第一章 有理数 1.1－1.3 讲义 2026-2027学年冀教版七年级数学上册

本讲义围绕初中数学“正数和负数”“数轴”“绝对值与相反数”核心知识点，从具有相反意义的量引入正数负数，明确数的分类（正数、负数、0，有理数与无理数），再通过数轴三要素直观表示数，最后学习绝对值与相反数，构建从实际到抽象的学习支架。 资料以生活实例（收入支出、气温等）培养数学眼光，通过变式练习（相反意义量判断、数轴移动问题）提升数学思维，规范符号表达强化数学语言。课中例题辅助教师授课，课后练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

1.1 正数和负数 1.具有相反意义的量 一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的数的前面加上 “+”(读作 “正”)来表示;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的数的前面加上 “-”. 注：①具有相反意义；②带单位 例：规 定 收 入 为 正、支 出 为 负,则 收 入 188 元 可 表 示 为+188元,读作 “正188元”; 支出21元可表示为-21元,读作 “负21元” 变式： 1.下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中,得20分和扣10分. (2)一座水库蓄水量增加10000m³和减少12000m³. (3)长方形的周长是24cm 和面积是27cm2. 2. 请写出与下列各量具有相反意义的量: (1)气温是零上8°C. (2) 转盘顺时针转3圈. (3) 甲地高于海平面500m 3.填空: (1)如果飞机上升200 m 记作+200 m,那么飞机下降300 m 可记作_________m. (2)如果规定铅球的质量高于标准质量的部分为正,低于标准质量的部分为负,那么,甲铅球高于标准质量3g可记作________ g,乙铅球低于标准质量2g可记作_______ g. 4.工厂生产了一批食品，每袋标准质量定为克，从中抽出袋检测，质量简记为以下数据单位：克，高于记为，低于记为，其中最接近标准的是(    ) A. B. C. D. 5. 某配件厂加工一批圆形橡胶垫，标准直径为，若规定与标准直径相差不大于的产品为合格产品，下列直径的产品中，合格的是(    ) A. B. C. D. 6. 某工厂一种产品的标准质量是千克，质检员在检测一批同一包装的该产品时，对抽取的件产品分别称重，记录如下单位：千克，超出记为“”：，，，，，请根据你所学的知识说明记录中“”和“”分别表示什么意思？ 7. 妈妈在公园的一条东西走向的小道上训练小宝宝走路，如果规定向东为正，向西为负，小宝宝走的各段路程单位：如下：，，，，，，问：小宝宝最后是否回到了出发的位置？ 小宝宝离开出发点最远是多少？ 如果小宝宝每走得一块糖，那么小宝宝一共得到多少块糖？   2.数的分类 正数：带“+”号或不带符号. 负数：带“-”号. 0 ：既不是正数也不是负数. 所有数 有理数 无理数：无限不循环小数 所有数 1.带分数线 2.百分数 3.有限小数 4.无限循环小数 整数 分数 例： 把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，． 正有理数集合：            整数集合：            负有理数集合：            负整数集合：            1.2数轴 1.数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 注： （1）数轴三要素①原点 ②正方向 ③单位长度 （2）越往右越大. （3）原点左侧为负，右侧为正. （4）在数轴上,用实心圆点来表示所对应的有理数. 例： 1.如图分别指出数轴上，，，，各点所表示的数 2.在数轴上，表示的点在数轴的          半轴上，距原点          个单位长度；表示的点在数轴的          半轴上，距原点          个单位长度，两点之间的距离是          ． 3.如图，数轴的一部分被墨水污染了，被污染部分内含有的整数为          ． 4.在数轴上，表示的点沿数轴的负方向移动个单位长度到达点，则点表示的数是          ． 5.点在数轴上，距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，此时点所表示的数是          。 6. 若数轴上一个点到表示的点的距离是，则这个点表示的数是          。 1.3绝对值与相反数 1.绝对值 在数轴上,表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值.a 的绝对值表示为| a | ,读作 “a的绝对值”. 注：去掉符号即为绝对值 例：3的绝对值表示为| 3 |,| 3 |=3 - 3的绝对值表示为|- 3 |,|- 3 |=3 变式：（1）| - 0.5 |= (2) | |= (3) | - |= （4）| 0 |= 2.相反数 符号不同、绝对值相等的两个数,我们称其中一个数是另一个数的相反数, 也称这两个数互为相反数.规定0的相反数为0。 注：只改变符号. 例           ，0的相反数是          ，           ，的相反数是          ，           ，的相反数是           3.化简 (1)带“（ ）” ：数“-”，奇为负，偶为正。 带“| |” ：先去| |号（里面数的符号去掉） 化简：            注：1个“-”，取“-”，-4.1            注：2个“-”，取“+”，6            注：先算= 9，再添-，即- 9            注：先算= 7，再添+，即7 变式：化简：            ；            ；            ；            ． 4.绝对值的性质一个正数的绝对值是它本身; 0的绝对值是; 一个负数的绝对值是它的相反数 注：①互为相反数的两个数绝对值相等. ②互为相反数的两个数和为0. 例题：1.请写出下列各数: (1)一个正数,它的绝对值等于7.2. (2)一个负数,它的绝对值等于24. (3)绝对值等于 的数. 2.若，则的相反数是          ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 正数和负数 1.具有相反意义的量 一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的数的前面加上 “+”(读作 “正”)来表示;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的数的前面加上 “-”. 注：①具有相反意义；②带单位 例：规 定 收 入 为 正、支 出 为 负,则 收 入 188 元 可 表 示 为+188元,读作 “正188元”; 支出21元可表示为-21元,读作 “负21元” 变式： 1.下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中,得20分和扣10分. (2)一座水库蓄水量增加10000m³和减少12000m³. (3)长方形的周长是24cm 和面积是27cm2. 【答案】（1）（2）是具有相反意义的量（3）不是 2. 请写出与下列各量具有相反意义的量: (1)气温是零上8°C. (2) 转盘顺时针转3圈. (3) 甲地高于海平面500m 【答案】(1)气温是零下8°C. (2) 转盘逆时针转4圈. (3) 乙地低于海平面500m 3.填空: (1)如果飞机上升200 m 记作+200 m,那么飞机下降300 m 可记作_________m. (2)如果规定铅球的质量高于标准质量的部分为正,低于标准质量的部分为负,那么,甲铅球高于标准质量3g可记作________ g,乙铅球低于标准质量2g可记作_______ g. 【答案】（1）-300 （2）+3； -2； 4.工厂生产了一批食品，每袋标准质量定为克，从中抽出袋检测，质量简记为以下数据单位：克，高于记为，低于记为，其中最接近标准的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  5. 某配件厂加工一批圆形橡胶垫，标准直径为，若规定与标准直径相差不大于的产品为合格产品，下列直径的产品中，合格的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  6. 某工厂一种产品的标准质量是千克，质检员在检测一批同一包装的该产品时，对抽取的件产品分别称重，记录如下单位：千克，超出记为“”：，，，，，请根据你所学的知识说明记录中“”和“”分别表示什么意思． 【答案】解：表示不足标准质量千克，即抽取的这件产品实际重千克；表示超出标准质量千克，即抽取的这件产品实际重千克．  7. 妈妈在公园的一条东西走向的小道上训练小宝宝走路，如果规定向东为正，向西为负，小宝宝走的各段路程单位：如下：，，，，，，问： 小宝宝最后是否回到了出发的位置？ 小宝宝离开出发点最远是多少？ 如果小宝宝每走得一块糖，那么小宝宝一共得到多少块糖？ 【答案】(1)解：∵， ∴小宝宝最后没有回到出发的位置；   (2)解：小宝宝每次离开出发点的距离为： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第6次：， ∵， 故小宝宝离开出发点最远是；   (3)解， ∴（块）， 答：小宝宝一共得到17块糖．   2.数的分类 正数：带“+”号或不带符号. 负数：带“-”号. 0 ：既不是正数也不是负数. 所有数 有理数 无理数：无限不循环小数 所有数 1.带分数线 2.百分数 3.有限小数 4.无限循环小数 整数 分数 例： 1.把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，． 正有理数集合：            整数集合：            负有理数集合：            负整数集合：            【答案】(1),1,  (2)11,-,-3,  (3)-,-8,-3,-14% 1.2数轴 1.数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 注： （1）数轴三要素①原点 ②正方向 ③单位长度 （2）越往右越大. （3）原点左侧为负，右侧为正. （4）在数轴上,用实心圆点来表示所对应的有理数. 例 1.如图，分别指出数轴上，，，，各点所表示的数 【答案】，，，，各点所表示的数分别是，，，，．  2.在数轴上，表示的点在数轴的          半轴上，距原点          个单位长度；表示的点在数轴的          半轴上，距原点          个单位长度，两点之间的距离是          ． 【答案】正; ; 负 ; ; 3.如图，数轴的一部分被墨水污染了，被污染部分内含有的整数为          ． 【答案】，，，  4.在数轴上，表示的点沿数轴的负方向移动个单位长度到达点，则点表示的数是          ． 【答案】  5.点在数轴上，距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，此时点所表示的数是          。 【答案】  6. 若数轴上一个点到表示的点的距离是，则这个点表示的数是          。 【答案】或  1.3绝对值与相反数 1.绝对值 在数轴上,表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值.a 的绝对值表示为| a | ,读作 “a的绝对值”. 注：去掉符号即为绝对值 例：3的绝对值表示为| 3 |,| 3 |=3 - 3的绝对值表示为|- 3 |,|- 3 |=3 变式：（1）| - 0.5 |= (2) | |= (3) | - |= （4）| 0 |= 2.相反数 符号不同、绝对值相等的两个数,我们称其中一个数是另一个数的相反数, 也称这两个数互为相反数.规定0的相反数为0。 注：只改变符号. 例           ，0的相反数是          ，           ，的相反数是          ，           ，的相反数是           【答案】(1) 0；0; ; ; ;  3.化简 (1)带“（ ）” ：数“-”，奇为负，偶为正。 带“| |” ：先去| |号（里面数的符号去掉） 化简：            注：1个“-”，取“-”，-4.1            注：2个“-”，取“+”，6            注：先算= 9，再添-，即- 9            注：先算= 7，再添+，即7 【答案】(1)  (2)6  (3)  (4)7  变式：化简：            ；            ；            ；            ． 【答案】(1)  (2)  (3)  (4)4  绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身; 0的绝对值是; 一个负数的绝对值是它的相反数 注：①互为相反数的两个数绝对值相等. ②互为相反数的两个数和为0. 例题：1.请写出下列各数: (1)一个正数,它的绝对值等于7.2. (2)一个负数,它的绝对值等于24. (3)绝对值等于 的数. 【答案】(1)7.2 (2) -24. (3)   2.若，则的相反数是          ． 【答案】 - 3 学科网（北京）股份有限公司 $