考点6：幂函数、指数函数、对数函数（三大题型21题）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了幂函数、指数函数、对数函数三大核心考点，按定义、图象性质、运算规律及综合应用构建知识体系，通过问题链和任务驱动引导学生自主梳理概念联系，形成从基础到综合的认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层题型设计，开篇设置覆盖定义、性质、运算的诊断题，配合分题型方法指导（如比较大小的单调性法、中间量法），培养学生数学思维与数学语言表达能力。每个模块含真题演练与反思总结表，助力学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，实现个性化复习。

2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点6 幂函数、指数函数、对数函数 考情分析 新高考对知识的考查要求：理解幂函数、指数函数、对数函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在 解决实际问题中的作用。纵观近三年的新高考试题难度较高。更多考查复合函数的单调性、奇偶性等综合性很强。可以预测2027年新高考命题方向将继续以灵活的函数形式出现从而展开命题. 1.(1)幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. 2.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 3.指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 4.对数函数及其性质 (1)概念：函数y=(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 5.对数函数图象的常用结论 （1）函数与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1.（2026·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2.（2026·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 3.（2026·天津高考真题第6题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ） A． B． C． D． 题型一：指对幂函数计算问题 题型分析：侧重指数、对数、幂函数基础运算，常结合函数求值、对数换底公式、指数幂化简。 1.（2026届·浙江金华十校·期末）已知函数，则 . 2.（2026届·浙江金丽衢十二校· 一模）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 3.（2026届· 广东中山· 二模）已知函数且 ，若，则（    ） A．3 B．2 C．4 D． 4.（2026届·江苏九校·一模）已知常数，函数的图象经过点，若，则（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 5.（2026届·河北衡水·二模）若偶函数满足，当时，，则（     ） A． B． C． D． 题型二：比较大小问题 题型分析：常以选择题、充分必要条件题型出现。主要三类比较思路：①利用幂、指、对函数的单调性直接比较；②中间量搭桥法，找0、1作为参照；③构造函数，把不同形式的数统一成同一个函数的函数值，借助函数单调性比大小。 1.（2026届·广东·第二次调研）“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2026届· 河北衡水· 4月联考）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2026届· 山东聊城· 二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（2026届·上海徐汇区· 第二学期诊断）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5.（2026届·安徽江南十校· 3月联考）若为正实数，且有，则下列大小关系中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 6.（2026届·九师联盟· 1月质检）设函数，令，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型三：指对幂函数性质问题 题型分析：综合性极强的高频考点。覆盖幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域、定点、单调性、奇偶性、反函数、复合函数单调性（同增异减），常结合参数求解、恒成立、存在性问题考查。 1.（2026届·上海徐汇区· 第二学期诊断）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________. 2.（2026届·四川字节精准教育联盟·二模）若幂函数为奇函数，则的值为 . 3.（2026届· 广东广州· 二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 4.（2026届·辽宁沈阳· 一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 5.（2026届·湖北武汉· 3月调研）若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（2026届·山东名校联盟· 2月评估）当时，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.（2026届·东北师大附中· 第三次摸底）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 8.（2026届· 山东潍坊· 模拟）若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（2026届· 山东青岛· 一模）（多选）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．恰有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为2 10.（2026届· 河南濮阳· 二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（   ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A．4 B．3 C．2 D．1 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点6 幂函数、指数函数、对数函数 考情分析 新高考对知识的考查要求：理解幂函数、指数函数、对数函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在 解决实际问题中的作用。纵观近三年的新高考试题难度较高。更多考查复合函数的单调性、奇偶性等综合性很强。可以预测2027年新高考命题方向将继续以灵活的函数形式出现从而展开命题. 1.(1)幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. 2.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 3.指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 4.对数函数及其性质 (1)概念：函数y=(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 5.对数函数图象的常用结论 （1）函数与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1.（2026·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】由选项知，则定义域为，由，解得.（必要性探路）；验证充分性：当时，由不等式（切线恒等关系）可得， 故，当且仅当时等号成立，故满足题意，由选项唯一可得. 故选：B. 2.（2026·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】设，那么设，则，由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，且，根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 3.（2026·天津高考真题第6题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，因为函数在上单调递增，所以，又因函数在上单调递增，则，所以，因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 故选：A. 4.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是. 故选：B. 题型一：指对幂函数计算问题 题型分析：侧重指数、对数、幂函数基础运算，常结合函数求值、对数换底公式、指数幂化简。 1.（2026届·浙江金华十校·期末）已知函数，则 . 【答案】3 【解析】. 故答案为：3. 2.（2026届·浙江金丽衢十二校· 一模）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以，所以. 故选：D 3.（2026届· 广东中山· 二模）已知函数且 ，若，则（    ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意知，所以，即得解得. 故选：C. 4.（2026届·江苏九校·一模）已知常数，函数的图象经过点，若，则（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】因为函数的图象经过点 所以，整理得，即， 所以，又，代入得，，又，所以. 故选：B 5.（2026届·河北衡水·二模）若偶函数满足，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，用代替得， 即，又因为函数为偶函数，则， 则，所以的一个周期为2， 因为，且， 当时，，则. 故选：C. 题型二：比较大小问题 题型分析：常以选择题、充分必要条件题型出现。主要三类比较思路：①利用幂、指、对函数的单调性直接比较；②中间量搭桥法，找0、1作为参照；③构造函数，把不同形式的数统一成同一个函数的函数值，借助函数单调性比大小。 1.（2026届·广东·第二次调研）“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为是R上的增函数， 故选：C． 2.（2026届· 河北衡水· 4月联考）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为在定义域上是单调递增函数，所以由等价于，由可知且，又因为函数在上是单调递减函数，所以等价于，因此，“”是“”的充要条件. 故选：C． 3.（2026届· 山东聊城· 二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为所以：若，则； 若，则，同理由可知与要么都大于，要么都在内， 因此，满足以下两种情况之一：；. 下面分类讨论： 情况一：，此时，所以， 由得因为，所以又因为 ，故从而由于时，函数单调递增，所以即 情况二：，此时 ，所以 .由得因为，两边同除以 时不等号方向改变，故又因为，所以从而由于时，函数单调递减，所以即 综上，无论哪种情况，都有 故选：D. 4.（2026届·上海徐汇区· 第二学期诊断）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】等价于，等价于， 可以推出，但无法推出，因为还存在这种可能性，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 5.（2026届·安徽江南十校· 3月联考）若为正实数，且有，则下列大小关系中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知, 即，所以， 令， 在同一个坐标系下考察函数与的交点，如下图： 由图可知当时，；当时，；当时，， 所以A一定不成立. 故选：A． 6.（2026届·九师联盟· 1月质检）设函数，令，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为的定义域为， 且，所以是偶函数， 令，因在上单调递增， 又，当时，，即在上单调递增， 由复合函数的单调性知在上单调递增. 又，，， 因， 由，可得， 即，故可得，即． 故选：C． 题型三：指对幂函数性质问题 题型分析：综合性极强的高频考点。覆盖幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域、定点、单调性、奇偶性、反函数、复合函数单调性（同增异减），常结合参数求解、恒成立、存在性问题考查。 1.（2026届·上海徐汇区· 第二学期诊断）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为幂函数在区间上是严格减函数，所以， 故答案为： 2.（2026届·四川字节精准教育联盟·二模）若幂函数为奇函数，则的值为 . 【答案】0 【解析】由是幂函数，得，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意，所以. 故答案为：0 3.（2026届· 广东广州· 二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【解析】因为两个函数图象关于直线对称，所以是的反函数， 对整理得：，，交换可得反函数：， 又因为，所以 ，化简可得：，即，两边取以3为底的对数，则. 故选：B. 4.（2026届·辽宁沈阳· 一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是且的反函数，所以且，令，因为，所以函数图象必过定点. 故选：D 5.（2026届·湖北武汉· 3月调研）若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称，又由， 因为函数是奇函数，可得，即， 即恒成立，即恒成立， 因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取， 当时，可得， 所以，所以； 当时，可得， 所以，所以， 综上可得，实数的值为 故选：B 6.（2026届·山东名校联盟· 2月评估）当时，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，函数在单调递增，所以. 当时，因为，所以，故不等式不成立； 当时，函数在单调递减，要使不等式成立，只需， 得，解得（舍去），又因为，所以. 故选：B 7.（2026届·东北师大附中· 第三次摸底）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】函数在上单调递增，由函数在上单调递增， 得函数在上单调递增，且，恒成立， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 8.（2026届· 山东潍坊· 模拟）若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，要使条件①成立，则必须保证当时，恒成立，又在上单调递增，故，. 时，，要使条件②成立，这必须保证在区间有解. 即成立，，又在上单调递增，. 综上，的取值范围是. 9.（2026届· 山东青岛· 一模）（多选）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．恰有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 对于A项，当时，， 对其求导得，所以在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，因为在区间上单调递增，且， 根据偶函数的性质可知，，所以恰有两个零点，故B项正确； 对于C项，因为为偶函数，且在上单调递增， 所以等价于， 得，两边平方得， 而函数的定义域为，所以的解集为，故C项错误； 对于D项，因为，且为偶函数， 得，即， 因为， 所以， 又因为在区间上单调递增，所以，得， 则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确． 故选：ABD . 10.（2026届· 河南濮阳· 二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（   ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】①：在中，令， 得， 因为对任意恒成立，所以， 所以由，因此本序号结论正确； ②：在中，令， 得，因此本序号结论正确； 令，满足条件（1）对任意恒成立，且； ，， 满足（2），都有， 但是函数没有最大值也没有最小值，故③④序号结论都不正确， 所以表述中正确的个数为. 故选：C 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $