29.2.3 圆周角 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以圆周角定理为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，构建从单一知识点到复杂问题解决的梯度训练，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆周角与圆心角关系|单选题1-3直接应用定理，填空题6-8强化等弧、直径性质，夯实概念理解| |进阶层|多定理综合|单选题4-5结合垂直、中点等条件，填空题9-11融入折叠、内接四边形，提升推理能力| |综合层|跨知识应用|复合题15-16结合坐标系、相似三角形，解答题17关联等边三角形，发展模型意识与创新思维|

29.2.3 圆周角 一、单选题 1．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（　　） A．50° B．80° C．90° D．100° 2．如图， ， 是 的直径， ，若 ，则 的度数是（　　） A．32° B．60° C．68° D．64° 3．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 4．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 5．如图，AB是半圆的直径，点D是 的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 二、填空题 6．如图，在⊙O中， ＝ ，∠AOB与∠COD的关系是　 　. 7．如图，已知圆周角∠ACB=130°，则圆心角∠AOB=　 　． 8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点， ，若∠AOB=58°，则∠BDC=　 　度. 9．如图，AC是半圆O的一条弦，以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O，⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为　 　. 10．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CE的长为　 　. 11．如图，四边形 是 的内接四边形，且 ，点 在 的延长线上，若 ，则 的半径 　 　. 12．如图，正方形中，，点E为的中点，点P为边上一动点，连接，作，交于点M．点N为线段上一点，且，连接，取的中点H，连接，则线段的最小值为　 　． 三、复合题 13．如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． （1）当时，求的度数； （2）猜想与之间的关系，并给予证明． 14．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 三角形外接圆半径公式 如图1，为的外接圆，的，，所对的边分别为a，b，c，的半径为R，S为的面积，则有公式：． 下面是该公式的证明过程： 证明：如图1，连接并延长交于点D，连接． ∵为直径， ∴（依据1）. 在中，， ∵， ∴（依据2）， ∴. 过点C作于点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由此得出的外接圆的半径公式为． 任务： （1）填空：材料中的依据1是指______，依据2是指______． （2）如图2，已知的面积，，，求b的值． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E． （1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数； （2）若AC=EC，求证：AD=BE 16．如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF. （1）当∠BAC＝30º时，求△ABC的面积； （2）当DE＝8时，求线段EF的长； （3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 四、解答题 17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】圆周角定理 【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°， ∴∠AOC=2∠ABC=100°． 故答案为：D． 【分析】根据圆周角定理，可得∠AOC=2∠ABC，代入求解即可。 2．【答案】D 【知识点】圆周角定理 【解析】【解答】解：∵弧AE=弧BD，∴∠AOE=∠BOD=32°. ∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°，∴∠COE=32°+32°=64°. 故答案为：D. 【分析】根据等弧所对的圆周角相等得出∠AOE=∠BOD=32°，根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC=32°，进而根据角的和差，由∠COE=∠AOE+∠AOC即可算出答案. 3．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理 【解析】【解答】∵∠D=40°， ∴∠B=∠D=40°. ∵AB是O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°−40°=50°. 故答案为：C. 【分析】由同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠D，由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，再结合三角形的内角和定理即可求解。 4．【答案】D 【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理 【解析】【解答】解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC ＝180°﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90°， ∴β+180°﹣2α＝90°， ∴2α﹣β＝90°， 故答案为：D. 【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果. 5．【答案】A 【知识点】圆周角定理 【解析】【解答】解：连结BD，如图， ∵点D是 的中点，即 ， ∴∠ABD＝∠CBD， 而∠ABC＝50°， ∴∠ABD＝ ×50°＝25°， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°. 故答案为：A. 【分析】连结BD，由于点D是 的中点，即 ，根据圆周角定理得∠ABD＝∠CBD，则∠ABD＝25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数. 6．【答案】∠AOB＝∠COD 【知识点】圆周角定理 【解析】【解答】解：∵在⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB与∠COD分别是弧AB与弧CD所对的圆心角 ∴∠AOB=∠COD. 故答案为：∠AOB=∠COD. 【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOB=∠COD. 7．【答案】100゜ 【知识点】圆周角定理 【解析】【解答】如图， ∵∠α=2∠ACB， 而∠ACB=130°， ∴∠α=260°， ∴∠AOB=360°-260°=100°． 故答案为100°． 【分析】根据圆周角定理，由∠ACB=130°，得到它所对的圆心角∠α=2∠ACB=260°，用360°-260°即可得到圆心角∠AOB． 8．【答案】29 【知识点】圆周角定理 【解析】【解答】解：连接OC. ∵ ， ∴∠AOB=∠BOC=58°， ∴∠BDC= ∠BOC=29°. 故答案为：29. 【分析】连接OC，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOB=∠BOC=58°，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案. 9．【答案】 【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】过点 作 ，交 于 ，连接 、 ， ， ， 是 的直径， ， ， ， 是等边三角形， ， 弓形 面积 弓形 的面积， 阴影部分面积 . 故答案为： . 【分析】过点 作 ，交 于 ，连接 、 ，证明弓形 的面积 弓形 的面积，这样图中阴影部分的面积 的面积. 10．【答案】 【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，连接AD，BC ∵AB为直径 ∴∠C＝∠D＝90° ∵AD＝1，BD＝7， ∴AB＝ ＝ ＝5 ∵点C为半圆的中点， ∴AC＝BC ∴AC2+BC2＝AB2 ∴2BC2＝50 ∴BC＝AC＝5 ∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠AED ∴△BEC∽△AED ∴ ＝ ＝ ＝ ∴ ∴ 故答案为： . 【分析】连接AD，BC，由直径所对的圆周角是直角可得∠C＝∠D＝90°，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得AB的值，在等腰直角三角形ABC中，同理可求得BC＝AC的值，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可得△BEC∽△AED，于是可得比例式求解. 11．【答案】 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形 【解析】【解答】如图，连接BD，过点O作OF⊥BD于F， ∵四边形 是 的内接四边形，且AB=AD=8，∠DCE=60 ， ∴∠DCE=∠A=60 ，∠BOD=2∠A=120 ， ∴ 是等边三角形，AB=AD=BD= 8， ∵OB=OD，OF⊥BD， ∴∠BOF= BF= ， ∴ . 故答案为： . 【分析】连接BD，过点O作OF⊥BD于F，利用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，求出∠A的度数，利用圆周角定理求出∠BOD的度数，由此可证得△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质BD的长，再利用垂径定理求出BF的长，然后利用解直角三角形求出OB即可。 12．【答案】 【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；圆周角定理 13．【答案】（1） （2） 【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质 14．【答案】（1）直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等 （2） 【知识点】圆周角定理；解直角三角形 15．【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE， 又∵∠ADC=86°， ∴∠CBE=86°. （2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，又∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE， 在△ ADC 和△ EBC 中 ∴△ADC≌△EBC（AAS）， ∴AD=BE. 【知识点】圆内接四边形的性质 【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质和邻补角定义可得∠ADC=∠CBE，结合已知条件即可得出答案. （2）根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠DAC=∠E，由（1）知∠ADC=∠CBE，根据全等三角形判定AAS可得△ADC≌△EBC，再由全等三角形性质即可得证. 16．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°， ∴BC= AB=5， ∴AC= ， ∴S△ABC= AC⋅BC= （2）解：连接AD， ∵∠ACB=90°，CD=BC， ∴AD=AB=10， ∵DE⊥AB， ∴AE= =6， ∴BE=AB−AE=4， ∴DE=2BE， ∵∠AFE+∠FAE=90°， ∠DBE+∠FAE=90°， ∴∠AFE=∠DBE， ∵∠AEF=∠DEB=90°， ∴△AEF∽△DEB， ∴ =2， ∴EF= AE= ×6=3 （3）解：连接EC，设E(x，0)， 当 的度数为60°时，点E恰好与原点O重合； ①0°< 的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D， 又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD， ∴ ， ∵EC是Rt△BDE斜边的中线， ∴CE=CB， ∴∠CEB=∠CBE， ∴∠EOF=∠CEB， ∴OF∥CE， ∴△AOF∽△AEC ∴ ， ∴ ，即 ， 解得x= ，因为x>0， ∴x= ； ②60°< 的度数<90°时，点E在O点的左侧， 若∠EOF=∠B，则OF∥BD， ∴OF= BC= BD， ∴ 即 解得x= ， 若∠EOF=∠BAC，则x=− ， 综上点E的坐标为( ，0) ；（ ，0）；（− ，0）. 【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标. 17．【答案】解：连接OB，OC， ∵∠A=30°， ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OC=BC=4， ∴⊙O的直径=8. 【知识点】圆周角定理 【解析】【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $