第二十九章 圆 单元巩固测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学“圆”单元巩固测试卷，覆盖圆的概念、性质、计算及应用，通过基础辨析、情境应用与综合探究，培养几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|弦与直径辨析、圆周角定理、外心坐标|基础概念辨析，如等弧判定、直径性质| |填空题|6/18|反证法假设、点与圆距离、同心圆弦长|结合几何直观，如矩形中圆上点运动最值| |解答题|8/72|拱桥半径计算、圆锥表面积、切线与翻折综合|情境化应用（云南拱桥、公园喷泉），综合考查推理与模型意识|

第二十九章 圆 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 2．如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，圆周角定理，由垂径定理的推理可得，则由圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径所对的圆周角是直角 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，等弧的定义，直径所对的圆周角是直角，不共线的三点确定一个圆，据此可判断A；根据等弧的定义可判断B；当弦为直径时，平分此弦的直径不一定垂直于此弦，据此可判断C；由直径所对的圆周角是直角可判断D． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； D、直径所对的圆周角是直角，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．如图，的半径，是半径上一点（不与点重合），过点作弦，沿把翻折得到，连接、，当弦的长是整数时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念，等边三角形的判定和性质，弧长公式，掌握弧长公式是解题关键．根据不过原点的弦小于直径，得到，再根据弦的长是整数，得到，则是等边三角形，得到，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的半径， ， 是半径上一点（不与点重合）， ， 弦的长是整数， 弦， 是等边三角形， ， 的长， 的长为， 故选：B 5．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 6．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 7．如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 8．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 9．如图，点C是弧的中点，是的切线，连接的延长线交于D，若，，则的长度是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形判定和性质，连接，由切线的性质推出，由圆心角、弧、弦的关系得到，而，推出是等边三角形，得到，，求出，由等腰三角形的性质得到，求出，因此，，，即可证明，从而可得结论 【详解】解：连接， ∵切圆于C， ∴半径， ∴， ∵C是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据翻折的对称性，得出和是等边三角形，再利用三角形全等将求阴影部分的面积转化为求扇形的面积，最终求出答案． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵点C为弧的中点， ∴， 又∵弧沿弦翻折恰好过圆心O点， ∴点关于对称，所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即和是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，因此只需找出原结论的反面，即可得到反证法需要提出的假设． 【详解】解：该命题需要证明的结论为，反证法需假设结论不成立，即不小于， 因此应提出的假设为． 12．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是______． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 13．在矩形 中，E，F，D是 上的三点， 且 ，若点H在 的中点，点P在以点H为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最小值是______． 【答案】2 【分析】根据直角三角形斜边中线定理得 ，要m最小只需 最小，点 既在以为圆心、 为直径的圆上，又在 上， 到 距离为，求得 最小值为 ，故最小值为． 【详解】解： ，取 的中点为点D， ∴当 取得最小值时， 的长度取得最小值， 四边形 为矩形，，点 是 的中点， 圆心 到直线 的距离为 又∵由题意可知，点P在以H为圆心、半径长为1的 上， 线段 ，其中 为定值；当H、P、D三点共线，且时， 长度最小，此时取得最小值。 ∴过点H作AB的垂线，交 于点P，交于点D，此时最短，最短． 此时， ， ． 14．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 15．如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 16．如图，已知等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点，则劣弧的长为__________． 【答案】 【分析】连接，证明都是等边三角形，再利用弧长公式求解即可； 【详解】解：连接， 等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点， ，， 都是等边三角形， ∴， ， 故劣弧的长为； 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 18．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)5 (2)24 【分析】（1）连接，设喷泉的半径为，则、，由垂径定理可得、，再利用勾股定理得到，据此列方程求解即可； （2）由（1）可知米，利用圆的周长进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则， ， 是弦的中点， 、， ， 在中，， 即， 解得， 喷泉的半径为5米； （2）解：由题意得：米， 则盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯． 19．如图，在中，，点是上一点，点到边的距离等于，连接． (1)用直尺和圆规作，点在上，且经过、两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，则的半径为__________，与的重叠部分面积为__________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1) 即为所求： (2)， 【分析】此题考查了角平分线的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，正确作图是关键． （1）作的垂直平分线交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可； （2）求出，进一步得到，，，，即可求出与的重叠部分面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵，点是上一点，点到边的距离等于， ∴平分， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴ ∴， ∴， ∴与的重叠部分面积为， 故答案为：， 20．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 21．（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）先利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥的表面积； （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以扇形面积公式计算即可得到圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得•2π•3•R＝15π，解得R＝5，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：（1）圆锥的表面积； （2）圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的高． 22．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证； （2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， ∵， 又，， ， ， 平分． （2）解：由（1）得平分， ∵ ， ， ， ， 连接，，如图所示， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ． 23．如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，、交于F，平分，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若交y轴于点G，如图②，请直接写出的值是_______． 【答案】(1) 证明：∵，平分 ∴ ∵ ∴ ∴ (2) 证明：∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵四点共圆 ∴ 又∵ ∴ 由（1）知， ∴ ∴ (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质，继而同弧所对的圆周角相等可知，即可求得结论； （2）根据垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由四点共圆可得，再证即可求解， （3）过点作于，过点作于，可得，可证，可得，再证为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点作于，过点作于 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ 而 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查圆的综合题、圆的有关性质、等腰直角三角的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识点，综合性较强． 24．如图1，为的直径，为上一点，交于并且和过点的切线互相垂直，垂足为． (1)求证：平分． (2)连接，如图2所示．若，求的值． (3)在（2）的条件下，若，求阴影部分的扇形所围成的圆锥底面圆的半径． (4)在图2中连接，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵与相切于点 ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． (2) (3) (4) 【分析】（1）连接，根据题意，结合切线的性质可得，根据平行线的性质得到，再根据得到，进而得出； （2）在中，根据勾股定理求得，再在中，根据勾股定理即可求得； （3）先求得半径，再根据弧长公式即可求得圆锥底面圆的半径； （4）过点作于点，连接，设，则，证明，进而可得，证明，进而得出，勾股定理求得，在中，根据勾股定理求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵是直角三角形， ∴ ∵是直径， ∴， ∵ ∴ （3）∵ ∴ 设阴影部分的扇形所围成的圆锥底面圆的半径为 ∴，即 解得：， ∴阴影部分的扇形所围成的圆锥底面圆的半径为． （4）解：如图，过点作于点，连接 设，则 由（1）可得平分． ∵、 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴ 在中， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径所对的圆周角是直角 4．如图，的半径，是半径上一点（不与点重合），过点作弦，沿把翻折得到，连接、，当弦的长是整数时，的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 6．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 7．如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 9．如图，点C是弧的中点，是的切线，连接的延长线交于D，若，，则的长度是（    ） A．2 B． C．4 D． 10．如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 12．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是______． 13．在矩形 中，E，F，D是 上的三点， 且 ，若点H在 的中点，点P在以点H为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最小值是______． 14．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 15．如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 16．如图，已知等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点，则劣弧的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 18．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 19．如图，在中，，点是上一点，点到边的距离等于，连接． (1)用直尺和圆规作，点在上，且经过、两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，则的半径为__________，与的重叠部分面积为__________．（如需画草图，请使用备用图） 20．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 21．（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 22．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 23．如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，、交于F，平分，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若交y轴于点G，如图②，请直接写出的值是_______． 24．如图1，为的直径，为上一点，交于并且和过点的切线互相垂直，垂足为． (1)求证：平分． (2)连接，如图2所示．若，求的值． (3)在（2）的条件下，若，求阴影部分的扇形所围成的圆锥底面圆的半径． (4)在图2中连接，若，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $