1.1探索勾股定理 同步练习 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学八年级上册§1.1探索勾股定理同步练，以"基础巩固-情境应用-综合拓展"分层设计，通过梯度化题型培养运算能力、几何直观与模型意识，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理直接计算、勾股数、赵爽弦图概念|单选题1-5直接考查定义与公式，填空题11-13强化基本运算，夯实概念理解| |中档|简单情境应用、变式计算|单选题6-10结合门框、旗杆等生活场景，填空题14-15关联半圆面积、等腰直角三角形，培养几何直观| |提高|综合证明与实际问题解决|解答题20-22通过赵爽弦图面积推导、三角形花圃栅栏设计等，发展推理能力与模型意识，实现知识向能力转化|

【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §1.1探索勾股定理 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 3．（本题3分）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 5．（本题3分）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 6．（本题3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 7．（本题3分）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 8．（本题3分）方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 9．（本题3分）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 10．（本题3分）如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）在中，，，则_______． 12．（本题3分）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 13．（本题3分）如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 14．（本题3分）如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 15．（本题3分）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）在中，，，，求的长． 17．（本题7分）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 18．（本题8分）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 19．（本题8分）如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 20．（本题8分）如图，在中，，点D在延长线上，点F在线段上，连接，，使．过点A作交延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 21．（本题9分）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 22．（本题9分）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §1.1探索勾股定理 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 解：设另一条直角边长为 ∵该三角形是直角三角形，斜边长为，一条直角边长为 ∴根据勾股定理可得 整理得 ∵三角形边长为正数 ∴ 2．（本题3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 3．（本题3分）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 4．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意； B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意． 5．（本题3分）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理． 故选：C． 6．（本题3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 解：∵正方形，， ∴， ， 小正方形的面积是． 7．（本题3分）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 解：∵ 正方形泡沫板边长为，门框高，宽， 竖直或水平摆放时，因 大于门框的高或宽，故无法进门，排除A，B， 斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理，门框对角线长为： ∵ ∴ ，即泡沫板边长小于门框对角线长，只要将泡沫板倾斜，使其一边顺着门框的对角线方向穿过，可以进门， 因此C正确，D错误． 8．（本题3分）方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 解：设旗杆的高度为米， ∵绳子垂直落地后还剩2米， ∴绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为8米． 9．（本题3分）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 解:如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 10．（本题3分）如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 解：设大树折断处为点，树根为点，树顶落地点为点， 大树离地面米处折断， 米， 树的顶端位于离树根米处的点处， 米， 在中，，由勾股定理得：（米）， 大树原来的高度为：（米）． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）在中，，，则_______． 解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 12．（本题3分）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当为直角边时，也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ， ② 当为斜边时，斜边长即为，满足直角三角形三边关系，符合题意. 13．（本题3分）如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 解：这个长方体木箱能容纳的最大长度为， ∵，， ∴， ∴一根长的木棒不能完全放进这个长方体木箱． 14．（本题3分）如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 15．（本题3分）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 解：如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形 根据勾股定理可得：， ∴ ∵在中，根据勾股定理有，， ∴， ∴. 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）在中，，，，求的长． 解：在中，， 由勾股定理，得， 又∵，， ∴． 17．（本题7分）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． （1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 18．（本题8分）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． （1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，，∴； （2）解：在中，，， ． 19．（本题8分）如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． （1）解：如图1，当在三角形的内部时， 在中,      在中,      ∴； （2）如图2，当在三角形的外部时， 在 中,      在 中,      ∴． 20．（本题8分）如图，在中，，点D在延长线上，点F在线段上，连接，，使．过点A作交延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． (1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 21．（本题9分）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． （1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 22．（本题9分）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ (1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． $