1.2 集合间的基本关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学集合间的基本关系，系统梳理子集（含定义、记法、Venn图及自反性、传递性）、集合相等（双向包含判定）、真子集（含定义、记法及传递性）、空集（定义、符号及规定）等核心知识点，构建从IMO竞赛选手集合实例导入到抽象概念形成的学习支架。 该资料以情境化导入（IMO选手集合）激发兴趣，通过Venn图、数轴直观呈现集合关系，培养学生用数学眼光观察现实世界的几何直观，例题与母题探究强化逻辑推理（数学思维），符号与图形语言结合提升数学表达能力。课中辅助教师突破抽象概念教学，课后助力学生通过分层练习巩固知识，查漏补缺。

1．2　集合间的基本关系 课标要求　1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 　2.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 　3.在具体情境中，了解空集的含义． 第67届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)于2026年在中国上海举行，设全部参赛选手组成集合A，中国参赛选手组成集合B． 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗？ 提示：不是． 思考2　集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素吗？ 提示：是． 知识点一　子集 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A． (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 　(对接教材例2)指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (2)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}; (3)A＝{x|0<x<2}，B＝{x|－1<x≤3}； (4)A＝{(－1，1)}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}． 【解】　(1)因为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，所以A⊆B． (2)B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}＝{1，2，3}，所以A＝B． (3)因为A＝{x|0<x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，如图，所以A⊆B． (4)A中唯一元素(－1，1)∈B， 所以A⊆B． 【感悟提升】　判断集合间关系的常用方法 注意　用数轴表示集合时，如果端点处带“＝”，在数轴上端点处画实点；如果端点处不带“＝”，在数轴上端点处画虚点． 　1.已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则(　　) A．1∉M B．－1⊆M C．{－1，1}⊆M D．{－1，1}∈M 解析：选C．集合M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}， 1∈M，A错误； －1∈M，元素与集合不能用“⊆”符号，B错误； 根据子集的定义，有{－1，1}⊆M，C正确； 集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用“∈”符号，D错误． 2．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{0，1，2a＋3}，若A＝B，则a＝(　　) A．－1或3 B．0或1 C．3 D．－1 解析：选C．由A＝B，得a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3，当a＝－1时，A＝{0，1，1}与集合中元素的互异性矛盾，当a＝3时，A＝{0，1，9}＝B，满足题意． 知识点二　真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 结论 对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC 2.空集 (1)定义：把不含任何元素的集合叫做空集． (2)符号表示：∅． (3)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 　(对接教材例1)已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}． (1)写出集合A的子集、真子集； (2)求集合B的子集数、真子集数和非空真子集数． 【解】　(1)A的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为∅，{0}，{1}． (2)B的子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}． 所以B的子集数为8，真子集数为7，非空真子集数为6. 【感悟提升】　求集合子集、真子集个数的三个步骤 (1)判断：根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况． (2)分类：根据集合中元素的多少进行分类． (3)列举：采用列举法逐一写出每种情况的子集、真子集． 提醒　要注意两个特殊的子集：∅和集合本身． 常用结论 若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个；A的真子集有(2n－1)个；A的非空真子集有(2n－2)个． 　1.已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：选D．满足条件的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有5个． 2．已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12<0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集个数为(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 解析：选D．用列举法表示集合A，得A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，则集合A的子集个数为23＝8. 应用点　由集合间的关系求参数 　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m(m>1)}，且B⊆A，则实数m的取值范围是____________． 【解析】　由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4. 又m>1，所以实数m的取值范围是{m|1<m≤4}． 【答案】　{m|1＜m≤4} 母题探究　本例若将“B＝{x|1<x<m(m>1)}”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A； 若m>1，则由例题解析可知1＜m≤4. 综上可知，实数m的取值范围是{m|m≤4}． 【感悟提升】　应用集合关系求参数的四个步骤 提醒　不能忽视集合为∅的情形． 　已知集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的取值所组成的集合是(　　) A．{－1，2} B．{－2，1} C．{－2，0，1} D．{－1，0，2} 解析：选C．因为B⊆A，当a＝0时，B＝∅，满足条件；当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数a的取值所组成的集合是{－2，0，1}． 1．(多选)(教材P9T1(2)改编)已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，则下列选项正确的是(　　) A．－1∈A B．0⊆A C．∅⊆A D．∅A 解析：选ACD．因为A＝{x|x2＋x＝0}＝{－1，0}， 所以－1∈A，0∈A，∅⊆A，∅A， 所以A，C，D正确，B错误． 2．已知集合A＝{0，－1}，B＝{0，1，2－a}，若A，B关系如图所示，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 解析：选D．由题图可知A⊆B，则－1＝2－a，所以a＝3. 3．(2026·南阳月考)满足{1，2}M⊆{1，2，3，5}的集合M有________个． 解析：由{1，2}M⊆{1，2，3，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，5}，故满足题意的集合M共有3个． 答案：3 4．已知集合A＝{x|－a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，A⊆B，求实数a的取值范围． 解：因为A⊆B，所以可分为A＝∅和A≠∅两种情况， 当A＝∅时，－a>a，解得a<0； 当A≠∅时，应满足解得0≤a≤2. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤2}． 　 1．已学习：子集、真子集的概念与性质、集合相等、由集合间的关系求参数范围． 2．须贯通：利用列举法、Venn图及数轴判定两集合的关系，Venn图和数轴都体现了数形结合的数学思想． 3．应注意：(1)混淆子集和真子集的概念； (2)由集合间的关系求参数时容易遗忘空集及端点的取值． 学科网（北京）股份有限公司 $