限时训练卷21 三角函数与解三角形综合训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形知识网络，以题串联概念公式、图像性质及实际应用，构建从基础运算到综合应用的逻辑训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|选择1-3、填空12|考查三角函数定义、诱导公式及恒等变换|从角的范围判断到三角式化简，形成概念应用链| |图像与性质|选择5、8、多选10、填空13|结合图像变换、单调性、最值及零点问题|由解析式到图像特征，再到性质应用，体现数形结合| |解三角形应用|选择4、6、7、多选11、解答18-19|涉及正弦余弦定理、面积计算及实际测量|从三角形边角关系推导到实际问题建模，强化应用意识|

2027年高考一轮限时训练卷21　三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·湖北襄阳·阶段检测）已知，且，则（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三·贵州遵义·期中）在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（），且.若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知 ，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 7．（26-27高三上·贵州·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·贵州遵义·期中）已知函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数（，），且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（    ） A．若为偶函数，则 B．若的一个对称中心为，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 11．（25-26高三·湖北荆门·期末）已知内角，，的对边分别为，，，外接圆半径为．若，且，则（     ） A． B．面积的最大值为 C． D．边上的高的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·陕西汉中·期末）已知，且，则________． 13．（25-26高三·辽宁葫芦岛·阶段检测）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标向上平移个单位，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是___________． 14．（25-26高三·湖南株洲·开学考试）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是___________m．（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·广东中山·期末）求值： (1)； (2)； (3)已知，均为锐角，且，，求． 16．（25-26高三·贵州遵义·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 17．（25-26高三·上海·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域； (3)对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围． 18．（25-26高三·海南海口·期末）某高中届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形的展区（如图），已知米，米.    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形的面积. 19．（25-26高三·重庆·期中）在中，内角所对的边分别是，且，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷21　三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由两角和的正切公式得， ，，故B正确. 2．（25-26高三·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式及诱导公式求解即可. 【详解】由题意得 . 3．（25-26高三·湖北襄阳·阶段检测）已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件分别求出与的值，再使用正弦和差公式即可求解. 【详解】因为，所以有，即， ， 代入得， 则有. 4．（25-26高三·贵州遵义·期中）在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得. 所以， 因为，， 所以. 因为，所以，所以. 所以. 5．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（），且.若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由求，再化简为，最后用余弦函数单调性求递增区间. 【详解】由且 得 ，则， 那么，， ，令 ， ， 则，故选C. 6．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知 ，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合三角恒等变换得，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以， 又，， ， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以，即或或， 所以或或， 所以为直角三角形. 7．（26-27高三上·贵州·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将已知角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理代入化简即可求得的值. 【详解】由正弦定理，及，得 ① 已知，由余弦定理得， 将①中代入分子得： ，化简得 ② 将②代入①得：，整理得， 由于，两边同除以得，故. 8．（25-26高三·贵州遵义·期中）已知函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过换元将内层函数视为整体，结合正弦函数的零点和最值点的分布规律，列出关于ω的不等式求解取值范围. 【详解】当且时，令，可得， 则题设等价于在区间内恰有2个零点和2个最值点， 正弦函数的零点为，最值点为， 在上，从小到大的零点依次为，最值点依次为， 要使区间内恰有2个零点、2个最值点，需满足，解得， 因此的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合差角公式、二倍角公式、辅助角公式、诱导公式对各选项逐一计算验证即可. 【详解】选项A：根据正弦差角公式得，故A错误. 选项B：根据余弦二倍角公式得，故B正确. 选项C：利用辅助角公式可得，故C正确. 选项D：利用诱导公式与正弦二倍角公式得 ，故D正确. 10．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数（，），且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（    ） A．若为偶函数，则 B．若的一个对称中心为，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】先用辅助角公式化简，由相邻对称轴距离求出周期，得到，求出，A 选项，利用偶函数相位特征，求出；B 选项，把对称中心坐标代入相位条件；C选项，换元处理零点问题，锁定相位取值范围；D 选项，换元转化单调区间，利用正弦函数增区间列不等式，求出的最大值. 【详解】, 由图象的相邻两条对称轴距离为，得， 且，所以，所以， 选项 A：若为偶函数，则，即， 因为，取，，A 正确； 选项 B：因为，即， 则，即， 且，取，，B 错误； 选项 C：因为，则，区间长度为， 若在区间内有三个零点，则，即， 且，取，，C正确； 选项 D：若在区间上单调递增， 因为，令，所以， 又因为单调递增区间： 则， 可得，解得， 且，取，得，所以最大可取，D 正确. 11．（25-26高三·湖北荆门·期末）已知内角，，的对边分别为，，，外接圆半径为．若，且，则（     ） A． B．面积的最大值为 C． D．边上的高的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，再由同角三角函数关系式可得正弦值；对C直接由正弦定理可得；对B结合A选项分析，再通过基本不等式、三角形面积公式可得三角形面积的最大值；对D由三角形面积的最大值可得边上的高的最大值. 【详解】选项A：由，再由正弦定理得. 又因为，所以得，即， 由余弦定理， 又因为，所以，故A正确； 选项C：由正弦定理，得​​，并非，故C错误； 选项B：由A选项分析知，结合基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号，将代入，解得. 所以三角形面积​​，即面积的最大值为，故B正确； 选项D：设边上的高为，由三角形面积公式，由选项B分析知， 所以，得，当且仅当时取等号， 即边上的高的最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·陕西汉中·期末）已知，且，则________． 【答案】 / 【分析】利用两角和的正切公式展开，换元后求解关于的分式方程，结合的取值范围舍去不符合的解得到结果. 【详解】 因为， 设，由，得， 将其代入原方程得 ， 移项整理得 ， 因为，所以， 两边同除以得 ， 解得，即， 经检验，是原方程的解，故. 13．（25-26高三·辽宁葫芦岛·阶段检测）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标向上平移个单位，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是___________． 【答案】 【分析】首先得到平移变换后的函数解析式，再利用整体代换法求解即可. 【详解】横坐标伸长到原来的倍，得， 纵坐标向上平移个单位，得， 向左平移个单位，化简得最终函数. 令，解得，纵坐标为， 即函数图象的对称中心为. 14．（25-26高三·湖南株洲·开学考试）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是___________m．（参考数据：） 【答案】51 【分析】通过俯角构建直角三角形，利用正切函数求解水平距离和高度差. 【详解】如图所示， 由题意可得，，，，所以四边形是矩形， 所以，设，因为，所以， 在中，，所以，所以， 所以，所以黄鹤楼的高度约为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·广东中山·期末）求值： (1)； (2)； (3)已知，均为锐角，且，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角和的正切公式化简求值即可. （2）利用同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解即可. （3）利用同角三角函数的基本关系求出，，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 整理可得； （2）由题意得 . （3）已知，均为锐角，且，， 所以，， ，， ， 因为，所以，． 16．（25-26高三·贵州遵义·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用图象可求得，进而可求得，利用图象经过点，可求得，可求得解析式； （2）利用图象变换规律求得的解析式，再结合，可求得的最大值与最小值． 【详解】（1）由最大值可确定，因为，所以， 所以，解得，此时， 又函数过点，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. （2）由题意，， 若，则， 所以，所以， 所以的最大值为，最小值为. 17．（25-26高三·上海·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域； (3)对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简得，由，求单调递增区间； （2）由得，求出在上的值域，得解； （3）由，得，当时，不等式恒成立；当时，转化为恒成立，求出，得. 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在上的值域为. （3）当时，， 故. ， ①当时，不等式恒成立； ②当时，得恒成立， 令，则，， 在上单调递增，最大值为， 所以， 综上得的取值范围为. 18．（25-26高三·海南海口·期末）某高中届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形的展区（如图），已知米，米.    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出，再由正弦定理及平方关系，即可求解； （2）根据条件，利用三角形面积公式求出，再利用正弦的差角公式求出，再求出，即可求解. 【详解】（1）在中，，， ， 在中，由正弦定理得， ，又， ， . （2）在中，，，所以为等边三角形， 则，， 所以， 设，则， ，， 又，， ， 则， 所以四边形的面积为 . 19．（25-26高三·重庆·期中）在中，内角所对的边分别是，且，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由诱导公式化简得到，得到； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到角平分线长； （3）由向量基本定理和数量积公式可得，由正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到中线的取值范围 【详解】（1）如图：    由， 因为， 所以， 由，得，又，则． （2）由余弦定理，，因为， 所以，又，所以， 由，得， 整理得． （3）    因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $