1.1 集合的概念 讲义 --2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的概念这一核心知识点，系统梳理元素与集合的定义、元素的确定性互异性无序性、元素与集合的关系及常用数集、集合的列举法描述法图示法等内容，构建从基础概念到表示应用的完整知识支架。 资料通过考向分类（如判断元素构成集合、利用互异性求参数）、例题与对点练习结合，培养学生抽象能力（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）和数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.1集合的概念 知识归纳与题型总结 考点01 元素与集合的概念及表示 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 考向01 判断元素能否构成集合 【例1】下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 考向02 判断是否为同一集合 【例2】下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 考向03 根据集合相等关系进行计算 【例3】已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 【对点1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A． 班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 【对点2】下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 【对点3】，则______． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 考点02 元素的特性 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 注：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 考向01 利用集合元素的互异性求参数 【例1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 考向02 集合元素互异性的应用 【例2】下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，根据集合的定义及表示方法可知A正确 对于B，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故B错误 对于C，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故C错误 对于D，表示集合的符号使用错误，对于有，，共个元素的集合表示为，故D错误． 考向03 利用集合中元素的性质求集合元素个数 【例3】已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题意得集合，故集合的元素个数为5. 【对点1】已知集合 ，，则__________． 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 【对点2】已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 【对点3】已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 考点03 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA． 注：符号“∈”和“”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 考向01 判断元素与集合的关系 【例1】0________N（选填“”或“”）． 【答案】 【详解】. 考向02 根据元素与集合的关系求参数 【例2】已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 考向03 常用数集或数集关系应用 【例3】下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，正确；②，正确； ③，错误；④，错误. 故判断正确的共2个. 【对点1】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 【对点2】已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 【对点3】用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 考点04 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 考向01 自然语言表示集合 【例1】在平面内，到点的距离等于8的点的集合是__________. 【答案】以点为圆心，以8为半径的圆 【分析】根据圆的定义求解. 【详解】在平面内到点的距离等于8的点的集合是：以点为圆心，以8为半径的圆. 故答案为：以点为圆心，以8为半径的圆. 考向02 描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 考向03 列举法表示集合 【例3】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 考向04 列举法求集合中元素的个数 【例4】由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 【答案】5 【详解】由已知， 所以集合中的元素共有个. 【对点1】两条平行直线的交点组成的集合是________．（用符号表示） 【答案】 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案. 【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集. 故答案为：. 【对点2】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 【对点3】集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列举法的知识确定正确答案. 【详解】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为， 所以列举法表示为. 【对点4】已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分析可知，结合，，分析求解即可. 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 一、选择题 1．已知集合，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据集合元素的互异性和从属关系分类讨论即可. 【详解】由题意得，即，此时显然不成立，舍去， 或，此时集合，满足互异性， 所以. 2．集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 4．已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，， 则， 则的元素个数为16. 5．集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为且，所以有5个元素. 6．若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 7．集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【答案】B 【详解】，共5个元素． 8．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 9．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 10．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（    ） A．1004 B．1007 C．1010 D．1013 【答案】C 【分析】本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数. 【详解】由“间距置换”定义，得，，. 由，得. 因且，故或. 若，则，，， 于是， 得，即，故. 若，同理可得. 综上所述，的值为. 故选：C. 二、填空题 11．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 12．给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______. 【答案】3 【分析】由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与 的差的绝对值. 结合已知元素逐一讨论即可. 【详解】当 时，取 ，则，命题成立； 当 或 时，命题也显然成立； 由题意，对 ，应有 故或或， 解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 13．已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【分析】用列举法列出集合、，再根据所给定义列出即可判断. 【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 14．给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集合，则原来的五个数是___________． 【答案】18，20，24，24，30或19，21，21，25，31． 【分析】从题目中这些和构成的集合为，分析出这5个数中必有两个数相等，使得这两个数对应的和相同且必须能被4整除，即这两个数对应的和只能为92或96，再分两种情况分别求出这5个数即可. 【详解】设这5个正整数为，它们的总和为． 任取4个数求和，得到的和分别为， 所以这5个和的总和为． 因为这些和构成的集合为，只有4个元素，说明必有两个数相等， 使得这两个数对应的和是相同的. 因为，由于其中一个和被重复计算了一次， 所以. 因为必须是整数，所以必须能被4整除. 因为，余数为0，所以也必须能被4整除. 在集合中，能被4整除的数为92和96，所以分两种情况： 情况一，92重复.，解得. 此时五个数分别为． 即这5个数为18，20，24，24，30； 情况二：96重复.，解得. 此时五个数分别为. 即这5个数为19，21，21，25，31，两组解均满足题意． 15．定义个元素构成的实数集的相伴数集，若中所有元素的最小值为1，则称为元规范数集.若集合为4元规范数集，则的取值范围为___________；若为6元规范数集，则中所有元素的绝对值之和的最小值为___________. 【答案】 9 【分析】（1）根据元规范数集的定义列不等式求解； （2）由为6元规范数集，得中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1， 设中所有元素从小到大依次为：，再根据绝对值不等式求解即可. 【详解】（1）集合为4元规范数集， 中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1， 所以解得取交集得. （2）设中所有元素从小到大依次为：， 若为6元规范数集，则中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1， 即有，所以， ， ， ， 当时，， 所以中所有元素的绝对值之和的最小值为9. 三、解答题 16．含有三个实数的集合，若且，求的值． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可. 【详解】因为中，为分母，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以或. 当时，不满足集合的互异性，故舍去. 当时，集合为 . 综上所述，，. 所以 17．给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为2，则称具有性质． (1)当时，判断是否具有性质；（结论不要求证明） (2)当时，直接写出一个具有性质，且元素的个数为3的集合；（结论不要求证明） (3)当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 【答案】(1)集合具有性质 (2)集合 (3) 集合不具有性质，理由如下： 设， ， 因为任取集合中的两个元素， 有， 设和为，则， ①当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和大于，不合题意； ②当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和小于5，不合题意； ③当时， 集合， 任取其中两个元素，这5个和均不大于1，故不满足题意， ④当时，集合， 任取其中两个元素,这5个和中至少有3个2， 故不满足题意， ⑤当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现1次， 故余下3个元素中必定存在两个元素，使得均为1，, 不满足题意，故时不存在具有性质. ⑥当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现2次， 故余下3个元素中,均会出现两个2， 不满足题意，故时不存在具有性质. 综上，集合不具有性质. 【分析】（1）根据性质的定义分析即可得出结论； （2）找一个集合，然后根据定义说明即可； （3）按照题意所给条件设出集合，然后利用已知定义分类讨论得出结论即可. 【详解】（1）集合具有性质，理由如下： 因为，则任取两个元素有： ①，此时，且只有一个2， ②，此时，且只有一个2， ③，此时，且只有一个2， 综上所述集合具有性质. （2）集合，理由如下： 任取两个元素有： ①，此时， 且只有一个2， ②，此时， 且只有一个2， ③，此时， 且只有一个2， 综上所述集合具有性质，故集合可以是. （3）略 18．根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【详解】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合，， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 19．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【答案】(1) ，当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. (2)且 (3) 假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可. （2）根据“超级好集”的定义进行解答即可. （3）根据“坏集”的定义进行证明即可. 【详解】（1）略 （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）略 20．已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 【答案】(1)任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. (4) 【分析】⑴由任意奇数，可证； ⑵由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； ⑶取，则，计算，并结合完全平方公式可得； ⑷由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.1集合的概念知识归纳与题型总结 思 维 图 元素 元素与集合的概念及表示 集合 集合相等 确定性 元素的特性 互异性 无序性 集合的概念 属于 元素与集合的关系 不属于 常用的数集及其记法 列举法 集合的表示法 描述法 图示法 培 优 考点01元素与集合的概念及表示 考点梳理 1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母4，b,c,…表示。 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A, B,C,…表示. 3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的. 典例引领 1/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向01判断元素能否构成集合 【例1】下列各组对象中，能构成集合的是() A.2026年高考数学全国1卷中的难题 B.重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C.人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D.美丽的小鸟 考向02判断是否为同一集合 【例】下列集合中，与集合红2斗 表示同一个集合的是() A.{1,2,2} B.{2-3x+2=0} c.p>1且r<2y D.,2》 考向03根据集合相等关系进行计算 【例3】已知集合A={亿，m,n},B={m,m,mn 若A=B,则m224.n225=() A.-1 B.0 C.1 D.2 对点提升 【对点1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是() A.班级里身材高挑的学生 B,数值很大的正数 C.π的近似小数 D.平方等于1的实数 【对点2】下列命题中正确的是() A.0与0}表示同一个集合 B.集合o,1和《0% 表示同一个集合 2/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 C.由(+2)=0 0,-2} 成的集合可表示为 D.接近于π的所有实数可以构成集合 【对点3】A=0,,B=1,,A=B,则x= 考点02元素的特性 考点梳理 1.确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一 个元素在不在这个集合中就确定了.简记为“确定性”· 2.互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现 的.简记为“互异性”， 3.无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性”. 注：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集 合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等：考察互异性的问题一般 是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法 典例引领 考向01 利用集合元素的互异性求参数 【例1)若3ea+la} 且集合中的元素均为整数，则的值为() A.-1 B.0 C.2 D.3 考向02集合元素互异性的应用 【例2】下列集合表示正确的是() A.2,4 B,2,33y c.2,2,3y D.(2,3,4) 3/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向03利用集合中元素的性质求集合元素个数 【例3】已知集合A={x-2≤x<3,x∈Z☑，则集合A的元素个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 子对点提升 【对点1】已知集合 A={a,a2+a,0eA,则a= 【对点2】已知集合4=L2,3,B=得列，则C={=20-ba∈4be8的元素个数为 () A.4 B.5 C.6 D.7 【对点3】已知集合1=九2,4 则集合A中元素的最多个数为() A.6 B.3 C.4 D.5 考点03元素与集合的关系 考点梳理 1.元素与集合的关系 (I)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作aEA. (2)还属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作aA. 注：符号“∈”和“在”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边 是集合，具有方向性，左右两边不能互换 2.常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N(或N+) Z Q R 典例引领 4/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 NH 考向01判断元素与集合的关系 【例1】0N(选填“∈”或“”). 考向02根据元素与集合的关系求参数 【例2】已知 e{0,a,a2} 则实数a的值为() A.0 B.1 c.-1 D.2 考向03常用数集或数集关系应用 【例3】下列数集关系判断正确的个数为() @5eN②2e③5eZ④0N A.1 B.2 C.3 D.4 对点提升 2 【对点1】给出下列5个关系：①2 eR,@5eZ,③0eN,④4eN,⑥ieQ, 其中正确命题的个数为() A.4 B.2 C.3 D.5 【对点2】已知集合 A={a-2,2a2+5a (1)求a满足的条件： (2)若-3∈A,求a的值. 【对点3】用符号∈或填空： (1)0N: (2)3 Q (3)-5 Z: 5/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 (4)2 R: (5)3.14 N 考点04集合的表示法 考点梳理 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法 注：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开. (2)集合中的元素必须是明确的， (3)集合中的元素不能重复 (4)集合中的元素可以是任何事物. 2.描述法 (I)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征Px)的元素x所组成 的集合表示为{x∈AP()},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖 线 (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画 一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征， 3.图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用 平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 典例引领 考向01自然语言表示集合 【例1】在平面内，到点O的距离等于8的点的集合是 6/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向02描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合： (2)正偶数组成的集合： 3)函数=2r2-x+ 的图象上所有的点组成的集合. 考向03列举法表示集合 【例3】用列举法表示下列集合： 1)方程(x-)(x-2)=0 的解组成的集合： (2)函数y=2x-1的图象与坐标轴的交点组成的集合 考向04列举法求集合中元素的个数 【例4】由单词“school”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素共有 对点提升 【对点1】两条平行直线的交点组成的集合是 (用符号表示) 【对点2】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合： (2)被5除余3的正整数组成的集合： )二次函数'=r+2x-10 的图象上所有点的纵坐标组成的集合， 2 4)使函数y=x一有意义的实数x组成的集合。 【对点3】集合{1<x≤5，x∈N的列举法表示为() 7/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 {1,2,3,4,5} B.23,45} c.,23,4 D.23,4 【对点4已知集合A={《,r+广≤4xeN,y∈N 则A中元素的个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 能力提升 一、选择题 1.已知集合U=1+x,1山，x∈U,则x=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2集合4={=+，柴合B=《=+4,B中xER,y∈R).则下列选 项中元素与集合的关系都正确的是() A2eA,且2)eB 8.-1eA,且，2)eB c.2eA,且 (3,10)∈B D.2EA,且 (3,10)eB 3.已知朱合4=2x+1>3形，则《) A.1∈A B.2∈A C.3gA D.4gA 4.已知袋合4={-20，L3列，B=川x∈4ye4,则8的元素个数为（) A.16 B.12 C.8 D.4 5.失合1=<5且∈N的元素的个数为《) A.5 B.4 C.3 D.2 6.若r-2xem-1m+ 为单元素集合，则=() A.-1 B.0 C.1 D.2 8/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 A={xx<5x∈N 7.集合 且 的元素的个数为() A.4 B.5 C.6 D.无穷多 个 xa<x< 4a 8.若集合4 3」中恰有6个整数元素，则a的取值范围为() (8a 24 A. 5 <as 2 D.{a4<a≤8 9.已知m∈R,集合1={m<x<3m-中的元素恰有2个整数，则m的取值范国是 () 45 A.{2} B.(33 C.R 。 10.置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组 M:{m,m2,m3} 有序数组 N:{h,n2,n3} 定义“间距程换”：4=m-m%-m,%=%m已知有序数 T:x,y,z 组 S:{a,3,b}(a≤b) 经过一次“间距置换”后得到新的有序数组 且S中所有 数之和为2026，则a=() A1004 B.1007 C.1010 D.1013 二、填空题 1,已知集合在∈Rr+2x+1=0aeR只有一个元素，则a的值为 12.给定正整数n,数集 4=a,4,4,0,满足对于任意的4,0∈ ，都存在am∈A 使得 a-a=a。-a若4=L2,,a=l,且xeN,则x= 9/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 13.已知集合 A={《xy)1x2+y2≤1，xy∈Z,B={xy)s2,y≤1xy∈Z ，定义集合 A⊕B={《x+x2y+y2)1(xy)eA,(x2y2)eB ,则A⊙B中元素的个数为 14.给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集 86,92,96,98},则 原来的五个数是 5.定文eN,m≥3刊个元素构成的实数集S的相件数集T=a-abeS,a≠，若 T中所有元素的最小值为1，则称S为”元规范数失若集合2，-↓，m,0为4元规范数华， 则m的取值范围为 若$为6元规范数集，则S中所有元素的绝对值之和的最 小值为 三、解答题 16.含有三个实数的集合 17.给定正整数k≥2，设集合M=《,,e0,1以，1=L,2.对于集合M的子 集A若任取A中两个不同元素0所片，(3西，)，有 y+y2+…+y%=31+22+…+2k +2+“+中有且只有一个为2，则称4具 且 有性质P 当长=3时，判断=《L,0),L0,)(0,1》是否具有性质P:(结论不要求证明) (2)当k=4时，直接写出一个具有性质P,且元素的个数为3的集合A；(结论不要求证 明) (3)当k=5时，若A中的元素个数为5，判断A是否具有性质P,若具有，写出一个集合A, 若不具有，说明理由、 18.根据要求完成下列问题：集合C满足：1C,又若实数m是数集C中的一个元素，则 10/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1 1-m一定也是数集c中的一个元素，求证： (1)若2∈C,则集合C中还有其他两个元素： (2)集合C不可能是单元素集合. 19.非空有限集合$是由若千个正实数组成，集合$的元素个数不少于2个，对于任意 a、b∈Sa≠b ab ba 若数“或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集 合S是“坏集”· 回國刻A39和B246是“好集”还是“坏华”，并简单说明理曲 (2)若题设中的a°、b都属于S,则称集合S为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无 须证明)· (3)题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合$是“坏集”； 20.已知集合1=x=m2-,m,n∈Z (1)求证：任何奇数都是A中的元素： (2)判断偶 4k-2(k∈Z是否为4的元素？请说明理由： (3)求证：属于A的两个元素之积仍属于A: (4)试求A中第2026个正整数. 11/11