25.3 一元二次方程的应用 培优专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程四大应用场景，通过典型题例构建“实际问题→等量关系→方程模型”的解题逻辑，强化数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增长率综合问题|2题|两年增长求率及预测，含实际意义取舍|从增长情境抽象“初始量×(1+率)²=终量”关系，建立方程| |销售利润问题|2题|调价影响销量求利润，含利润最值判断|依据“利润=(售价-成本)×销量”构建方程，结合判别式分析可行性| |行程问题|2题|同路程速度差导致时间差，需验根|根据“路程=速度×时间”列分式方程，转化为一元二次方程求解| |工程问题|2题|同工作量效率差导致时间差，含合作提速|由“工作量=效率×时间”建立等量关系，通过方程解决工程进度问题|

25.3 一元二次方程的应用专项培优 应用1 增长率综合问题 1. 为响应全民健身号召，某城市2023年社区健身爱好者仅有50人参与社区晨跑活动。随着全民健身普及，2023年至2025年该社区晨跑人数逐年同比增长，增长率保持不变。 (1) 若2025年该社区晨跑人数达到72人，求这两年晨跑人数的年平均增长率； (2) 若保持相同的年平均增长率，预计2026年该社区晨跑参与人数能否突破85人？请通过计算说明理由。 2.某科创公司大力发展人工智能产品，2023年AI设备出货量为1000台，2025年AI设备出货量达到1440台，若2023—2025年每年出货量的年平均增长率相同。 (1)求该公司AI设备出货量的年平均增长率； （2）按照此增长率，预计2026年该设备出货量能否突破1700台？ 应用2 销售利润问题 3.某文具店热销一款定制笔记本，每本成本价18元，日常售价28元，平均每天可以卖出45本。经市场调研发现：在合理调价范围内，售价每上涨1元，日均销量就减少3本。 (1)若该文具店销售这款笔记本单日获利525元，且尽可能保证销量、减少库存积压，求笔记本的销售单价； (2)请通过计算说明，该店能否实现单日销售利润550元？ 4.夏季来临，某超市批量购进网红手摇小风扇，每台成本25元，原定售价40元，每天可售出30台。为回馈顾客，超市决定降价促销，已知售价每降低1元，日均销量会增加5台。 (1)若超市单日销售该款风扇获利560元，求每台风扇的销售定价； (2) 该店能否通过调价实现单日最大利润600元？请说明理由。 应用3 行程问题 5.2025年城市绿道骑行活动顺利举办，甲乙两款智能骑行助力车参与测速体验。已知两款助力车骑行相同的18千米绿道全程，甲款助力车平均每小时比乙款助力车快3千米，且甲款完成全程的用时比乙款少0.5小时，求甲乙两款助力车的平均速度。 6. 甲乙两架无人机执行航拍任务，飞行里程均为24千米。甲无人机每小时比乙无人机多飞行2千米，甲完成全程飞行时间比乙少0.4小时，求甲、乙两架无人机的飞行速度。 应用4 工程问题 7.为美化城市道路，市政部门安排甲乙两队合作完成道路绿化翻新工程，工程总量为3600平方米。已知甲队单独完成工程比乙队少用3天，甲队每天的施工面积比乙队多20平方米。 (1)求甲、乙两队每天各施工多少平方米？ （2）若甲乙两队先合作施工4天，后续甲队提高施工效率，每天多施工10平方米，乙队效率不变，最终提前2天完成全部工程，求整项工程实际施工总天数。 8.某工厂接到一批4800件零件加工订单，由甲、乙两个车间共同完成。已知甲车间每天加工数量比乙车间多40件，乙车间单独完成订单比甲车间多用2天。 (1)求甲、乙车间每天各加工多少件零件； (2) 若两车间先合作3天，之后甲车间每天多加工20件，乙车间效率不变，最终提前1天完成任务，求实际完成订单的总天数。 答案与解析 应用1 增长率综合问题 第1题 (1)设这两年晨跑人数的年平均增长率为，由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）。 答：年平均增长率为20%。 (2)2026年人数：（人），，能突破。 答：2026年参与人数可以突破85人。 第2题 (1)设年平均增长率为，由题意得：， 化简得：，解得，（舍去）。 答：年平均增长率为20%。 (2)2026年出货量：（台），，能突破。 答：2026年可以突破1700台。 应用2 销售利润问题 第3题 (1)设售价上涨元，则单件利润为元，日均销量为本。 由题意列方程：，整理得：。 因式分解得：，解得：，（不符合题意，舍去）。 题目要求尽可能保证销量、减少库存积压，因此选择较小涨价幅度，结合题意合理取值，销售单价：元。 答：笔记本的销售单价为33元。 (2)假设单日利润可达550元，列方程：，整理得。 ，方程无实数根，无法实现该利润。 答：无法实现单日利润550元。 第4题 (1)设售价降低元，则单件利润为元，日均销量为台。 由题意列方程：，整理得：。 因式分解得：，解得：，。为回馈顾客、让利消费者，选择更大降价幅度，取，定价：元。 答：风扇的销售定价为33元。 (2)假设单日利润可达600元，列方程：，整理得。 ，方程无实数根，无法实现该利润。 答：无法实现单日利润600元。 应用3 行程问题 第5题 设乙款速度为，甲款速度为， 列方程：，整理得， 解得：，（舍去），检验合格。 甲速度：，乙速度：。 答：甲款12 km/h，乙款9 km/h。 第6题 设乙无人机速度为，甲为， 列方程：，整理得， 解得：，（舍去），检验合格。 甲速度：，乙速度：。 答：甲无人机12 km/h，乙无人机10 km/h。 应用4 工程问题 第7题 (1)设乙每天施工㎡，甲每天㎡， 列方程：，整理得， 解得：，（舍去），检验合格。 甲：140㎡/天，乙：120㎡/天。 (2)原日均合作：㎡，提速后日均：㎡。 设原计划天，实际天，列方程：， 解得，实际工期：天。 答：实际施工13天。 第8题 (1)设乙每天加工件，甲每天件， 由题意：，整理得， 解得：，（舍去），检验合格。 甲：340件/天，乙：300件/天。 (2)原合作日均：件，提速后甲：360件/天，合作日均：件。 设原计划天，实际天，列方程：， 解得，实际工期：天。 答：实际完成总天数为7天。 学科网（北京）股份有限公司 $