1.1 集合的概念讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念核心知识点，系统梳理集合的确定性、互异性、无序性三大性质，元素与集合的属于关系，常用数集记法，以及列举法、描述法表示集合，形成从概念辨析到性质应用再到表示方法的递进学习支架。 该资料以题型为导向，每个题型配套“解题知识+典例+变式”，通过“判断‘美丽的花’能否构成集合”培养数学眼光的抽象能力，借助“集合相等求参数”训练数学思维的推理能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固概念、查漏补缺。

1.1 集合的概念 内 容 导 航 题型1 判断自然语言描述内容能否组成集合 题型2 常用数集及其记法 题型3 集合的确定性、互异性、无序性 题型4 判断两个集合是否相同 题型5 两个集合相等的应用 题型6 判断元素与集合的属于关系 题型7 元素与集合的属于关系的应用 题型8 列举法表示集合 题型9 描述法表示集合 考 点 演 练 题型1 判断自然语言描述内容能否组成集合 解｜题｜知｜识 判断自然语言描述内容能否组成集合是高中数学中集合概念的重要部分．集合是由某种特定性质确定的对象组成的整体，这些对象称为元素．自然语言描述内容能否组成集合，关键在于描述内容是否明确、具体．例如，描述“所有小于10的偶数”能组成集合，因为可以明确确定这些元素为2，4，6，8．而描述“所有美丽的花”则不能组成集合，因为“美丽”是主观的，缺乏明确标准．判断时，需要分析描述的内容是否具有唯一性和清晰性，以确保所有元素均能明确归类到该集合中． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 【答案】B 【解答】解：对于选项A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故选项A错误； 对于选项B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故选项B正确； 对于选项C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故选项C错误； 对于选项D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0，1，2，3，4，故选项D错误． 故选：B． 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【解答】解：对于选项A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故选项A正确； 对于选项B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故选项B错误； 对于选项C，集合的元素满足无序性，{1，2，3}与{2，1，3}是相同集合，故选项C错误； 对于选项D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合{0，1，2，5}，且有4个元素，故选项D错误． 故选：A． 【变式2】下列各组对象能组成集合的是（　　） ①我校高一年级所有聪明的学生； ②所有的平行四边形； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【解答】解：①聪明的学生不具有确定性，不能组成集合； ②所有的平行四边形可以明确定义，可以组成集合； ③所有不小于3的正整数可以明确定义，可以组成集合； ④的近似值，因为没有明确精确度，违背了集合中元素的确定性，不能组成集合． 故选：C． 【变式3】下列所给的对象能构成集合的是：①所有的正三角形；②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数；④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生；⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点（　　） A．①④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【解答】解：由元素的确定性可知，①能构成集合；②“难题”标准不确定，不能构成集合；③“比较接近1”的标准不明确，不能构成集合；④能构成集合；⑤能构成集合． 故选：A． 题型2 常用数集及其记法 解｜题｜知｜识 数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记为R． 【典例1】下列说法正确的有（　　） ①；②∈N*；③﹣1∈N；④；⑤∉Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①∈Q正确； ②∉N*错误； ③﹣1∉N错误； ④2∉Q错误； ⑤∈Z错误． 故选：A． 【变式1】下列关系中正确的个数是（　　） ①； ②； ③0∈N*； ④π∈Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：根据元素与集合的关系有：①是实数，故，故①正确； ②，故②正确； ③0∉N*，故③错误； ④π∉Z，故④错误， 故正确的个数为2个， 故选：B． 【变式2】下列元素与集合的关系表示正确的是（　　） ①﹣1∈N*；②∉Z；③∈Q；④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【解答】解：对于①：﹣1不是自然数，故﹣1∉N*，故①错误； 对于②：是无理数不是整数，Z表示整数集合∴∉Z，故②正确； 对于③：是有理数，Q表示有理数集，∴∈Q，故③正确； 对于④：π是无理数，Q表示有理数集，∴π∉Q，故④错误． 故选：B． 【变式3】下列说法中正确的是（　　） A．集合N与集合N*是同一个集合 B．集合Q中的元素都是集合Z中的元素 C．集合N中的元素都是集合Z中的元素 D．集合Q中的元素都是集合R中的元素 【答案】CD 【解答】解：对于选项A，由于集合N是自然集，其中包含自然数0，而集合N*是正整数集， 所以它们不是同一个集合，故选项A错误； 对于选项B，由于有理数包含整数和分数，所以集合Q中的元素不都是集合Z中的元素，故选项B错误； 对于选项C，由于自然数都是整数，所以集合N中的元素都是集合Z中的元素，故选项C正确； 对于选项D，由于实数包含有理数和无理数，所以集合Q中的元素都是集合R中的元素，故选项D正确． 故选：CD． 题型3 集合的确定性、互异性、无序性 解｜题｜知｜识 集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征． （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 【典例1】设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 【答案】C 【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3， ∴a2﹣a+2＝14， ∴A＝{2，4，14}； 若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1， a＝2时，1﹣a＝﹣1， ∴A＝{2，﹣1，4}； a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍）， 故选：C． 【变式1】已知集合{b}＝{x∈R|ax2﹣4x+1＝0，a，b∈R}，则a+b＝（　　） A．0或1 B． C． D．或 【答案】D 【解答】解：∵集合{b}＝{x∈R|ax2﹣4x+1＝0，a，b∈R}， ∴a＝0，或Δ＝16﹣4a＝0． 当a＝0时，{b}＝{x|﹣4x+1＝0}＝{}，即b，a+b； 当Δ＝16﹣4a＝0时，a＝4， {b}＝{x|4x2﹣4x+1＝0}＝{}，即b，a+b． 故选：D． 【变式2】若x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素，则以x1，x2，x3，x4为边长的四边形可能是（　　） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【解答】解：由题意，x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素， 根据集合中元素的互异性，以x1，x2，x3，x4为边长的四边形，四条边均不相等， 选项中只有直角梯形可能满足要求． 故选：B． 题型4 判断两个集合是否相同 解｜题｜知｜识 （1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B． （2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B． 【典例1】下列集合与集合A＝{2，3}相等的是（　　） A．{（2，3）} B．{（x，y}）|x＝2，y＝3} C．{x|x2﹣5x+6＝0} D．{x＝2，y＝3} 【答案】C 【解答】解：∵{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}， ∴与集合A＝{2，3}相等的是{x|x2﹣5x+6＝0}． 故选：C． 【变式1】下列不是同一集合的是（　　） A．A＝{x|x＝2n，n∈N且0＜n＜5}，B＝{2，4，6，8} B．A＝{x|x＞1}，B＝{y|y＞1} C．A＝{x|y＝x+1}，B＝{（x，y）|y＝x+1} D．A＝{x|x＞0，x∈N}，B＝{x|x＞0，x∈Z} 【答案】C 【解答】解：对于选项A，由n∈N，0＜n＜5，得n＝1，2，3，4， 所以A＝{x|x＝2n，n∈N且0＜n＜5}＝{2，4，6，8}＝B，故A不正确； 对于选项B，因为A＝{x|x＞1}＝（1，+∞），B＝{y|y＞1}＝（1，+∞），所以A＝B，故B不正确； 对于选项C，集合A＝{x|y＝x+1}是数集，B＝{（x，y）|y＝x+1}是点集，所以A≠B，故C正确； 对于选项D，A＝{x|x＞0，x∈N}＝{1，2，3，…}，B＝{x|x＞0，x∈Z}＝{1，2，3，…}， 所以A＝B，故D不正确． 故选：C． 【变式2】下列选项中两个集合相等的是（　　） A．M＝{﹣1，3}，N＝{x|（x﹣3）（x﹣1）＝0} B．M＝{a|a＝3n﹣1，n∈Z}，N＝{b|b＝3k+2，k∈Z} C．M，N＝{1，﹣2} D．M＝{（x，y）|y＝|x|}，N＝{y|y＝|x|} 【答案】B 【解答】解：对于A，M＝{﹣1，3}，N＝{x|（x﹣3）（x﹣1）＝0}＝{1，3}，M≠N，故A错误； 对于B，M＝{a|a＝3n﹣1，n∈Z}，N＝{b|b＝3k+2，k∈Z}＝{b|b＝3（k+1）﹣1，k∈Z}，∴M＝N，故B正确； 对于C，M是一个点（1，2），N＝{1，﹣2}是两个数1，﹣2，∴M≠N，故C错误； 对于D，M＝{（x，y）|y＝|x|}是点的集合，N＝{y|y＝|x|}是数的集合，∴M≠N，故D错误． 故选：B． 【变式3】下列说法中正确的是（　　） A．0⊆{0} B．∅是{0}的一个真子集 C．集合M＝{3，4}与N＝{4，3}表示同一个集合 D．已知集合M＝{1，m，m2+3}，且4∈M，则m的取值构成的集合为{﹣1，4} 【答案】BCD 【解答】解：对于A，0∈{0}，A错误； 对于B，∅是{0}的一个真子集，B正确； 对于C，由集合元素的无序性知，M＝{3，4}与N＝{4，3}表示同一集合，C正确； 对于D，在M＝{1，m，m2+3}中，m2+3＞1，m≠1，， 由4∈M，得m＝4或m2+3＝4，则m＝4或m＝﹣1，D正确． 故选：BCD． 题型5 两个集合相等的应用 解｜题｜知｜识 对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质： ①两个集合的元素个数相等； ②两个集合的元素之和相等； ③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据． 【典例1】已知m∈R，n∈R，若集合{m，，1}＝{m2，m+n，0}，则m2025+n2025的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】B 【解答】解：若集合{m，，1}＝{m2，m+n，0}，则0，即n＝0，m≠0， 所以{m，0，1}＝{m2，m，0}， 所以m2＝1且m≠1， 所以m＝﹣1，n＝0， m2025+n2025＝﹣1． 故选：B． 【变式1】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，则下面选项正确的为（　　） A．2025∈[3] B．﹣2∈[2] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D．整数a、b属于同一“类”的充分不必要条件是“a﹣b∈[0]” 【答案】C 【解答】解：在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4， 对于A，2025＝405×5∈[0]，A错误； 对于B，﹣2＝﹣1×5+3∈[3]，B错误； 对于C，每个整数除以5后的余数只有0，1，2，3，4，没有其他余数， 所以Z⊆[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，又[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]⊆Z， 故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，C正确； 对于D，若a，b∈[m]，m＝0，1，2，3，4， 则a＝5n1+m，n1∈Z，b＝5n2+m，n2∈Z， ∴a﹣b＝5（n1﹣n2）∈[0] 若a﹣b∈[0]，则a﹣b＝5p，p∈Z， 不妨设a∈[t]，t＝0，1，2，3，4， 则a＝5n3+t，n3∈Z， 所以b＝5（n3﹣p）+t，n3﹣t∈Z， 所以a，b除以5后余数相同， 所以a，b属于同一“类” 所以整数a、b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”，D错误． 故选：C． 【变式2】若集合{x，1+x，x2}＝{﹣1，0，1}，则x＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1，﹣1 【答案】C 【解答】解：因为集合{x，1+x，x2}＝{﹣1，0，1}， 当x＝﹣1，则x2＝1，1+x＝0，符合题意； 当x＝0，则x2＝0，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意； 当x＝1，则x2＝1，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意； 所以x＝﹣1． 故选：C． 【变式3】已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2023+b2022＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：∵A＝B， ∴或，解得a＝﹣1，b＝0， ∴a2023+b2022＝﹣1． 故选：A． 【变式4】已知集合A＝{0，1，﹣a}，B＝{1，b+2，b}，若A＝B，则a+b的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】BC 【解答】解：因为A＝B， 所以或，解得，或， 则a+b＝0或a+b＝﹣2． 故选：BC． 题型6 判断元素与集合的属于关系 解｜题｜知｜识 元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 【典例1】下列关系中正确的个数为（　　） ①2∈R，②，③0∈N，④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：对于①，因为R表示实数集，所以2∈R，故①正确； 对于②，因为Z表示整数集，所以，故②错误； 对于③，因为N表示自然数集，所以0∈N，故③正确； 对于④，因为Q表示有理数集，所以，故④错误； 故正确的关系式有2个． 故选：B． 【变式1】设集合A＝{x|m＜2x+1}，若﹣1∉A且1∈A，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．﹣1≤m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．﹣1≤m≤3 【答案】B 【解答】解：由A＝{x|m＜2x+1}，﹣1∉A且1∈A， 可得，解得﹣1≤m＜3． 故选：B． 【变式2】给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，下列结论正确的个数是（　　） ①集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，3}为闭集合； ②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为闭集合； ③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合； ④若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：对于①：A＝{﹣3，﹣1，0，1，3}， 当a＝1，b＝3时，a∈A，b∈A，但 a+b＝4∉A，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：A＝{n|n＝2k，k∈Z}，任意a∈A，b∈A，可设a＝2m，b＝2n，m，n∈Z， 则 a+b＝2（m+n），a﹣b＝2（m﹣n），由m+n∈Z，m﹣n∈Z， 所以a+b∈A，且a﹣b∈A，故集合A为闭集合．故②正确； 对于③：设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}， 任意a∈A1，b∈A1， 可设a＝3s，b＝3t，s，t∈Z， 则 a+b＝3（s+t），a﹣b＝3（s﹣t）， 由s+t∈Z，s﹣t∈Z，所以a+b∈A1，且a﹣b∈A1， 则集合A1为闭集合； 由②分析可知A2＝{n|n＝2k，k∈Z}也为闭集合， A1∪A2＝{⋯，﹣6﹣4，﹣3，﹣2，0，2，3，4，6…}， 当a＝2，b＝3时，a∈（A1∪A2），b∈（A1∪A2）， 但 a+b＝5∉（A1∪A2）， 即A1∪A2不是闭集合，故③错误； 对于④：设A1＝A2＝R， 若a，b∈R，则a+b∈R，a﹣b∈R， 则A1，A2都为闭集合， 又A1＝A2＝R⊆R且A1∪A2＝R， 不存在c∈R，使得c∉R， 即不存在c∈R，使得c∉（A1∪A2），故④错误． 故选：B． 【变式3】如果A＝{x|x＞π}，那么正确的结论是（　　） A．3∈A B．{3}⊆A C．4∈A D．{4}∈A 【答案】C 【解答】解：因为A＝{x|x＞π}，而3＜π＜4， 所以3∉A，4∈A，故A错误，C正确， 所以{3}不是A的子集，{4}是A的子集，但{4}∈A表述错误，故B错误，D错误． 故选：C． 题型7 元素与集合的属于关系的应用 解｜题｜知｜识 元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 【典例1】设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6}，由S的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（　　）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解答】解：S的3元素子集有20个， 不含“孤立元”的集合需满足：集合中任意元素的相邻数（k﹣1或k+1）也在集合内，即这3个元素必须是连续的整数， 这样的集合有{1，2，3}、{2，3，4}、{3，4，5}、{4，5，6}，共4个， 因此，含有“孤立元”的集合个数为总数减去不含孤立元的个数，即20﹣4＝16． 故选：B． 【变式1】已知m，n∈R，若集合，则m2025+n2026＝（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．±1 【答案】C 【解答】解：由集合， 可得，所以n＝0， 将n＝0代入，可得{m，0，1}＝{m2，m，0}， 则有m2＝1且m≠1，所以m＝﹣1， 故m2025+n2026＝（﹣1）2025+02026＝﹣1． 故选：C． 【变式2】已知A，B，C为集合M＝{1，2，…，n}（n∈N*）的非空子集，满足： ①A∩B＝A∩C＝B∩C＝∅，A∪B∪C＝M； ②{x∈M|x＝3k，k∈N*}⊆A，B中元素均为奇数，C中元素均为偶数； ③A，B，C中所有元素的和分别记为S1，S2，S3，且S1＝S2＝S3．则正整数n的最小值为　　 ． 【答案】8． 【解答】解：当n＝1，2时，无法满足A中的元素是3的倍数，不符合题意，舍； 当n＝3时，M元素的总和为6，每部分和应为2，但A中必须包含3， 其和3＞2，不符合题意，故舍； 当n＝4时，集合M元素的总和为10，不能被3整除，不符合题意，故舍； 当n＝5时，集合M元素的总和为15，每部分和应为5，A中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时A＝{2，3}，剩余元素{1，4，5}分配给B，C， 无法满足和为5且奇偶性的要求，不符合题意，故舍； 当n＝6时，集合M元素的总和为21，每部分和应为7，A中必须包含3和6， 此时和为9＞7，不符合题意，故舍； 当n＝7时，集合M元素的总和为28，不能被3整除，不符合题意，故舍； 当n＝8时，集合M元素的总和为36，每部分和应为12，A中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时A＝{1，2，3，6}，剩余元素{4，5，7，8}分配给B，C， B取奇数{5，7}，和为12，C取偶数{4，8}，和为12，满足所有条件， 所以n的最小值为8． 故答案为：8． 【变式3】已知有限集A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），如果A中的元素ai（i＝1，2，…，n）满足a1+a2+…+an＝a1×a2×…×an，就称A为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）a1、a2是两个不同的正数，且{a1，a2}是“完美集”，求证：a1、a2至少有一个大于2； （3）若ai为正整数，求：“完美集”A． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）证明见解析； （3）{1，2，3}． 【解答】解：（1）由，，则集合是“完美集”， （2）若a1、a2是两个不同的正数，且{a1，a2}是“完美集”， 设a1+a2＝a1•a2＝t＞0， 根据根和系数的关系知，a1＝2和a2相当于x2﹣tx+t＝0的两根， 由Δ＝t2﹣4t＞0，解得t＞4或t＜0（舍去）， 所以a1•a2＞4，又a1，a2均为正数， 所以a1、a2至少有一个大于2． （3）不妨设A中a1＜a2＜a3＜...＜an， 由a1a2...an＝a1+a2+...+an＜nan，得a1a2...an﹣1＜n， 当n＝2时，即有a1＜2，又ai为正整数，所以a1＝1， 于是1+a2＝1×a2，则a2无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当n＝3时，a1a2＜3，故只能a1＝1，a2＝2，求得a3＝3， 于是“完美集”A只有一个，为{1，2，3}． 当n≥4时，由a1a2...an﹣1≥1×2×3×...×（n﹣1），即有n＞1×2×3×...×（n﹣1）， 而n﹣（n﹣1）（n﹣2）＝﹣n2+4n﹣2＝﹣（n﹣2）2+2＜0， 又（n﹣1）（n﹣2）≤1×2×3×...×（n﹣1），因此n＜1×2×3×...×（n﹣1），故矛盾， 所以当n≥4时不存在完美集A， 综上知，“完美集”A为{1，2，3}． 题型8 列举法表示集合 解｜题｜知｜识 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【典例1】若用列举法表示集合A＝{（x，y）|}，则下列表示正确的是（　　） A．{x＝3，y＝0} B．{（3，0）} C．{3，0} D．{0，3} 【答案】B 【解答】解：由，解得， 所以A＝{（3，0）}． 故选：B． 【变式1】将集合{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}用列举法表示是（　　） A．{0，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{0，1，2，3} 【答案】C 【解答】解：因为﹣3＜x＜3，且x∈Z， 则x的所有取值为﹣2，﹣1，0，1，2，用列举法表示是{﹣2，﹣1，0，1，2}． 故选：C． 【变式2】曲线与直线y＝2x的交点组成的集合为　 　 ． 【答案】{（1，2），（﹣1，﹣2）}． 【解答】解：由题意得，解得或， ∴曲线y与直线y＝2x的交点坐标为（1，2）和（﹣1，﹣2）， ∴交点组成的集合为{（1，2），（﹣1，﹣2）}． 故答案为：{（1，2），（﹣1，﹣2）}． 【变式3】已知集合A＝{a|关于x的方程有唯一解}，用列举法表示A＝　 　 ． 【答案】{5，4，﹣4} 【解答】解：当方程化为一元二次方程，则x2﹣2x﹣4+a＝0， 此时方程x2﹣2x﹣4+a＝0只有一个解时， 所以Δ＝4﹣4（a﹣4）＝0， 解得a＝5， 当方程化为一元一次方程，由x2﹣4＝（x﹣2）（x+2）， 所以a＝4或﹣4， 所以A＝{5，4，﹣4}． 故答案为：{5，4，﹣4}． 题型9 描述法表示集合 解｜题｜知｜识 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法． 【典例1】定义集合运算：，若集合A＝B＝{x∈N|1＜x＜4}，，则（A⊕B）∩C＝　 　 ． 【答案】{（4，1），（6，）}． 【解答】解：由题设可得A＝B＝{2，3}， 所以A⊕B＝{（4，1），（4，），（6，1），（6，）}， 因为1，，16，， 故（A⊕B）∩C＝{（4，1），（6，）}． 故答案为：{（4，1），（6，）}． 【变式1】选择适当方法表示下列集合： （1）由不超过5的所有自然数组成的集合A； （2）不等式3x+2＞5的解集组成集合B； （3）二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上所有的点组成的集合D． 【答案】（1）A＝{0，1，2，3，4，5}； （2）B＝{x∈R|3x+2＞5}； （3）D＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+3}． 【解答】解：（1）集合A＝{0，1，2，3，4，5}； （2）集合B＝{x∈R|3x+2＞5}； （3）集合D＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+3}． 过 关 验 收 1．下列说法正确的是（　　） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足﹣2≤x＜1的x构成的集合是{﹣2≤x＜1} C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线y＝﹣x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{y|y＝﹣x2+1} 【答案】C 【解答】解：对于选项A，根据集合中的元素满足互异性，可知构成的集合为{1，2，3，4}，故选项A错误； 对于选项B，满足﹣2≤x＜1的x构成的集合是{x|﹣2≤x＜1}，故选项B错误； 对于选项C，全体实数构成的集合是{x|x是实数}，故选项C正确； 对于选项D，抛物线y＝﹣x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{（x，y）|y＝﹣x2+1}，故选项D错误． 故选：C． 2．下列各组对象能构成集合的是（　　） A．中国著名的数学家 B．高一（2）班个子比较高的学生 C．不大于5的自然数 D．约等于3的实数 【答案】C 【解答】解：对于A：著名数学家的标准不明确，不能构成集合，故A错误； 对于B：个子比较高的标准不明确，不能构成集合，故B错误； 对于C：不大于5的自然数有0，1，2，3，4，5，能构成集合，故C正确； 对于D：约等于3的实数的精度不明确，不能构成集合，故D错误． 故选：C． 3．下面能构成集合的是（　　） A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数 C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生 【答案】B 【解答】解：对于A：中国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于B：大于5小于11的偶数为6、8、10，可以构成集合； 对于C：高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于D：某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性． 故选：B． 4．下列对象能构成集合的是（　　） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【解答】解：A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合． 故选：C． 5．若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解答】解：根据集合元素的互异性， 在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等， 故△ABC一定不是等腰三角形； 故选：D． 6．下列对象能构成集合的有（　　） A．接近于2025的所有正整数 B．小于﹣3的实数 C．未来10年内的房价趋势 D．点M（3，2）与点N（4，3） 【答案】BD 【解答】解：对于A，接近于2025所有正整数不具有确定性； 对于B，小于﹣3的实数是确定的，具有确定性，能构成集合； 对于C，未来10年内的房价趋势不明确，元素不具有确定性，不能构成集合； 对于D，点M（3，2）与点N（4，3）是两个不同的点，是确定的，能构成集合． 故选：BD． 7．集合{4，x，x2﹣3x}中，x应满足的条件是　 ． 【答案】x≠﹣1，0，4． 【解答】解：由题意，x≠4，x2﹣3x≠4，x2﹣3x≠x， 解得x≠﹣1，0，4． 故答案为：x≠﹣1，0，4． 8．已知集合A＝{1，m+1，m2﹣1}，且0∈A，则实数m为　　 ． 【答案】1． 【解答】解：由题意，0∈A＝{1，m+1，m2﹣1}， 所以m+1＝0或m2﹣1＝0，解得m＝﹣1或m＝1， 当m＝﹣1时，集合A＝{1，0，0}，不合题意； 当m＝1时，集合A＝{1，2，0}，满足题意； 综上m＝1． 故答案为：1． 9．Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}； 与集合M相等的集合序号是　 　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：①是有理数，2b也是有理数，故与集合M相等； ②， 因为都是有理数，符合集合M的形式，故与集合M相等； ③，则x1+x2＝0∉M； ④令，则，， 因为ac+2bd，ad+bc都是有理数，符合集合M的形式，与集合M相等； 故答案为：①②④． 10．若，则b﹣a＝　　 ． 【答案】2 【解答】解：若， 则a≠0，，即b＝1， 则，解得a＝1或a＝﹣1， 若a＝﹣1，则有{1，﹣1，0}＝{0，﹣1，1}，符合要求； 若a＝1，则违背集合互异性，舍去； 综上所述，a＝﹣1，则b﹣a＝1﹣（﹣1）＝2． 故答案为：2． 11．已知集合，B＝{x2，x+y，0}，若A＝B，则x+y＝　　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：依题意可知x≠0，由于A＝B， 所以y＝0，此时A＝{x，0，1}，B＝{x2，x，0}， 所以x2＝1， 解得x＝﹣1或x＝1（舍去）， 所以x+y＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．已知集合A＝{0，﹣2m}，B＝{0，m2}，且A＝B，则实数m的值为　　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：因为集合A＝{0，﹣2m}，B＝{0，m2}， 且A＝B，所以﹣2m＝m2， 结合m＝﹣2或m＝0（舍去）． 故答案为：﹣2． 13．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}及非空集合C＝{x|x2﹣ax+b＝0}． （1）若B＝C，求a，b的值； （2）是否存在实数a，b，使得A∩C＝B，若存在，求出a与b的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）当a＝0，{b|b≤0且b≠﹣1，﹣9}时满足题意；当a＝1，b＝0时满足题意；当，b＝﹣8时满足题意． 【解答】解：（1）因为B＝C，且C为非空集合，所以a≠0，即， 则x2﹣ax+b＝0只有一个根为， 故， 解得，； （2）由题意得A＝{x|x2+2x﹣3＝0}＝{1，﹣3}， 由于A∩C＝B，所以B⊆A且B⊆C， ①当a＝0时，B＝∅，只需要满足集合C非空且A∩C＝∅即可， 则满足a2﹣4b≥0，且当x＝1或x＝﹣3时，x2+b≠0， 故{b|b≤0且b≠﹣1，﹣9}； ②当a≠0时，， 若，则a＝1， 此时只需满足集合C只有一个根为1或一个根为1，另一个根不为﹣3， 将x＝1代入x2﹣x+b＝0，得b＝0，即C＝{1，0}，满足题意； 若，则， 此时只需满足集合C只有一个根为﹣3或一个根为﹣3，另一个根不为1， 将x＝﹣3代入，得b＝﹣8， 令，解得x＝﹣3或，即满足题意； 综上：当a＝0，{b|b≤0且b≠﹣1，﹣9}时满足题意；当a＝1，b＝0时满足题意；当，b＝﹣8时满足题意． 14．已知全集U＝R，A＝{x+1，x2﹣1}，B＝{4，8}． （1）设实数x的取值构成集合M，求∁UM； （2）当A＝B时，求实数x的值． 【答案】（1）{﹣1，2}； （2）3． 【解答】解：（1）由A＝{x+1，x2﹣1}， 则x+1≠x2﹣1，解得x≠2且x≠﹣1； 所以实数x的取值的集合M＝{x∈R|x≠2且x≠﹣1}； 所以∁UM＝{﹣1，2}； （2）当A＝B时可得或； 当时，解得x＝3， 当时，无解，舍去； 所以x＝3． 15．已知集合A＝{﹣2，0，1，3}，集合B＝{x|﹣x∈A且3+x∉A}，则B＝（　　） A．{0，3} B．{﹣2，1} C．{2，﹣1} D．{0，1，3} 【答案】C 【解答】解：集合A＝{﹣2，0，1，3}，集合B＝{x|﹣x∈A且3+x∉A}， 当﹣x＝﹣2，得x＝2，3+2＝5∉A，满足条件， ﹣x＝0，得x＝0，3+0＝3∈A，不满足条件， ﹣x＝1，得x＝﹣1，3+（﹣1）＝2∉A，满足条件， ﹣x＝3，得x＝﹣3，3+（﹣3）＝0∈A，不满足条件， 所以B＝{2，﹣1}． 故选：C． 16．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{4n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，下列结论正确的是（　　） A．﹣3∈[2] B．Z＝[1]∪[2]∪[3] C．整数a，b属于同一“类”的充分不必要条件是“a﹣b∈[0]” D．若a∈[3]，b∈[2]，则ab∈[2] 【答案】D 【解答】解：整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{4n+k|n∈Z}， 对于A，因为﹣3＝﹣1×4+1，所以﹣3∈[1]，A错误． 对于B，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，所以Z⊆[0]∪[1]∪[2]∪[3]，又[0]∪[1]∪[2]∪[3]⊆Z， 所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，B错误． 对于C，若a，b∈[m]，m＝0，1，2，3，则a＝4n1+m，n1∈Z，b＝4n2+m，n2∈Z， 所以a﹣b＝4（n1﹣n2）∈[0]； 若a﹣b∈[0]，则a﹣b＝4p，p∈Z，不妨设a∈[t]，t＝0，1，2，3， 则a＝4n3+t，n3∈Z，所以b＝4（n3﹣p）+t，n3﹣p∈Z， 所以a，b除以4所得的余数相同，即a，b属于同一“类”． 故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”，C错误． 对于D，由题意可设a＝4k1+3，k1∈Z，b＝4k2+2，k2∈Z， 则ab＝16k1k2+8k1+12k2+6＝4（4k1k2+2k1+3k2+1）+2， 因为4k1k2+2k1+3k2+1∈Z，所以ab∈[2]，D正确． 故选：D． 17．给出下列关系：①；②2∈Z；③|﹣3|∉N*；④其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：对于①，为实数，而R表示实数集，所以，故①正确； 对于②，2为整数，而Z表示整数集合，所以2∈Z，故②正确； 对于③，|﹣3|＝3为正整数，而N*表示正整数集，所以|﹣3|∈N*，故③不正确； 对于④，因为为无理数，Q表示有理数集，所以，故④不正确． 故选：B． 18．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合A＝{x|x2+x＝0}，B＝{x|（3x2+ax）（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【解答】解：集合A＝{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，A*B＝1， 根据集合的新定义知：B中有1个或者3个元素， 当B中有1个元素时，（3x2+ax）（x2+ax+2）＝0有一个解，可得a＝0， 当B中有3个元素时，易知a≠0，（3x2+ax）（x2+ax+2）＝0有三个解， 其中的两个为：， 当x2+ax+2＝0有一个解时，令Δ＝0，可得， 当x2+ax+2＝0有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件， 此时，显然x3，x4不等于0， 所以或， 解得a＝3或a＝﹣3， 综上所述，设实数a的所有可能取值为， 所以构成集合S元素个数为5，即C（S）＝5． 故选：C． 19．若数集A＝{a1，a2，⋯，an}（1≤a1＜a2＜⋯＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i＜j≤n），aiaj与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（　　） A．“权集”中一定有1 B．{1，2，3，6}为“权集” C．{1，2，3，4，6，12}为“权集” D．{1，3，4}为“权集” 【答案】B 【解答】解：对于选项A，因为2×3，，都属于数集{2，3，6}，{2，3，6}是“权集”， 所以“权集”中不一定有1，故选项A错误； 对于选项B，因为都属于数集{1，2，3，6}，{1，2，3，6}为“权集”，故选项B正确； 对于选项C，因为4×6与均不属于数集{1，2，3，4，6，12}，{1，2，3，4，6，12}不为“权集”，故选项C错误； 对于选项D，因为3×4与均不属于数集{1，3，4}，{1，3，4}不为“权集”，故选项D错误． 故选：B． 20．给定非空数集P，设集合A＝{x|x＝s+t，s∈P，t∈P}，B＝{x|x＝s﹣t，s≥t，s∈P，t∈P}，card（P）为P中元素的个数．设集合M＝{x∈N|x﹣r≤0，r为常数，r∈R}，card（M）＝999．若∀λ∈P，则λ∈M；若∀μ∈A，则μ∉B．下列结论正确的是（　　） A．P⊆M B．card（P）的值可能为669 C．B的最大元素不大于665 D．card（P）的值可能为666 【答案】AD 【解答】解：因为集合M＝{x∈N|x≤r}，且card（M）＝999， 所以M＝{0，1，2，…，998}，M中最大元素为998． 对于A选项：题设明确∀λ∈P，λ∈M，根据子集定义，可得P⊆M，所以A选项正确； 设P中最小元素为m，最大元素为MP，card（P）＝k． 因为∀μ∈A，μ∉B，即A∩B＝∅． 因为A＝{x|x＝s+t，s，t∈P}，所以A的最小元素为m+m＝2m． 因为B＝{x|x＝s﹣t，s≥t，s，t∈P}，所以B的最大元素为MP﹣m． 要满足A∩B＝∅，需保证B的最大元素小于A的最小元素， 即MP﹣m＜2m，可得MP＜3m． 对于C选项：若P＝{332，998}，则A＝{664，1330，1996}，B＝{0，666}， 满足A∩B＝∅，且666＞665，所以C选项错误； 对于B、D选项：要使card（P）＝k最大，可取P为连续自然数集合，此时MP＝m+k﹣1． 代入MP＜3m，可得m+k﹣1＜3m，即m． 又MP＝m+k﹣1≤998，当k＝666时，， 因为m∈N，所以m＝333， 代入得333+666﹣1＝998≤998，且MP＝998＜3m＝999， 满足MP＜3m，此时P＝{333，334，…，998}符合所有条件，所以card（P）可能为666，所以D选项正确； 当k＝669时，，因为m∈N，所以m＝335， 代入得335+669﹣1＝1003＞998，超出M的元素范围，不可能成立，所以B选项错误． 故选：AD． 21．已知集合A＝{1，a+9，a2+a}，若6∈A，则a＝　　 ． 【答案】2． 【解答】解：因为集合A＝{1，a+9，a2+a}，且6∈A， 所以a+9＝6或a2+a＝6， 当a+9＝6时，则a＝﹣3， 此时a2+a＝6，集合A不满足互异性， 当a2+a＝6时，则a＝2或a＝﹣3（舍）， 当a＝2时，A＝{1，11，6}，符合题意， 综上所述，a＝2． 故答案为：2． 22．设a，b，c为非零实数，则的所有可能取值构成的集合为 　 　 ． 【答案】{﹣1，1，3，﹣3} 【解答】解：因为a，b，c为非零实数，， 当a，b，c全为正数时，x＝3； 当a，c为正数，b为负数时，x＝﹣3； 当a，b为正数，c为负数时，x＝﹣1； 当b，c为正数，a为负数时，x＝﹣1； 当a为正数，b，c为负数时，x＝1； 当b为正数，a，c为负数时，x＝﹣1； 当c为正数，a，b为负数时，x＝1； 当a，b，c全为负数时，x＝1， 故x的所有可能取值构成的集合为{﹣1，1，3，﹣3}． 故答案为：{﹣1，1，3，﹣3}． 23．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，，其中a1、a2、a3、a4、a5是五个不同的正整数，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，已知A∩B＝{a1，a4}，a1+a4＝10，A∪B中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：　 ． 【答案】A＝{1，3，4，9，11}或A＝{1，3，6，9，10}． 【解答】解：由题意，得 ，所以a1＝1， 因为a1+a4＝10， 所以a4＝9， 因为A∪B中所有元素之和是246， 即， 化简为：， 因为a4＝9＜a5， 若a5＝12，则， 而a2最小为2，a3最小为3，所以a5＜12， 所以a5＝10或者a5＝11， 当a5＝11时，， 此时a2＝3，a3＝4恰好满足， 当a5＝10时，， 此时a2＝3，a3＝6恰好满足， 所以集合A有两种可能：A＝{1，3，4，9，11}或A＝{1，3，6，9，10}． 故答案为：A＝{1，3，4，9，11}或A＝{1，3，6，9，10}． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 内 容 导 航 题型1 判断自然语言描述内容能否组成集合 题型2 常用数集及其记法 题型3 集合的确定性、互异性、无序性 题型4 判断两个集合是否相同 题型5 两个集合相等的应用 题型6 判断元素与集合的属于关系 题型7 元素与集合的属于关系的应用 题型8 列举法表示集合 题型9 描述法表示集合 考 点 演 练 题型1 判断自然语言描述内容能否组成集合 解｜题｜知｜识 判断自然语言描述内容能否组成集合是高中数学中集合概念的重要部分．集合是由某种特定性质确定的对象组成的整体，这些对象称为元素．自然语言描述内容能否组成集合，关键在于描述内容是否明确、具体．例如，描述“所有小于10的偶数”能组成集合，因为可以明确确定这些元素为2，4，6，8．而描述“所有美丽的花”则不能组成集合，因为“美丽”是主观的，缺乏明确标准．判断时，需要分析描述的内容是否具有唯一性和清晰性，以确保所有元素均能明确归类到该集合中． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【变式2】下列各组对象能组成集合的是（　　） ①我校高一年级所有聪明的学生； ②所有的平行四边形； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【变式3】下列所给的对象能构成集合的是：①所有的正三角形；②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数；④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生；⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点（　　） A．①④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 题型2 常用数集及其记法 解｜题｜知｜识 数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记为R． 【典例1】下列说法正确的有（　　） ①；②∈N*；③﹣1∈N；④；⑤∉Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列关系中正确的个数是（　　） ①； ②； ③0∈N*； ④π∈Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列元素与集合的关系表示正确的是（　　） ①﹣1∈N*；②∉Z；③∈Q；④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【变式3】下列说法中正确的是（　　） A．集合N与集合N*是同一个集合 B．集合Q中的元素都是集合Z中的元素 C．集合N中的元素都是集合Z中的元素 D．集合Q中的元素都是集合R中的元素 题型3 集合的确定性、互异性、无序性 解｜题｜知｜识 集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征． （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 【典例1】设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 【变式1】已知集合{b}＝{x∈R|ax2﹣4x+1＝0，a，b∈R}，则a+b＝（　　） A．0或1 B． C． D．或 【变式2】若x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素，则以x1，x2，x3，x4为边长的四边形可能是（　　） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 题型4 判断两个集合是否相同 解｜题｜知｜识 （1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B． （2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B． 【典例1】下列集合与集合A＝{2，3}相等的是（　　） A．{（2，3）} B．{（x，y}）|x＝2，y＝3} C．{x|x2﹣5x+6＝0} D．{x＝2，y＝3} 【变式1】下列不是同一集合的是（　　） A．A＝{x|x＝2n，n∈N且0＜n＜5}，B＝{2，4，6，8} B．A＝{x|x＞1}，B＝{y|y＞1} C．A＝{x|y＝x+1}，B＝{（x，y）|y＝x+1} D．A＝{x|x＞0，x∈N}，B＝{x|x＞0，x∈Z} 【变式2】下列选项中两个集合相等的是（　　） A．M＝{﹣1，3}，N＝{x|（x﹣3）（x﹣1）＝0} B．M＝{a|a＝3n﹣1，n∈Z}，N＝{b|b＝3k+2，k∈Z} C．M，N＝{1，﹣2} D．M＝{（x，y）|y＝|x|}，N＝{y|y＝|x|} 【变式3】下列说法中正确的是（　　） A．0⊆{0} B．∅是{0}的一个真子集 C．集合M＝{3，4}与N＝{4，3}表示同一个集合 D．已知集合M＝{1，m，m2+3}，且4∈M，则m的取值构成的集合为{﹣1，4} 题型5 两个集合相等的应用 解｜题｜知｜识 对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质： ①两个集合的元素个数相等； ②两个集合的元素之和相等； ③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据． 【典例1】已知m∈R，n∈R，若集合{m，，1}＝{m2，m+n，0}，则m2025+n2025的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【变式1】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，则下面选项正确的为（　　） A．2025∈[3] B．﹣2∈[2] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D．整数a、b属于同一“类”的充分不必要条件是“a﹣b∈[0]” 【变式2】若集合{x，1+x，x2}＝{﹣1，0，1}，则x＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1，﹣1 【变式3】已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2023+b2022＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式4】已知集合A＝{0，1，﹣a}，B＝{1，b+2，b}，若A＝B，则a+b的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2 题型6 判断元素与集合的属于关系 解｜题｜知｜识 元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 【典例1】下列关系中正确的个数为（　　） ①2∈R，②，③0∈N，④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】设集合A＝{x|m＜2x+1}，若﹣1∉A且1∈A，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．﹣1≤m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．﹣1≤m≤3 【变式2】给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，下列结论正确的个数是（　　） ①集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，3}为闭集合； ②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为闭集合； ③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合； ④若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】如果A＝{x|x＞π}，那么正确的结论是（　　） A．3∈A B．{3}⊆A C．4∈A D．{4}∈A 题型7 元素与集合的属于关系的应用 解｜题｜知｜识 元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 【典例1】设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6}，由S的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（　　）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【变式1】已知m，n∈R，若集合，则m2025+n2026＝（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．±1 【变式2】已知A，B，C为集合M＝{1，2，…，n}（n∈N*）的非空子集，满足： ①A∩B＝A∩C＝B∩C＝∅，A∪B∪C＝M； ②{x∈M|x＝3k，k∈N*}⊆A，B中元素均为奇数，C中元素均为偶数； ③A，B，C中所有元素的和分别记为S1，S2，S3，且S1＝S2＝S3．则正整数n的最小值为　　 ． 【变式3】已知有限集A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），如果A中的元素ai（i＝1，2，…，n）满足a1+a2+…+an＝a1×a2×…×an，就称A为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）a1、a2是两个不同的正数，且{a1，a2}是“完美集”，求证：a1、a2至少有一个大于2； （3）若ai为正整数，求：“完美集”A． 题型8 列举法表示集合 解｜题｜知｜识 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【典例1】若用列举法表示集合A＝{（x，y）|}，则下列表示正确的是（　　） A．{x＝3，y＝0} B．{（3，0）} C．{3，0} D．{0，3} 【变式1】将集合{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}用列举法表示是（　　） A．{0，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{0，1，2，3} 【变式2】曲线与直线y＝2x的交点组成的集合为　 　 ． 【变式3】已知集合A＝{a|关于x的方程有唯一解}，用列举法表示A＝　 　 ． 题型9 描述法表示集合 解｜题｜知｜识 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法． 【典例1】定义集合运算：，若集合A＝B＝{x∈N|1＜x＜4}，，则（A⊕B）∩C＝　 　 ． 【变式1】选择适当方法表示下列集合： （1）由不超过5的所有自然数组成的集合A； （2）不等式3x+2＞5的解集组成集合B； （3）二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上所有的点组成的集合D． 过 关 验 收 1．下列说法正确的是（　　） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足﹣2≤x＜1的x构成的集合是{﹣2≤x＜1} C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线y＝﹣x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{y|y＝﹣x2+1} 2．下列各组对象能构成集合的是（　　） A．中国著名的数学家 B．高一（2）班个子比较高的学生 C．不大于5的自然数 D．约等于3的实数 3．下面能构成集合的是（　　） A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数 C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生 4．下列对象能构成集合的是（　　） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 5．若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．下列对象能构成集合的有（　　） A．接近于2025的所有正整数 B．小于﹣3的实数 C．未来10年内的房价趋势 D．点M（3，2）与点N（4，3） 7．集合{4，x，x2﹣3x}中，x应满足的条件是　 ． 8．已知集合A＝{1，m+1，m2﹣1}，且0∈A，则实数m为　　 ． 9．Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}； 与集合M相等的集合序号是　 　 ． 10．若，则b﹣a＝　　 ． 11．已知集合，B＝{x2，x+y，0}，若A＝B，则x+y＝　　 ． 12．已知集合A＝{0，﹣2m}，B＝{0，m2}，且A＝B，则实数m的值为　　 ． 13．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}及非空集合C＝{x|x2﹣ax+b＝0}． （1）若B＝C，求a，b的值； （2）是否存在实数a，b，使得A∩C＝B，若存在，求出a与b的值，若不存在，请说明理由． 14．已知全集U＝R，A＝{x+1，x2﹣1}，B＝{4，8}． （1）设实数x的取值构成集合M，求∁UM； （2）当A＝B时，求实数x的值． 15．已知集合A＝{﹣2，0，1，3}，集合B＝{x|﹣x∈A且3+x∉A}，则B＝（　　） A．{0，3} B．{﹣2，1} C．{2，﹣1} D．{0，1，3} 16．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{4n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，下列结论正确的是（　　） A．﹣3∈[2] B．Z＝[1]∪[2]∪[3] C．整数a，b属于同一“类”的充分不必要条件是“a﹣b∈[0]” D．若a∈[3]，b∈[2]，则ab∈[2] 17．给出下列关系：①；②2∈Z；③|﹣3|∉N*；④其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合A＝{x|x2+x＝0}，B＝{x|（3x2+ax）（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 19．若数集A＝{a1，a2，⋯，an}（1≤a1＜a2＜⋯＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i＜j≤n），aiaj与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（　　） A．“权集”中一定有1 B．{1，2，3，6}为“权集” C．{1，2，3，4，6，12}为“权集” D．{1，3，4}为“权集” 20．给定非空数集P，设集合A＝{x|x＝s+t，s∈P，t∈P}，B＝{x|x＝s﹣t，s≥t，s∈P，t∈P}，card（P）为P中元素的个数．设集合M＝{x∈N|x﹣r≤0，r为常数，r∈R}，card（M）＝999．若∀λ∈P，则λ∈M；若∀μ∈A，则μ∉B．下列结论正确的是（　　） A．P⊆M B．card（P）的值可能为669 C．B的最大元素不大于665 D．card（P）的值可能为666 21．已知集合A＝{1，a+9，a2+a}，若6∈A，则a＝　　 ． 22．设a，b，c为非零实数，则的所有可能取值构成的集合为 　 　 ． 23．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，，其中a1、a2、a3、a4、a5是五个不同的正整数，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，已知A∩B＝{a1，a4}，a1+a4＝10，A∪B中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $