29.2.3 圆周角 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 《圆-圆周角》同步练以三星分层设计，通过基础概念辨析、综合定理应用到跨知识拓展探究的梯度，系统巩固圆周角核心知识，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|圆周角定义、定理及简单应用|选择填空为主，如第1题概念辨析、第11题圆心角与圆周角关系计算，夯实基础| |★★☆|多定理综合应用|解答题分问递进，如16题结合平行线与圆周角定理逐步求解，培养逻辑推理| |★★★|跨知识综合探究|综合勾股定理、垂径定理等，如19题多问证明与计算，提升问题解决能力|

第二十九章 圆 29.2.3 圆周角 难度：★☆☆ 1. 下列语句中，正确的是（ ） A. 圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半 B. 圆周角的度数等于它所对弧的度数 C. 同弧所对的圆周角相等 D. 直径所对的圆周角是直角 2. 如图，在⊙O中，A、B、C三点均在⊙O上，连接OA、OB、OC、AB、BC。若∠AOB = 110°，则∠ACB的度数为（ ） A. 40° B. 55° C. 70° D. 110° 3. 下列说法错误的是（ ） A. 同弧所对的圆周角相等 B. 等弧所对的圆周角相等 C. 同圆中，相等的圆周角所对的弧相等 D. 圆周角的度数等于它所对圆心角度数的2倍 4. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ABC = 30°，则∠BAC的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 在⊙O中，弦AB所对的圆周角为50°，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ） A. 25° B. 50° C. 100° D. 200° 6. 如图，AB 为⊙O的直径，CD 是弦，且 AB⊥CD 于点 E，连接 AC、OC、BC。若 ∠ACO = 25°，则 ∠BCD 的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 7. 下列说法正确的是（ ） A. 顶点在圆上的角是圆周角 B. 两边都与圆相交的角是圆周角 C. 顶点在圆上且两边都与圆相交的角是圆周角 D. 圆心角的度数等于它所对圆周角度数的2倍 8. 如图，在⊙O中，A、B、C三点均在⊙O上，连接OB、OC、AB、AC。若∠BAC = 50°，则∠OBC的度数为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 9. 在⊙O中，弦AB所对的圆周角为60°，则弦AB所对的弧的度数为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 300° 10. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的圆周角所对的弧相等 B. 在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等 C. 同弦所对的圆周角相等 D. 半圆所对的圆心角是90° 11. 在⊙O中，∠ACB = 40°，则∠AOB = ______。 12. 如图，AB 为⊙O的直径，CD 是弦，且 AB⊥CD 于点 E，连接 AC、OC、BC。若 EB = 4，AB = 20，则 CD 的长度为______。 13. 在⊙O中，弦AB所对的圆周角为50°，则弦AB所对的劣弧的度数为______，优弧的度数为______。 14. 圆内接四边形ABCD中，∠A = 70°，则∠C = ______。 15. 在⊙O中，∠ABC = 60°，∠AOC = 120°，则点B在______上（填“优弧AC”或“劣弧AC”）。 难度：★★☆ 16. 如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，连接OA、OB、OC、AC。若∠OAC = 25°。 （1）求∠ACB的度数； （2）求∠AOB的度数； （3）求∠OBC的度数。 17. 如图，AB 是⊙O的直径，C、D 是⊙O上的两点，连接 AC、BC、BD、OC、OD，且 =， ∠ABC=40∘∠ABC=40°。 （1）求证：△AOC ≌ △DOC； （2）求 ∠ABD 的度数。 18.如图，AB 是⊙O的直径，CD 是⊙O的弦（CD 不是直径），AB 平分弦 CD 于点 E，连接 AC、AD、BC、BD。若 ∠D = 35°。 （1）求 ∠C 的度数； （2）求证：AC = AD； （3）求 ∠BAD 的度数。 难度：★★★ 19. 如图，AB 是⊙O的直径，C 是⊙O上一点，连接 AC、BC。过点 O 作 OD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 AD、BD。已知 AB = 10，BC = 6。 （1）求 AC 的长； （2）求证：∠ADB = 90°； （3）求 AD 的长。 20. 如图，AB 是⊙O的直径，点 D 是 的中点，连接 AD、CD，DC 的延长线交 AB 的延长线于点 P，连接 BD。若 ∠CAB = 30°。 （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）求 ∠P 的度数。 参考答案 1. C 2. B 3. D 4. B 解析：∵ ∠BAC = 50°，且∠BAC是圆周角，∴ ∠BOC = 2∠BAC = 100°（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍）。又∵ OB = OC（半径），∴ △OBC是等腰三角形，∴ ∠OBC = ∠OCB = (180° − 100°) ÷ 2 = 40°。故选B。 5. C 6. A 解析：∵ OA = OC，∴ ∠OAC = ∠ACO = 25°。在 Rt△ACE 中，∠AEC = 90°，∴ ∠ACE = 90° − 25° = 65°。由垂径定理，AB⊥CD，AB 是直径，∴ =，∴ ∠ACD = ∠ADC。∵ ∠ACD = ∠ACE = 65°（E 在 CD 上），又 AB 是直径，∠ACB = 90°，而 ∠ACB = ∠ACD + ∠BCD，∴ ∠BCD = 90° − 65° = 25°。故选 A。 7. C 8. A 9. C 10. B 11. 80° 12. 16 解析：AB = 20，∴ OB = 10。又 EB = 4，∴ OE = OB − EB = 10 − 4 = 6。在 Rt△OCE 中，∠OEC = 90°，OC = 10，OE = 6，由勾股定理：CE = = = = 8。由垂径定理，CE = DE，∴ CD = 2CE = 16。 13. 100°；260° 14. 110° 15. 劣弧AC 16.（1）求 ∠ACB 的度数 ∵ AO∥BC，AC 是截线， ∴ ∠ACB = ∠OAC = 25°（两直线平行，内错角相等）。 答：∠ACB 的度数为 25°。 （2）求 ∠AOB 的度数 ∵ ∠ACB 是圆周角，它所对的弧为 AB，∠AOB 是同一弧 AB 所对的圆心角， ∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2 × 25° = 50°（圆周角等于它所对圆心角度数的一半）。 答：∠AOB 的度数为 50°。 （3）求 ∠OBC 的度数 ∵ AO∥BC，OB 是截线， ∴ ∠OBC = ∠AOB = 50°（两直线平行，内错角相等）。 答：∠OBC 的度数为 50°。 17.（1）求证：△AOC ≌ △DOC ∵=（已知）， ∴ AC = CD（在同圆中，相等的弧所对的弦相等）。 又∵ OA = OD（半径），OC = OC（公共边）， ∴ △AOC ≌ △DOC（SSS）。 （2）求 ∠ABD 的度数 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB = 90°。 在 Rt△ABC 中，∠ABC = 40°，∠ACB = 90°， ∴ ∠BAC = 50°。 ∴ ∠AOC = 2∠ABC = 80°（同弧 AC 所对的圆心角是圆周角的 2 倍）。 又∵=， ∴ ∠COD = ∠AOC = 80°（等弧所对圆心角相等）。 由图可知，∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 80° + 80° = 160°。 ∠ABD 是圆周角，它所对的弧是 AD， ∴ ∠ABD = ∠AOD = × 160° = 80°。 答：∠ABD 的度数为 80°。 18.（1） ∵ AB 平分弦 CD，且 AB 是直径， ∴ AB⊥CD（垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦）， ∴ ∠AED = 90°。 在△AED中，∠D = 35°，∠AED = 90°， ∴ ∠EAD = 180° − 90° − 35° = 55°。 又∵ ∠C = ∠EAD（同弧 BD 所对的圆周角相等）， ∴ ∠C = 55°。 答：∠C 的度数为 55°。 （2） 由（1）已证 AB⊥CD，且 AB 平分弦 CD， ∴ AB 是 CD 的垂直平分线（垂直平分弦）。 又∵ A 在 AB 上， ∴ A 到线段 CD 两端点的距离相等， 即 AC = AD。 （3） 由（1）已证 ∠EAD = 55°， 而 ∠BAD = ∠EAD（E 在 AB 上）， ∴ ∠BAD = 55°。 答：∠BAD 的度数为 55°。 19.（1） ∵ AB 是⊙O的直径，C 在⊙O上， ∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。 在 Rt△ABC 中，AB = 10，BC = 6， 由勾股定理：AC = = = = 8。 答：AC 的长为 8。 （2） ∵ AB 是⊙O的直径，D 在⊙O上， ∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。 （3）求 AD 的长 由（1）知 AC = 8。 ∵ OE⊥AC，O为圆心， ∴ 由垂径定理，E为AC中点， ∴ AE = AC = 4。 在 Rt△AOE 中，OA = AB = 5，AE = 4，∠AEO = 90°， 由勾股定理：OE = = = = 3。 又∵ OD = OA = 5， ∴ DE = OD − OE = 5 − 3 = 2。 在 Rt△AED 中，AE = 4，DE = 2，∠AED = 90°， 由勾股定理：AD = = = = 2。 答：AD 的长为 2。 20.（1）求证：△ACD 是等边三角形 ∵ AB 是⊙O的直径， ∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。 在 Rt△ABC 中，∠CAB = 30°，∠ACB = 90°， ∴ ∠ABC = 60°。 ∵ 点 D 是 的中点， ∴ =， ∴ ∠ACD = ∠CAD（等弧所对的圆周角相等）。 又∵ ∠ADC = ∠ABC = 60°（同弧 AC 所对的圆周角相等）。 在 △ACD 中，∠ACD = ∠CAD，∠ADC = 60°， ∴ ∠ACD = ∠CAD = (180° − 60°) ÷ 2 = 60°。 ∴ △ACD 的三个角均为 60°， ∴ △ACD 是等边三角形。 （2）求 ∠P 的度数 由（1）知 ∠ACD = 60°。 又∵ ∠ACB = 90°， ∴ ∠BCD = ∠ACB − ∠ACD = 90° − 60° = 30°。 ∵ P 在 DC 的延长线上， ∴ ∠BCP = ∠BCD = 30°（对顶角相等）。 在 △BCP 中，∠BCP = 30°， 又∵ P 在 AB 的延长线上， ∴ ∠CBP = 180° − ∠ABC = 180° − 60° = 120°（邻补角）。 由三角形内角和定理： ∠P = 180° − ∠BCP − ∠CBP = 180° − 30° − 120° = 30°。 答：∠P 的度数为 30°。 学科网（北京）股份有限公司 $