爱打篮球与性别有关； 【小问2详解】 由题意可得抽取的6名女生中，不喜爱打篮球的人数为人，喜爱打篮球的人数为人， 所以， 且，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以； 【小问3详解】 因为喜欢打篮球的人数的概率为， 所以， 所以. 18. 甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． （1）当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； （2）当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 【答案】（1）采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率 （2）①；② 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出方案一、方案二乙获胜的概率，再比较大小即可. （2）①利用条件概率公式计算得解；②求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 当时，每局比赛乙队获胜的概率为， 采用方案一，三局两胜制下乙获胜分两种情况：胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率； 采用方案二，五局三胜制下乙获胜分三种情况：胜、胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率， 而，所以采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率. 【小问2详解】 ①当时，甲队最终获胜的事件为，五局三胜制下甲获胜分三种情况：胜、胜和胜， ， 比赛恰好进行了四局的事件为，则， 所以求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为. ②甲队得分的所有可能取值为， ，即乙以或胜甲，； ，即乙以胜甲，； ，即甲以胜乙，； ，即甲以或胜乙，， 所以的分布为 0 1 2 3 期望. 19. 已知，函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； （3）若函数的极小值不小于3，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，代入直线方程的点斜式即可解决； （2）函数在定义域内不存在极值点，说明其在定义域内恒单调，即其导数在定义域内恒非负或恒非正，结合含参二次函数的图象即可解决； （3）由（2）可知，的极小值就是，于是有，得到与的关系，运用“隐零点问题”的常规解法即可解决. 【小问1详解】 当时，， ，所以，即切线的斜率为， 因为，所以切点为，代入点斜式得，， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， ， 因为函数在定义域内不存在极值点，且函数图象是连续的， 所以函数在定义域内是单调的． （i）当时，在时恒成立，即， 所以函数在定义域内单调递减，符合题意； （ii）当时，设， 因为，且的图象开口向上， 所以存在，使得，于是， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，不符合题意， 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，当时，存在极小值点， 因为，所以． 因为的极小值不小于3，所以恒成立， 所以，即. 设函数， 所以，即函数在上单调递减， 因为，所以的解为，即， 因为，所以，设， 则，所以， 所以的最小值为2. 【点睛】本题的第（3）小问是一道典型的“隐零点问题”，原题虽然求的是的最小值（范围），但却需要先消去，保留，得到关于的不等式，求出的范围，再将视作关于的函数去求的最小值（范围）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2026—2027学年度第一学期高三第一次阶段测试 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．（根据学年修改考试时间） 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在上递增，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 4. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数的零点个数为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的个数有（ ） （1）电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理，则不同的选法有6种 （2）若变量，具有线性相关关系，且，，其经验回归方程为，则实数的值是 （3）若，，，则事件与事件相互独立 （4）若随机变量服从正态分布，且，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b≠0，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数无最小值 C. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D. 函数有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，项的系数为__________． 13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 14. 已知函数，若，，且，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求当时，函数的最值. 16. 已知函数，在处取到极小值． （1）求的解析式； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围． 17. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查．得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 45 70 女生 20 10 30 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关？ （2）现按是否喜爱打篮球的比例分配从样本女生30人中，按是否喜爱打篮球的比例分配，采用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； （3）若将频率视作概率，用样本估计总体，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记40人中喜爱打篮球的人数为，求的均值． 附：，． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． （1）当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； （2）当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 19. 已知，函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； （3）若函数的极小值不小于3，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $