1.1探索勾股定理分层作业2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、图形应用、综合探究三级分层设计，实现勾股定理从概念辨析到实际应用的递进，培养抽象能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股数判断、简单计算|如第1题勾股数辨析、第2题云梯高度计算，强化概念理解| |提升层|图形结合与规律探究|如第4题赵爽弦图面积、第11题勾股数规律，发展空间观念| |综合层|实际应用与跨情境探究|如第16题木箱放木棒、第20题剪纸图案面积，培养应用意识|

1.1探索勾股定理分层作业 一、单选题 1．下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．消防云梯的长度是13米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼5米远的地方（云梯底端离地面高度忽略不计），则云梯可以达到建筑物的高度是（ ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 3．在中，，，高，则的周长为（   ） A．42 B．52 C．42或60 D．52或70 4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 5．在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 6．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 7．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 8．已知，中，，，，的平分线交于点，则的长度为（  ） A． B． C． D． 9．如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面的墙上，任何东西只要移至该传感器周围及以内，灯就会自动发光，一位身高的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为（   ） A． B． C． D． 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________，第组勾股数是________． 12．如图，中，，，，平分．M、N分别是上的点，则的最小值是______． 13．如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为__________． 14．如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为_______． 15．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 三、解答题 16．有一根长的木棒，要放入长、宽、高分别是，，的木箱中（如图），能放进去吗? 17．如图，在四边形中，，连接，，，以为边向外做正方形，求正方形的面积． 18．如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 19．如图，，是的高线，，交于点F，且． (1)证明：； (2)若，，求的长和的面积． 20．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.1探索勾股定理分层作业》参考答案 1．B 【分析】本题考查勾股数的定义，即三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．需逐一验证选项中的数是否与6、10构成勾股数． 【详解】勾股数要求三个正整数满足（其中为最大数）． A：三个数为6、6、10，最大数为10．，不符合条件． B：三个数为6、8、10，最大数为10．，符合条件． C：三个数为6、10、10，最大数为10．，不符合条件． D：三个数为6、10、12，最大数为12．，不符合条件． 综上，只有选项B满足勾股数的条件， 故选B． 2．A 【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米， ∴（米）． 答：云梯可以达到建筑物的高度是12米． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理，解本题时注意应分两种情况进行讨论． 分两种情况：高在三角形内部和高在三角形外部，再结合勾股定理，分别进行列式计算，即可作答． 【详解】解：当高在三角形内部时，如图： 在中， ， 在中， ， ∴， ∴的周长为：； 当高在三角形外部时，如图： 在中，， 在中，， ∴． ∴的周长为：， ∴当为锐角三角形时，的周长为60；当为钝角三角形时，的周长为42． 综上所述，的周长是60或42． 故选C． 4．C 【分析】本题考查与直角三角形的三边有关的图形的面积，根据题意，得到小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：中间小正方形的边长， ∴小正方形的面积为：； 故选C． 5．B 【分析】先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积．本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和-重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键． 【详解】解：根据题意可得， 小正方形的边长． ∴ 故选：． 6．A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 8．B 【分析】作，根据角平分线的性质定理可证，利用勾股定理求得AB后，用等面积法即可求得CD. 【详解】解：作，如图所示 在中，由勾股定理得： ， ∵是角平分线，，， ∴， 设cm， ， 即， 解得：，即cm， 故选：B. 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质定理.本题解题的关键是通过角平分线的性质定理得出，从而用等面积法求解. 9．B 【分析】本题考查勾股定理的应用．将实际问题构造出直角三角形解决问题成为解题的关键． 如图：过点C作交于点E，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点C作交于点E，则， 由题意可知：， 所以． 在中，， 由勾股定理得：， ∴学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为． 故选B． 10．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∵每一个直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故选：． 11． 11，60，61 ，， 【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， ， 第组勾股数为： ，，， 第⑤组勾股数为，，，即11，60，61． 故答案为：11，60，61；，，． 【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答． 12． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理等等，在上截取，连接，易证明，得到，则，故当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长， ∴此时， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及用勾股定理列方程是解题的关键．设，根据轴对称的性质可得，，进一步求得，根据勾股定理可求得，最后在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， 沿翻折得到， ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 15．15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 16．能放进去，理由见解析 【分析】本题考查了几何体中勾股定理计算， 连接，利用勾股定理，计算，比较大小，判断即可． 【详解】如图，连接， 根据题意，得， ， 能放进去， 答：能放进去． 17．正方形的面积为12.5． 【分析】本题考查的是勾股定理、正方形面积公式.熟记勾股定理是解题的关键． 由已知条件的和均为直角三角形，由两次勾股定理得出，得正方形面积． 【详解】解：∵，， 和均为直角三角形， ， ， ∴正方形的面积为12.5． 18．(1) 证明：四边形是长方形， ，，， 将沿翻折至，与相交于点，与相交于点， ，， 在和中， ， ， ，； (2)2.4． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）根据折叠的性质可得，，，结合，可证明，得到，； （2）推出，设，则，，推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 即， ， 设，则，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ． 19．(1) 证明：∵，是的高线， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据题意求出，根据证明，即可证明； （2）根据得到，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $