考点12：导数与三次函数（四大题型26题）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数与三次函数专题，将概念、单调性、极值、零点、对称性等核心考点按基础性质、综合应用、拓展创新层次构建知识网络，通过问题链和任务驱动设计，引导学生从导数工具出发自主探究三次函数规律，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性真题演练和分层题型设计，如开篇设置2024-2025年高考真题及模拟题作为自测诊断，学生根据错题匹配基础巩固或综合提升路径，培养数学思维与数学眼光。每个题型模块配有规律总结表和错题归因分析，帮助学生建立个性化知识体系，教师可通过学情数据精准指导，实现因材施教。

2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点12 导数与三次函数 考情分析 新高考对知识的考查要求：对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大 （小）值； 体会导数在研究单调性、极大 （小）值、最大 （小）值中的作用。纵观近三年的新高考试题难度适中，多是对于三次函数综合的考察，如果按照一般函数的处理方法是可以做的，但是三次函数本身的对称性和图形规律性很强，如果能额外掌握一些方法，客观题做起来比较快。可以预测2027年新高考命题方向将继续以三次函数的综合性质命题。 1.三次函数的概念 （1）三次函数为(、、、且) （2）①定义域为．②值域为 （3）函数在整个定义域上没有最大值、最小值。 2. 单调性和图像 的导函数为（） 图像 3.三次方程的实根个数 设三次函数，其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合上面函数图像易得： (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 4.三次方程的韦达定理 该定理基于代数基本定理和多项式因式分解。因为是方程的根，所以多项式可分解为 展开后为： 将其与原方程 对比对应项的系数，即可得出下面关系 ①三根之和：； ②两两乘积之和：； ③三根之积：. 5.对称性 (1)横坐标：为二阶导数的零点，即 。纵坐标：为函数在该横坐标处的值，即；对称中心坐标对称中心是. (2)若三次函数存在两个极值点，则对称中心的横坐标 恰为这两个极值点的中点，即. (3)证明的图象关于点对称，任取 图象上点 ，则 A 关于 的对称点 也在 图象上， 即 所以 所以 1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）若是函数的极值点，则 【答案】 【解析】法一：由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 法二：由题意知其中是的零点，零点分为变号和不变号的零点，取决于因式分解的次数，如果是极值，只能是不变号零点，此时需要的次数为偶数，所以是.所以，验证省略。 法三：由题意有，所以,所以，得，验证省略。 2.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 3.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第11题）（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 题型一：三次函数的基本性质 题型分析：考查三次函数最基础的核心性质单调性、极值、最值、中心对称性。 1.（2026届·杭州学军中学·期末） 函数的对称中心是____________________． 【答案】 【解析】由题意三次函数存在对称中心，则对称中心点的二阶导数为0，因为，令， 则，由解得， 又，所以函数的对称中心是. 2.（2026届·江苏扬州·5月质检）函数在区间上的最大值为_________． 【答案】2 【解析】∵ ，， ∴ 对求导得. 令，解得，，均属于区间. 分别计算在区间端点和极值点处的函数值： 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 比较上述函数值大小：， ∴ 函数在区间上的最大值为. 3.（2026届· 东北三省三校· 二模）若函数的极大值为1，则函数的极小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：,由得，又因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处取得极大值，且，即，函数在处取得极小值，且， 故选：A 4.（2026届·贵州贵阳·适应考试）已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 【答案】A 【解析】对函数求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，，当时，，，，所以函数大致图象如下： 由图象可知，函数有3个零点，2个极值点 ， 图象关于成中心对称，没有对称轴，故A正确，BCD错误. 故选：A 5.（2026届· 湖北宜昌· 4月调研）（多选）设函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数是奇函数 C．直线与曲线有3个公共点 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ABD 【解析】对于A，因为， 所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递减，故A正确； 对于B，由题意得 ， 令，则， 可得，得到函数是奇函数，故B正确； 对于C，联立方程组，解得或， 则直线与曲线的公共点为和，共2个，故C错误； 对于D，设直线方程为，联立方程组， 化简可得，若曲线和直线有且仅有一个公共点， 则有且仅有一个解， 即与有且仅有一个公共点， 而，得到在上单调递增， 当时，，当时，， 则，，得到与有且仅有一个公共点成立，故D正确. 故选：ABD. 6.（2026届·郑州外国语· 3月检测）已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】由，求导可得：， 由，得或，由，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，极大值为4， 即当时，， 又当时，极小值为0，当时，， 且函数在单调递减，在单调递增， 即当时，，当时，， 综上可知不等式的解集为， 故选：D 7.（2026届·四川成都·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 【答案】ABD 【解析】对于A，因为， 所以，所以关于对称，故A正确； 对于B，由得，令得：， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有两个极值点(为极大值点，为极小值点），故B正确； 又，， 而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大； 所以仅有1个零点(如图所示)，故C错误； 对于D，设切点，在处的切线为， 即， 若是其切线，则，则，此时切点为时， 切线方程为，故D正确. 故选：ABD 题型二：可以因式分解型的三次及高次函数 题型分析：解析式可以因式分解，含有重因式，形如也拓展到四次等高次多项式。 核心要点：①重根处不一定是零点，重根可以是极值点；②二重根对应图像与 轴相切；③先因式分解，求导之后导函数同样可以因式分解，快速找到极值点； 1.（2026届·浙江温州·期末）已知函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】令，则， 所以，所以. 故选：D. 2.（2026届·江苏师大·5月模拟）（多选）设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 【答案】AC 【解析】当时，， 所以. 所以，故A正确； 由可得；由可得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，所以函数在上只有一个零点. 根据是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可作出函数草图如图， 由图可知，函数有和两个零点，故C正确； 设，则， 因为函数为偶函数，所以，故B错误； 当时，，所以， 因为函数在上单调递减，所以，故D错误. 为奇函数的既不充分也不必要条件. 故选：AC. 3.（2026届·湖南名校大联盟· 3月考试）（多选）若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】， 当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以. 所以为的极大值点，或为的极大值点. 因为，所以不是的极大值点， 为的极大值点，且，， 解得. 故选:C. 4.（2026届·江苏九校· 一模）已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 当时，当时，该函数单调递增， 所以， 所以对任意，都有，一定有成立， 解得，这与相矛盾，不符合题意； 当时，当时，， 所以对任意，都有，一定有成立，而， 所以； 当时，设表示两数中最大的数， 因为当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以当时，， 对任意，都有，一定有且， 解得， 综上所述：， 所以的取值范围为. 5.（2026届·九师联盟· 1月质检）（多选）已知函数，则（   ） A． B．的极值都大于0 C． D．若，则 【答案】AC 【解析】因为，所以， 则，故A正确； 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，故B错误； 因为在上单调递增，且， 所以，故C正确； 当时，由幂函数的性质，知， 因为在上单调递减，所以，故D错误． 故选：AC． 6.（2026届· 山东名校联盟· 2月评估）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有2个零点 B. 若的解集为，则 C. 任意在有极小值 D. 存在在有最大值 【答案】ACD 【解析】对A：若，则，解得或， 故有2个零点，故A正确； 对B：当时，，则， 则等价于，即， 因为的解集为，所以在上恒成立， 因为在上单调递增，所以，即，故B错误； 对C：， 若，则， 令， 则， 令，则， 若，则由得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 令，则，即， 则 ， 则在上恒成立，则在上单调递增， 因为时；时； 故对于任意，与始终存在交点，且的图象先在图象上方，后在图象下方， 则当时先负后正，先减后增， 则对于任意在有极小值，故C正确； 对D：由C选项可知，当时，得， 得， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，，，所以使得， 则当时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，且当时，， 故当时，与的图象存在唯一交点，且的图象先在图象上方，后在图象下方， 故当时先正后负，先增后减， 故存在使得在有最大值，故D正确. 故选：ACD 7.（2026届·湖北武汉· 3月调研）（多选）定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（   ） A． B．当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C．存在正实数和，使得时，有 D．当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 【答案】AD 【解析】因为当时，，，所以，当时，，， 所以当为正偶数，且时，， 当为正奇数，且时，， 对于A，对于任意，若，则，， 若，设， 若为偶数，则，，此时， 若为奇数，则，，此时， 综上，对于任意，，A正确； 对于B，若，则， 因为的零点为正整数，故函数在区间内恰有一个零点，B错误； 对于C，若时，， ， 令，则， 当为正偶数时，若，则，函数单调递增， 若，则，函数单调递减， 函数在时，取极大值，极大值为， 当为正奇数时，若，则，函数单调递减， 若，则，函数单调递增， 函数在时，取极小值，极大值为， 若，， 当为奇数，若，则，此时， 要满足存在正实数a和，使得时，有， 只需满足对于任意的，为正偶数时，时，有， 故需满足，当，为正偶数时恒成立， 又函数的衰减速度慢于任何函数 ，故当充分大时，，矛盾，C错误； 对于D，由选项C可得函数的极值点为，， 所以函数的极值点按从小到大排列依次为， 当时，，， 因为在区间内恰有两个极值点， 若，则，满足条件的不存在， 若，则，满足条件的不存在， 若，则，则， 若，则，则， 若，则，满足条件的不存在， 又，故大于等于的极值点都不在区间内， 故t的取值范围是. 故选：AD 8.（2026届· 福建福州宁德· 适应考试）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（   ） A．为奇数 B．为奇数 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】因为函数，该函数的定义域为， （1）当时，， 由可得或，此时函数不可能有三个极值点，舍去； （2）当且时， ， 由可得或或， 因为函数有且仅有个极值点、、，且， 则且，符合题意， ①若，则，， 则，所以，，， 若、都为奇数，则、都为偶数，列表如下： 减 减 极小值 增 增 此时函数只有一个极值点，不符合题意； 当为奇数，为偶数，则为偶数，为奇数，列表如下： 增 增 极大值 减 极小值 增 此时函数有两个极值点，不符合题意； 当为偶数，为奇数时，同理可知，函数有两个极值点，不符合题意； 当、均为偶数时，、均为奇数，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 极小值 增 此时函数有个极值点，符合题意，且，，， 此时，则； ②当时，同理可知、均为偶数，且，，， 此时，则. 故选：D. 题型三：三次函数的零点、极值点问题 题型分析：新高考高频重难点，围绕三次函数零点个数、极值点个数命题。结合学案前给的判断零点个数和三次方程的韦达定理解题更容易。 1.（2026届·湖北名校联盟·5月检测）（多选）已知函数，则（ ） A．一定有零点 B．曲线与直线恒有3个交点 C．若有3个零点，则它们的和为0 D．曲线上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形 【答案】AC 【解析】对于A，若当，，当，， 根据零点存在定理，至少存在一个，使得，故A正确； 对于B，若曲线与直线恒有3个交点， 则有三个根，整理得， 解得或， 当即，此时只有一根. 当即，此时有三个根，故B错误； 对于C，若有3个零点，设三个零点分别为， 则， 又因为，系数对应相等， 则有，故C正确； 对于D，因为， 所以关于点对称， 若对于任意的总存在直线与函数交于三个点， 同时与函数交于三个点， 此时根据对称性得且相互平分，所以四边形为菱形. 联立，整理得， 因为，所以要有两个解， 所以 同理，得到， 若，两个不等式矛盾，所以D错误. 故选：AC . 2.（2026届· 广东广州· 二模）若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得或， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 而当时，，当时，， 由函数有且仅有两个零点，得，即，或，即， 则，令，则，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 故选：B. 3.（2026届·湖南岳阳·5月模拟）（多选）已知是函数有四个零点，记的导函数为，则（    ） A． B． C．在上的最小值为 D．存在，使得是奇函数 【答案】BCD 【解析】由题意可得 ， 所以即为系数的相反数，即，故A错误； 即为常数项，即，故B正确； 因为，所以， 则在上单调递增，又，则在恒成立， 所以在单调递减，所以，故C正确； 因为， 则， 所以，所以的对称中心为，所以关于对称， 即为奇函数，则， 所以存在，使得为奇函数，故D正确． 故选：BCD． 4.（2026届·江苏镇江· 零模）（多选）已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（   ） A．的取值范围为 B．若，，成等差数列，则 C． D． 【答案】BCD 【解析】由题可得方程（）有三个不同的根、、，其中， 则直线与函数图像有三个不同的交点， ，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 且时，时， 作出函数图像如图所示， 由图可知的取值范围为，故A错误； 因为导函数关于直线对称， 所以如图所示函数图像关于点对称， 所以由图可知若、、成等差数列，则，故B正确； 由图可知， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 又由题方程即的根为、、， 且方程的根为、、， 所以即，由图可知，所以， 所以，故C正确； 由C可知，所以.故D正确. 故选：BCD 5.（2026届· 浙江温州· 二模）（多选）已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．点M为线段CD的三等分点 C．当时，四边形ABCD为正方形 D．当时，四边形为菱形 【答案】AC 【解析】由求导得， 因，由，可得或，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值点为，极小值点为，则，故A正确； 由图知分别是函数图象在点处的切线.因， 将直线的方程与联立，消去，得， 即，解得； 再将直线的方程与联立，消去， 得，即，故得， 因四边形是矩形，则， 即点M为线段CD的四等分点，故B错误； 对于C，由上分析知，，当时，， 又四边形是矩形，故此时ABCD为正方形，故C正确； 对于D，因，且， 则四边形为平行四边形， 又，当时，，故D错误. 故选：AC ． 6.（2026届·湖北宜昌· 3月模拟）已知函数的两个极值点为，记，．点在的图象上，满足均垂直于轴，设点的横坐标为． （1）______； （2）若四边形为菱形，则______． 【答案】 0 【解析】由，得， 由题意可知为的两实数根，则判别式，即， 则，且， 均垂直于轴，则，即， 整理得，而，故， 结合，得，解得或（此时重合，舍）， 同理可得，故； 由上面分析可知， 此时的中点为，即， 的中点为，即， 即，的中点重合，四边形为平行四边形； 若四边形为菱形，则垂直，则； ， 由于，则， 则， ， 由，得，结合，解得. 题型四：三次函数综合 题型分析：本类属于压轴难度，融合多个模块知识，综合性极强。解题策略： ①对称性，任何三次函数必有对称中心；平移变换后，对称中心跟着平移；若平移后变成奇函数，则对称中心移到原点； ②切线问题，设切点写出切线方程，对应系数相等求解切点；存在两条切线垂直，等价于存在两个斜率满足； ③直线与曲线交点，联立方程构造新函数，研究新函数单调性； ④大小比较，作差构造辅助函数。 1.（2026届·福建福州· 3月质检）（多选）设函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数是奇函数 B．在区间上单调递增 C．直线，与曲线的公共点个数不相等 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ACD 【解析】对于A，， 令，函数定义域为R， 因为， 所以函数是奇函数，所以A选项正确； 对于B，， 当时，单调递减，所以B选项不正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递减， 当，或时，单调递增， 因为，当时，， 当时，， 所以直线，与曲线的公共点个数分别为和， 所以C选项正确； 对于D，设斜率为-12的直线方程为， 联立，消去得， 即， 令，， 当且仅当时取等号，所以在R上单调递增， 当时，；当时，， 根据单调函数的性质，与轴有且仅有一个交点， 所以斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点，所以D选项正确. 故选：ACD 2.（2026届·福建福州·5月质检）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是增函数，则 C．所有零点的平方和等于 D．当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切 【答案】AD 【解析】对于A：函数的定义域为. 若是奇函数，则，即， 所以，故A正确. 对于B：. 若是增函数，则恒成立， 所以，即，故B错误. 对于C：令，则或. 设方程的根为，（2个不等实根或2个相等实根或2个复数根）， 对于C：令，则或. 当时，方程无解，此时只有1个零点，故； 当时，方程有两个相等实根或两个不等实根，记为，，则，， 此时有3个零点，故， 综上，C错误. 对于D：设曲线的两条切线斜率分别为，，不妨令，， ，则 又，所以， 所以一定存在切点，，使得，即， 故当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切，D正确. 故选：AD ． 3.（2026届·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 【答案】①②④ 【解析】因为，所以令， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 又的图象向下平移个单位得到的图象， 所以曲线的图象关于点成中心对称图形；故①正确； 令 ，当时，， 所以当时，曲线在曲线的上方，故②正确； 因为， 所以 ， ， 所以 ， 当时，，此时，故③错误； 因为， 所以在上单调递增，又， 所以只有唯一零点，且，同理可得， 当时，，且，， 所以函数有唯一零点，且， 由②知当时，曲线在曲线的上方，故， 当时，令 ， 即曲线在曲线的下方，故， 所以，故④正确. 4.（2026届·山东淄博· 一模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，且曲线的对称中心为，则 B．若，函数在上单调递增，则 C．若，且，则存在实数，使得 D．若，，且函数有两个极值点、，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则， 由的对称中心为，则， 所以， 所以 ， 所以，则，A对， 对于B，若，则。若在上单调递增， 则其导数在上恒成立， 所以，即，B错， 对于C，由，，不等式两边同乘，得， 的判别式， 故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调， 因此存在使得，C对， 对于D，将代入导函数，得， 极值点是的两个根， 由韦达定理：，D对. 故选：ACD. 5.（2026届·江西· 2月诊断）（多选）已知函数有两个极值点.设，点为曲线上一点，则（    ） A． B．若直线的倾斜角为，则 C．有最值 D．若存在使得，则 【答案】BD 【解析】由题意知，有两个零点，则，则，故A错误； 由得或；得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 则，， 则 ， 因为直线的倾斜角为，所以，得，则B正确； 由B选项可知，直线的斜率为， 则， 易知函数在单调递减， 当时，；当时，， 故的值域为，无最值，因此也无最值，则C错误； 因为，所以，， 则线段的中点为， 因为直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为， 若存在使得，则与有交点， 因为，所以的定义域为， 则在区间有零点， 得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 因为，所以解得，则D正确. 故选：BD. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点12 导数与三次函数 考情分析 新高考对知识的考查要求：对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大 （小）值； 体会导数在研究单调性、极大 （小）值、最大 （小）值中的作用。纵观近三年的新高考试题难度适中，多是对于三次函数综合的考察，如果按照一般函数的处理方法是可以做的，但是三次函数本身的对称性和图形规律性很强，如果能额外掌握一些方法，客观题做起来比较快。可以预测2027年新高考命题方向将继续以三次函数的综合性质命题。 1.三次函数的概念 （1）三次函数为(、、、且) （2）①定义域为．②值域为 （3）函数在整个定义域上没有最大值、最小值。 2. 单调性和图像 的导函数为（） 图像 3.三次方程的实根个数 设三次函数，其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合上面函数图像易得： (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 4.三次方程的韦达定理 该定理基于代数基本定理和多项式因式分解。因为是方程的根，所以多项式可分解为 展开后为： 将其与原方程 对比对应项的系数，即可得出下面关系 ①三根之和：； ②两两乘积之和：； ③三根之积：. 5.对称性 (1)横坐标：为二阶导数的零点，即 。纵坐标：为函数在该横坐标处的值，即；对称中心坐标对称中心是. (2)若三次函数存在两个极值点，则对称中心的横坐标 恰为这两个极值点的中点，即. (3)证明的图象关于点对称，任取 图象上点 ，则 A 关于 的对称点 也在 图象上， 即 所以 所以 1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）若是函数的极值点，则 2.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 3.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第11题）（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 题型一：三次函数的基本性质 题型分析：考查三次函数最基础的核心性质单调性、极值、最值、中心对称性。 1.（2026届·杭州学军中学·期末） 函数的对称中心是____________________． 2.（2026届·江苏扬州·5月质检）函数在区间上的最大值为_________． 3.（2026届· 东北三省三校· 二模）若函数的极大值为1，则函数的极小值为 A． B． C． D． 4.（2026届·贵州贵阳·适应考试）已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 5.（2026届· 湖北宜昌· 4月调研）（多选）设函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数是奇函数 C．直线与曲线有3个公共点 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 6.（2026届·郑州外国语· 3月检测）已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 7.（2026届·四川成都·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 题型二：可以因式分解型的三次及高次函数 题型分析：解析式可以因式分解，含有重因式，形如也拓展到四次等高次多项式。 核心要点：①重根处不一定是零点，重根可以是极值点；②二重根对应图像与 轴相切；③先因式分解，求导之后导函数同样可以因式分解，快速找到极值点； 1.（2026届·浙江温州·期末）已知函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 24 2.（2026届·江苏师大·5月模拟）（多选）设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 3.（2026届·湖南名校大联盟· 3月考试）（多选）若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4.（2026届·江苏九校· 一模）已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 5.（2026届·九师联盟· 1月质检）（多选）已知函数，则（   ） A． B．的极值都大于0 C． D．若，则 6.（2026届· 山东名校联盟· 2月评估）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有2个零点 B. 若的解集为，则 C. 任意在有极小值 D. 存在在有最大值 7.（2026届·湖北武汉· 3月调研）（多选）定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（   ） A． B．当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C．存在正实数和，使得时，有 D．当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 8.（2026届· 福建福州宁德· 适应考试）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（   ） A．为奇数 B．为奇数 C．若，则 D．若，则 题型三：三次函数的零点、极值点问题 题型分析：新高考高频重难点，围绕三次函数零点个数、极值点个数命题。结合学案前给的判断零点个数和三次方程的韦达定理解题更容易。 1.（2026届·湖北名校联盟·5月检测）（多选）已知函数，则（ ） A．一定有零点 B．曲线与直线恒有3个交点 C．若有3个零点，则它们的和为0 D．曲线上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形 2.（2026届· 广东广州· 二模）若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 3.（2026届·湖南岳阳·5月模拟）（多选）已知是函数有四个零点，记的导函数为，则（    ） A． B． C．在上的最小值为 D．存在，使得是奇函数 4.（2026届·江苏镇江· 零模）（多选）已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（   ） A．的取值范围为 B．若，，成等差数列，则 C． D． 5.（2026届· 浙江温州· 二模）（多选）已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．点M为线段CD的三等分点 C．当时，四边形ABCD为正方形 D．当时，四边形为菱形 6.（2026届·湖北宜昌· 3月模拟）已知函数的两个极值点为，记，．点在的图象上，满足均垂直于轴，设点的横坐标为． （1）______； （2）若四边形为菱形，则______． 题型四：三次函数综合 题型分析：本类属于压轴难度，融合多个模块知识，综合性极强。解题策略： ①对称性，任何三次函数必有对称中心；平移变换后，对称中心跟着平移；若平移后变成奇函数，则对称中心移到原点； ②切线问题，设切点写出切线方程，对应系数相等求解切点；存在两条切线垂直，等价于存在两个斜率满足； ③直线与曲线交点，联立方程构造新函数，研究新函数单调性； ④大小比较，作差构造辅助函数。 1.（2026届·福建福州· 3月质检）（多选）设函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数是奇函数 B．在区间上单调递增 C．直线，与曲线的公共点个数不相等 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 2.（2026届·福建福州·5月质检）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是增函数，则 C．所有零点的平方和等于 D．当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切 3.（2026届·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 4.（2026届·山东淄博· 一模）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，且曲线的对称中心为，则 B．若，函数在上单调递增，则 C．若，且，则存在实数，使得 D．若，，且函数有两个极值点、，则 5.（2026届·江西· 2月诊断）（多选）已知函数有两个极值点.设，点为曲线上一点，则（    ） A． B．若直线的倾斜角为，则 C．有最值 D．若存在使得，则 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $