河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（12）--对数与对数函数

**基本信息** 聚焦对数与对数函数，通过定义辨析（第1题）、性质应用（第3题比较大小）及实际情境（第8题酒精倒出问题），分层考查运算能力与数学建模，解答题18题抽象函数探究培养逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|对数函数定义、定义域、过定点|基础巩固，如第1题定义辨析| |多选题|3/18|含参对数函数最值、定义域|能力提升，如9题分类讨论| |填空题|3/15|对数运算、不等式求解|简洁应用，如14题解对数不等式| |解答题|5/77|函数性质、抽象函数、最值综合|创新应用，如18题抽象函数探究|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（12） 范围：对数与对数函数 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 2．对数函数经过点（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D．2 6．设，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 8．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（    ）（参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 10．已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 11．若，，且，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，，则__________． 13．已知，当时，则________________． 14．若，则的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数． (1)求； (2)求不等式的解集． 16．(本小题15分）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)判断函数在定义域上的单调性，写出结论即可，不需要证明． 17．(本小题15分）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知且，求的值. 18．(本小题17分）函数对一切实数x，y均有成立，且． (1)求的值； (2)求的解析式； (3)令，恒成立，求a的取值范围． 19．(本小题17分）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C D A B B BD ACD 题号 11 答案 AB 1．C 【详解】函数是对数函数，且， 解可得或，，故选：C． 2．A 【详解】对于函数，令，则，即函数经过点. 3．D 【详解】因为，，， 所以. 4．C 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 5．D 【详解】由可得，则. 6．A 【详解】由，得，则有，所以. 7．B 【详解】函数，则，所以. 8．B 【详解】由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为， ， 连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为， 令，可得：， 则，则故至少是4.故选：B. 9．BD 【详解】根据已知条件，函数，当时，， 在上单调递减，则，解得，满足条件；当时，，在上单调递增，则，解得，满足条件.故选：BD. 10．ACD 【详解】因为函数定义域为R，所以对恒成立， 若，则对不恒成立，故不符合题意； 若，则，解得，所以的取值范围为. 11．AB 【详解】因为，，且，所以，所以， 所以， 故A正确，C错误；，故B正确，D错误.故选：AB. 12．1 【详解】由可得，又， 则. 13．/ 【详解】当时，令，即， 由，或舍去， 即，，或舍去， 所以，所以. 14． 【详解】因为函数在上单调递减，由得， ，解得.所以的取值范围是. 15．【详解】（1）因为函数，所以，，， 所以 .因此. （2）要使函数有意义，则，即，得；    又由，可知， 根据对数函数的性质，得，，，，解得， 所以不等式的解集为， 因此不等式的解集为. 16．【详解】（1）（1）令，可得或，有或空集. 取两个不等式组解集的并集，故函数的定义域为. （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称， 又由，可得函数为奇函数. （3）设， ，，，，． 利用对数函数在上单调递增有．故函数在上单调递减． 17．【详解】（1）因为，，所以； （2）因为，， 所以； （3）因为，所以由， . 18．【详解】（1）令，，得．又，． （2）令，得，则． （3）因为，且，所以． 要使时，恒成立，只要，解得， 故a的取值范围为 19．【详解】因为，， 故函数， 令，则， 根据函数最大值为0，最小值为，可以得到， 最小值在时取得，此时， 最大值在或时取得，此时或， 当时，，即 因为时取得最小值，故不符合题意，故， 当时，，此时，最大值在区间端点处取得， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 综上所述，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $