河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（14）-随机变量及其分布

**基本信息** 聚焦随机变量及其分布，通过单选、多选、填空及解答题（含猜灯谜、展销会抽奖等现实情境），分层考查正态分布、二项分布等核心知识，培养数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正态分布、二项分布期望方差|基础概念辨析，如第1题正态分布对称性| |多选题|3/18|离散型随机变量性质、超几何分布|概念辨析与应用，如第11题二项分布与超几何分布判断| |填空题|3/15|正态分布概率、比赛得分期望|情境化计算，如第13题甲、乙卡片比赛得分期望| |解答题|5/77|独立事件概率、全概率公式、二项分布决策|综合应用，如17题工厂零件质检（全概率公式与获利决策）|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（14） 范围：随机变量及其分布 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知随机变量（），若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，2，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知离散型随机变量的分布列为，其中、、、，则（    ） A． B． C． D． 5．超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为（     ） A． B． C． D． 6．已知随机变量的分布列为： 若成等比数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．盒中装有1个白球、2个黑球、3个黄球，从中有放回随机取3次球，每次取1个球．取到1次白球得4分，取到1次黑球得2分，取到1次黄球得1分，X表示3次取球总得分，则（    ） A．5 B． C． D． 8．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（    ） A． B． C． D．或 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．现口袋里共有4个红球，5个黄球和3个蓝球，它们除颜色外完全相同.现进行取球，则（    ） A．若取出球后放回口袋，每次只取一个球，则第4次取出黄球的概率为 B．若取出球后不放回口袋，每次只取一个球，则第2次取出黄球的概率为 C．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第4次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 D．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第2次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 10．如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是（    ） A．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数 B．ξ取所有可能值的概率之和为1 C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 11．下列说法正确的有（     ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D．从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________. 13．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行一轮比赛，在这轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人获胜，则甲获胜的概率为______；若甲选出数字3且赢时记3分，甲选出数字5且赢记2分，甲选出数字7且赢时记1分，甲输掉比赛记作0分，则甲最终得分的期望为______． 14．为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部、进行体育比赛，由部、部争夺最后的冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若部、部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天部、部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．则比赛进行局且部获得最终冠军的概率为_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： (1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： (2)任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； (3)记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 16．(本小题15分）某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． (1)求的值； (2)若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； (3)若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 17．(本小题15分）某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道工序的加工结果都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道工序加工结果合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道工序加工结果合格的概率分别为0.95，0.8． (1)对6个来自甲车间、4个来自乙车间的零件进行质检． （i）若从上述10个零件中随机抽取1个零件，求该零件可以出厂销售的概率； （ii）若从上述10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为，求的分布列和均值； (2)甲车间加工的每个零件，若可以出厂销售则能盈利100元，若不能出厂销售则亏损30元．乙车间加工的每个零件，若可以出厂销售则能盈利100元，若不能出厂销售则亏损20元．由于这种零件市场需求量大，该工厂计划扩建甲乙两个车间中的一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，该工厂应扩建甲车间还是乙车间？ 18．(本小题17分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，． (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率． 19．(本小题17分）某农学研究所开发了一种可在沙化严重的土壤上种植的粮食作物，在大规模推广之前，需要进行育种试验.若每一颗试验种子的成苗率为，且种子是否成苗相互独立. (1)若有10颗试验种子，且成苗率，求： （i）恰有7颗成苗的概率； （ii）成苗种子数量的平均值和方差. (2)每100颗试验种子为一个实验组，若有一个实验组恰有70颗成苗的概率最大，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C C A D D ABD ABC 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称， 所以. 2．D 【详解】已知随机变量，即随机变量服从二项分布， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 3．A 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为 4．C 【详解】由题意可得，解得， 所以. 5．C 【详解】记事件“任意购买一件买到优品”，事件“买到甲工厂的产品”，事件“买到乙工厂的产品”， 则，， 所以买到优品的概率． 6．A 【详解】由离散型随机变量分布列性质及成等比数列，得，，，. 设公比为，则，且，所以，即，所以. 因为，所以，所以. 7．D 【详解】盒内总球数为个， 取白球概率，取黑球概率，取黄球概率， 设单次得分为，则， 有放回取3次，总得分， ． 8．D 【详解】由题意的可能值为2或3， ，， 即的分布列为 2 3 所以，解得或. 9．ABD 【详解】对于A，显然其为独立重复试验，故第四次取出黄球的概率等价于第一次取出黄球的概率， 于是，故A正确； 对于B，可分为第一次取出黄球与第一次未取出黄球，由全概率公式得，故B正确； 对于C、D，从12个球中取出两个球，共有种，取出两个球没有黄球共有种， 则取出两个球至少有一个黄球的概率为，故C错误、D正确. 10．ABC 【详解】对于A中，随机变量ξ取每一个可能值的概率都是非负实数，所以A正确； 对于B中，根据分布列的性质，则随机变量 ξ取所有可能值的概率之和为1，所以B正确； 对于C中，根据分布列的性质，可得随机变量 ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和，所以C正确； 对于D中，根据分布列的性质，随机变量 ξ在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，所以D不正确. 故选：ABC. 11．BCD 【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 12．/ 【详解】随机变量服从正态分布， 所以，曲线关于对称， , . 13． 【详解】甲要获胜，则取出的数字只能是3，5，7，记甲得分为随机变量． 当甲选出3且获胜，则乙只能选2，概率为； 当甲选出5且获胜，则乙选出的是2，4，概率为； 当甲选出7且获胜，则乙选出的是2，4，6，概率为，所以甲获胜的概率； 由以上推出． 14． 【详解】当前两天部、部的比分为和时， 先从两天中选出一天，比赛比分为，三场比赛前两场，部一胜一负，第三场比赛获胜，另外一天比赛比分为，故概率为， 当前两天部、部的比分为和，附加赛部获胜时，两天中选出一天，比赛比分为， 故概率为， 故比赛进行局且部获得最终冠军的概率为.故答案为： 15．【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：； （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为：； （3）甲猜对的次数为，，期望为. 16．【详解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中，因为，所以， 所以，解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， 其中， ， ， ， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 另解：因为，所以． （3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”， 设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖． 则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率， 由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”， 则，， 所以 所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为. 17．【详解】（1）（i）设事件“抽取的零件来自甲车间”，“抽取的零件来自乙车间”，“抽取的零件可以出厂销售”. 则，，，； 由全概率公式得. 该零件可以出厂销售的概率为. （ii）的所有可能取值为，，． 由题意可得，服从超几何分布，则，其中. ，，. 的分布列为： . （2）由（1）得，即甲车间加工100个零件中预计可以出厂销售的有个， 则甲车间加工100个零件的平均获利为（元）， 由（1）得，即乙车间加工100个零件中预计可以出厂销售的有76个， 乙车间加工100个零件的平均获利为（元）， ，甲车间的平均获利更高，应扩建甲车间. 18．【详解】（1）甲通过考核进入面试环节， 答对第一题的概率是，答对第二题的概率是，   则甲考生通过某校强基招生面试的概率为． （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 丙考生通过某校强基招生面试的概率为，     甲、乙、丙三人中没有一人通过强基招生面试的概率为： ， 则甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 19．【详解】（1）（ⅰ）设事件“一颗试验种子成苗”，则， 用表示事件发生的次数，则， 由二项分布概率公式得； （ⅱ）由二项分布期望公式得， 由二项分布方差公式得. （2）由题意得，记， 则， 由题意最大，所以有，， 得到，解得，故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $