4.2 指数函数（分层作业练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以指数函数定义为起点，通过10类题型构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼“三步判定法”“四步法”等可迁移方法，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数函数定义判断|5题|三步判定法、快速排除技巧|从定义三条件到辨析指数型函数| |利用概念求参|4题|列不等式组、验根|定义应用于参数求解| |求解析式|4题|待定系数法、代特殊点|定义到确定函数表达式| |图像问题|5题|定点秒杀、底数比较法|性质与图像特征关联| |比较大小|5题|单调性法、中间量法|性质应用于数值比较| |解不等式|5题|化同底四步法|单调性迁移到不等式求解| |单调性|4题|复合函数“同增异减”|内外层函数单调性综合| |奇偶性|5题|定义法、恒等式法|奇偶性定义与指数运算结合| |值域|5题|换元法、内层范围法|复合函数值域求解逻辑|

人教A版必修第一册 高一上学期数学同步作业 第四章 指数函数与对数函数 分层作业练题型 §4.2 指数函数 指数函数定义的判断题型01 · 知识回顾 1. 指数函数严格定义：形如 （且，）的函数叫做指数函数. 2. 三大硬性判定条件： ① 底数：常数，满足且； ② 指数：只能是单纯自变量x，不能是等复合形式； ③ 系数：前面的系数必须为1，无额外常数、系数. 3. 区分：均为指数型函数，不是标准指数函数. · 方法与技巧 1. 三步判定法：一看底数范围、二看指数形式、三看前方系数； 2. 快速排除技巧：含负底数、底数为1或0、指数不是单x、系数不为1，直接判定不是指数函数； 3. 易错提醒：常数函数不是指数函数，不满足. 1．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·河北邢台·阶段检测）下列函数中指数函数的个数是（    ） ①    ②    ③    ④（为常数，，） ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 5．（25-26高一上·江西·期中）（多选）下列函数中，不是指数函数的为（    ） A． B． C． D． 利用指数函数的概念求参题型02 · 知识回顾 1. 若函数为标准指数函数，必须同时满足：； 2. 若解析式含参数，形如，需严格依据指数函数定义列不等式组求解参数范围. · 方法与技巧 1. 列条件：根据指数函数定义，列出底数大于0、底数不等于1的不等式（组）； 2. 解不等式：分别求解两个限制条件，取交集； 3. 验根：重点剔除底数等于0、1、负数的参数取值； 4. 拓展：若题目明确为“指数函数”，必须严格满足定义；若为“指数型函数”，仅需底数大于0且不等于1即可. 1．（25-26高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 2．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 3．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 4．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 求指数函数的解析式题型03 · 知识回顾 1. 标准指数函数解析式：，仅含一个未知参数； 2. 指数型函数通用形式：，可通过已知点坐标求参数. · 方法与技巧 1. 待定系数法（核心方法）： ① 设解析式：标准指数函数设，指数型函数按需设； ② 代点坐标：将函数图像经过的点代入解析式； ③ 解方程求底数，验证； ④ 回代写出最终解析式. 2. 技巧：优先代入整数点、特殊点（如），简化计算. 1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知指数函数的图像经过点，那么这个函数也必定经过点（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·重庆綦江·课后作业）下列函数式中，满足的是 A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南益阳·阶段检测）若函数对任意，都满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 指数型函数过定点问题题型04 · 知识回顾 1. 指数核心恒等式：，任意合法底数的0次幂恒为1，与底数无关； 2. 指数型函数通用形式：、，定点即不受参数底数影响的固定点. · 方法与技巧 1. 通用套路：令指数部分=0，解出x，再代入解析式求出固定y； 2. 步骤： ① 令指数中含x的式子等于0，求解； ② 将代入原函数，利用计算出固定； ③ 定点即为； 3. 常见模型： 过定点； 4. 易错提醒：定点与底数的取值无关，无需讨论的增减性. 1．（26-26高一上·辽宁·期中）函数的图象恒经过定点 A．(1,1) B．(1,2) C．(1,3) D．(0,2) 2．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期中）函数的图象恒过定点_____. 5．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 指数函数的图象问题题型05 · 知识回顾 1. 1. 标准指数函数图像性质： ① ：函数单调递增，图像从左下到右上，过定点，x轴为渐近线； ② ：函数单调递减，图像从左上到右下，过定点，x轴为渐近线； 2. 底数大小与图像关系：在第一象限，底数越大，图像越高； 3. 图像变换：遵循“左加右减、上加下减”，针对x、整体函数值变换. · 方法与技巧 1. 图像识别：先看增减性定底数范围，再看定点、渐近线排除错误选项； 2. 底数比较：第一象限图像越高，底数越大； 3. 图像变换解题： ① 平移变换：针对左右平移，针对整体上下平移； ② 对称变换：与关于y轴对称； 4. 核心技巧：所有指数函数图像必过，可优先用定点秒杀排除. 1．（24-25高一上·浙江·期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段检测）函数（且）与的图象有可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 比较指数幂的大小题型06 · 知识回顾 1. 同底数幂：利用指数函数单调性比较； - ，越大，越大； - ，越大，越小； 2. 同指数幂：利用幂函数单调性或作商法比较； 3. 不同底不同指数：引入中间量（0、1）搭桥比较. · 方法与技巧 1. 三类题型万能解法： ① 同底不同指：看底数单调性，直接比较指数大小； ② 同指不同底：底数越大，幂值越大（x>0时）； ③ 不同底不同指：找中间量1或0，区分大小层级； 2. 特殊结论：所有正指数幂>0，底数>0；是核心分界点； 3. 高阶技巧：可作差、作商、构造函数单调性比较. 1．（25-26高一上·山西长治·阶段检测）、、、则、、的大小关系是 A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 解指数型不等式题型07 · 知识回顾 核心依据：指数函数的单调性（单调递增/递减，不等号方向是否改变） 1. 当时，（不等号方向不变）； 2. 当时，（不等号方向改变）； 3. 所有指数式恒成立. · 方法与技巧 1. 解题四步法： ① 化同底：将不等式左右两边化为同一个底数的指数幂； ② 定单调：判断底数的范围，确定增减性； ③ 脱指数：根据单调性去掉底数，转化为普通整式/分式不等式； ④ 解不等式+验定义域； 2. 易错重点：底数0<a<1时，不等号必须变向； 3. 无同底型：借助中间量估值，或换元法转化求解. 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为_____. 2．（24-25高一上·河北张家口·阶段检测）不等式的解集为__________． 3．（25-26高一上·四川凉山·期末）不等式的解集为___________． 4．（25-26高一上·上海金山·期中）不等式的解集为____________. 5．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）若函数，则不等式的解集为___________. 指数型函数的单调性问题题型08 · 知识回顾 1. 复合函数单调性法则：同增异减； 2. 指数型复合函数通用结构：，外层函数，内层函数； 3. 外层单调性：外层递增，外层递减. · 方法与技巧 1. 复合函数单调性解题步骤： ① 拆分内外层：外层，内层； ② 判外层：根据底数确定外层增减； ③ 判内层：求解一次、二次、分式函数的单调区间； ④ 同增异减：内外单调性相同则整体递增，相反则整体递减； 2. 必做步骤：优先求函数定义域，单调区间必须在定义域内； 3. 求参题型：已知单调区间，反推底数范围或参数取值. 1．（24-25高一上·河南郑州·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 3．（26-26高一上·云南红河·期中）已知的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间是_________． 指数型函数的奇偶性问题题型09 · 知识回顾 1. 奇偶性定义：定义域关于原点对称前提下， - 偶函数：； - 奇函数：； 2. 常见指数奇偶模型： - 为偶函数； - 、为奇函数. · 方法与技巧 1. 判定步骤： ① 先看定义域：不关于原点对称，直接非奇非偶； ② 计算，化简整理； ③ 对比和，判断奇偶性； 2. 求参题型：已知奇偶性，利用恒成立，求解参数； 3. 技巧：指数型奇偶函数常用变形：统一化简. 1．（25-26高一下·福建龙岩·阶段检测）若函数是奇函数，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数，为奇函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 4．（24-25高一下·河南·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上既是奇函数，也是增函数 B．函数在上既是奇函数，也是减函数 C．函数在上既是偶函数，也是增函数 D．函数在上既是偶函数，也是减函数 5．（24-25高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数（其中且），且. (1)求函数的解析式； (2)判断的奇偶性，并证明． 指数型函数的值域问题题型10 · 知识回顾 1. 基础值域：，值域为； 2. 复合函数：值域由内层函数的取值范围，结合外层指数函数单调性确定； 3. 二次型指数函数：，先求二次函数值域，再套指数函数. · 方法与技巧 1. 基础型解题步骤： ① 求内层函数的取值范围； ② 根据底数的单调性，求出的范围； ③ 写出最终值域； 2. 换元法（高频）：令，将指数型函数转化为一次、二次函数，在范围内求值域； 3. 易错提醒：永远不要忘记指数式的取值限制； 4. 含参值域问题：分类讨论底数和两种情况. 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数则的值域为 A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 3．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数的值域为______. 4．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数，则其值域为___________. 5．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求函数的值域. 1．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知是偶函数，则实数（     ） A． B． C． D．2 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若的值域为，则的值域为 B．函数且的图象恒过定点 C．函数的最小值为6 D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 8．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 9．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 10．（25-26高一上·广东·期中）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足. (1)求函数和的解析式，并判断函数的单调性(不用解析）； (2)求函数，的最小值. 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知定义在上的偶函数和奇函数满足． (1)求和的解析式． (2)设函数． （i）求的值域； （ii）若，且不等式对任意恒成立，求的最小值． 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册 高一上学期数学同步作业 第四章 指数函数与对数函数 分层作业练题型 §4.2 指数函数 指数函数定义的判断题型01 · 知识回顾 1. 指数函数严格定义：形如 （且，）的函数叫做指数函数. 2. 三大硬性判定条件： ① 底数：常数，满足且； ② 指数：只能是单纯自变量x，不能是等复合形式； ③ 系数：前面的系数必须为1，无额外常数、系数. 3. 区分：均为指数型函数，不是标准指数函数. · 方法与技巧 1. 三步判定法：一看底数范围、二看指数形式、三看前方系数； 2. 快速排除技巧：含负底数、底数为1或0、指数不是单x、系数不为1，直接判定不是指数函数； 3. 易错提醒：常数函数不是指数函数，不满足. 1．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解. 【详解】因为指数函数的形式为 且， 所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误. 故选：C. 2．（24-25高一·全国·课后作业）在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接根据指数函数的定义依次判断即可. 【详解】根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数， ②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数； ③中的系数是，所以不是指数函数； ④中底数，所以不是指数函数． 故选：B． 3．（24-25高一上·河北邢台·阶段检测）下列函数中指数函数的个数是（    ） ①    ②    ③    ④（为常数，，） ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数； 对②：其指数为，不是，故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数； 对⑤：是幂函数，不是指数函数； 对⑥：指数式的系数为-1，不是1，故不是指数函数； 对⑦：指数的底数为-4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是； 综上，是指数函数的只有③④， 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】AD 【分析】根据指数函数的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，为指数函数； 对于B选项，不是指数函数； 对于C选项，不是指数函数； 对于D选项，当且时，且， 则（且）为指数函数. 故选：AD. 5．（25-26高一上·江西·期中）（多选）下列函数中，不是指数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数函数的定义即可判断． 【详解】对于A，中底数，指数是自变量，指数式的系数为，所以是指数函数，故A不合题意； 对于B，中指数不是自变量，所以不是指数函数，故B符合题意； 对于C，中底数必须满足且时，才是指数函数，故C符合题意； 对于D，中指数式的系数不为1，所以不是指数函数，故D符合题意， 故选：BCD． 利用指数函数的概念求参题型02 · 知识回顾 1. 若函数为标准指数函数，必须同时满足：； 2. 若解析式含参数，形如，需严格依据指数函数定义列不等式组求解参数范围. · 方法与技巧 1. 列条件：根据指数函数定义，列出底数大于0、底数不等于1的不等式（组）； 2. 解不等式：分别求解两个限制条件，取交集； 3. 验根：重点剔除底数等于0、1、负数的参数取值； 4. 拓展：若题目明确为“指数函数”，必须严格满足定义；若为“指数型函数”，仅需底数大于0且不等于1即可. 1．（25-26高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 2．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 3．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【详解】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 4．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可. 【详解】根据题意可得，，则. 故选：D 求指数函数的解析式题型03 · 知识回顾 1. 标准指数函数解析式：，仅含一个未知参数； 2. 指数型函数通用形式：，可通过已知点坐标求参数. · 方法与技巧 1. 待定系数法（核心方法）： ① 设解析式：标准指数函数设，指数型函数按需设； ② 代点坐标：将函数图像经过的点代入解析式； ③ 解方程求底数，验证； ④ 回代写出最终解析式. 2. 技巧：优先代入整数点、特殊点（如），简化计算. 1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知指数函数的图像经过点，那么这个函数也必定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出指数函数的解析式，再对选项进行判断即可. 【详解】设，且 即 因为 所以D正确 故选D 3．（25-26高一·重庆綦江·课后作业）下列函数式中，满足的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，且，所以应排除答案A、B、C，而，故应选答案D． 4．（25-26高一上·湖南益阳·阶段检测）若函数对任意，都满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合选项中的函数解析式，令，可排除A、B、D 三个选项，利用指数运算判断C对于任何，都满足. 【详解】A：若，则将分别代入，中， 得，，，故A不符合题意； B：若，则将分别代入，中， 得，，，故B不符合题意； C：若，则 ， 故C符合题意； D：若，则将分别代入，中， 得，，，故D不符合题意． 故选：C． 指数型函数过定点问题题型04 · 知识回顾 1. 指数核心恒等式：，任意合法底数的0次幂恒为1，与底数无关； 2. 指数型函数通用形式：、，定点即不受参数底数影响的固定点. · 方法与技巧 1. 通用套路：令指数部分=0，解出x，再代入解析式求出固定y； 2. 步骤： ① 令指数中含x的式子等于0，求解； ② 将代入原函数，利用计算出固定； ③ 定点即为； 3. 常见模型： 过定点； 4. 易错提醒：定点与底数的取值无关，无需讨论的增减性. 1．（26-26高一上·辽宁·期中）函数的图象恒经过定点 A．(1,1) B．(1,2) C．(1,3) D．(0,2) 【答案】C 【详解】令得 ∴ ∴图象恒经过定点(1,3). 故选C. 2．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递减， 则解得， 所以，，则，即函数的图象过定点. 故选：A. 3．（25-26高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数型函数所过的定点求解即可. 【详解】令，解得，则，即过定点. 故选：B 4．（25-26高一上·上海·期中）函数的图象恒过定点_____. 【答案】 【分析】由，将代入函数表达式，计算即可求解. 【详解】对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 5．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由函数恒过定点，列方程组解得，，从而，由此能求出结果． 【详解】函数恒过定点， ，解得，， 在上为递增的奇函数，其图象经过第一第三象限及坐标原点， 的图象不经过第四象限． 故选：D． 指数函数的图象问题题型05 · 知识回顾 1. 1. 标准指数函数图像性质： ① ：函数单调递增，图像从左下到右上，过定点，x轴为渐近线； ② ：函数单调递减，图像从左上到右下，过定点，x轴为渐近线； 2. 底数大小与图像关系：在第一象限，底数越大，图像越高； 3. 图像变换：遵循“左加右减、上加下减”，针对x、整体函数值变换. · 方法与技巧 1. 图像识别：先看增减性定底数范围，再看定点、渐近线排除错误选项； 2. 底数比较：第一象限图像越高，底数越大； 3. 图像变换解题： ① 平移变换：针对左右平移，针对整体上下平移； ② 对称变换：与关于y轴对称； 4. 核心技巧：所有指数函数图像必过，可优先用定点秒杀排除. 1．（24-25高一上·浙江·期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用函数是增函数，排除A，C，然后分别对B，D的图象分析，假设函数的图象是正确的，从而可得的范围，进而可得指数函数的图象 【详解】解：对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误； 对于B，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是正确的，所以B正确； 对于D，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是增函数，所以D错误， 故选：B 2．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段检测）函数（且）与的图象有可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，根据指数函数和一次函数的图象与性质求解. 【详解】当时，函数递增，恒过定点（0，1），递减， 当时，函数递减，恒过定点（0，1），递增， 故选：D 3．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 4．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 5．（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合图象即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 比较指数幂的大小题型06 · 知识回顾 1. 同底数幂：利用指数函数单调性比较； - ，越大，越大； - ，越大，越小； 2. 同指数幂：利用幂函数单调性或作商法比较； 3. 不同底不同指数：引入中间量（0、1）搭桥比较. · 方法与技巧 1. 三类题型万能解法： ① 同底不同指：看底数单调性，直接比较指数大小； ② 同指不同底：底数越大，幂值越大（x>0时）； ③ 不同底不同指：找中间量1或0，区分大小层级； 2. 特殊结论：所有正指数幂>0，底数>0；是核心分界点； 3. 高阶技巧：可作差、作商、构造函数单调性比较. 1．（25-26高一上·山西长治·阶段检测）、、、则、、的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据指数函数的单调性的性质计算出的取值范围，即可得到结论. 【详解】由题意，可得、、、 又由函数指数函数为单调递增函数，因为， 所以，故选C. 2．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要比较的大小，先将它们转化为同底数幂，再根据指数函数的单调性判断大小. 【详解】将统一底数为，则： ， ， 因为指数函数在上为单调递增，又因为， 所以：，即. 故选： D. 3．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性和中间值比较出大小关系. 【详解】因为在R上单调递减，， 所以，故， ，故. 故选：C 4．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】∵为减函数，又， ，即， 又为增函数，且， ， ∴， 故选：D 5．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用幂函数、指数函数的单调性比较大小. 【详解】函数在上单调递增，； 函数在上单调递减，， 所以. 故选：A 解指数型不等式题型07 · 知识回顾 核心依据：指数函数的单调性（单调递增/递减，不等号方向是否改变） 1. 当时，（不等号方向不变）； 2. 当时，（不等号方向改变）； 3. 所有指数式恒成立. · 方法与技巧 1. 解题四步法： ① 化同底：将不等式左右两边化为同一个底数的指数幂； ② 定单调：判断底数的范围，确定增减性； ③ 脱指数：根据单调性去掉底数，转化为普通整式/分式不等式； ④ 解不等式+验定义域； 2. 易错重点：底数0<a<1时，不等号必须变向； 3. 无同底型：借助中间量估值，或换元法转化求解. 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由不等式， 因为指数函数单调递增，所以 所以， 解得， 即原不等式的解集为 2．（24-25高一上·河北张家口·阶段检测）不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性转化为一元二次不等式求解即可 【详解】由，得， 因为在上是增函数，所以， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·四川凉山·期末）不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】首先由指数函数性质化简不等式，然后移项，解不等式即可． 【详解】不等式可化为，因为函数为增函数， 所以，移项整理为， 解得或． 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 4．（25-26高一上·上海金山·期中）不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性转化为自变量的不等式，解之即可. 【详解】不等式，即， 因为在定义域上单调递增， 所以不等式等价于，即， 因为恒成立， 所以不等式的解集为，即不等式的解集为. 故答案为： 5．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）若函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】作出函数的图像，进而可得，然后利用图像解不等式即可 【详解】函数的图像如图中的“实线”所示.    从而的图像如图中的“实线”所示，为解不等式，需观察图像，易解得与的交点为和.    故不等式的解集为，即. 故答案为： 指数型函数的单调性问题题型08 · 知识回顾 1. 复合函数单调性法则：同增异减； 2. 指数型复合函数通用结构：，外层函数，内层函数； 3. 外层单调性：外层递增，外层递减. · 方法与技巧 1. 复合函数单调性解题步骤： ① 拆分内外层：外层，内层； ② 判外层：根据底数确定外层增减； ③ 判内层：求解一次、二次、分式函数的单调区间； ④ 同增异减：内外单调性相同则整体递增，相反则整体递减； 2. 必做步骤：优先求函数定义域，单调区间必须在定义域内； 3. 求参题型：已知单调区间，反推底数范围或参数取值. 1．（24-25高一上·河南郑州·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用复合函数单调性“同增异减”规则来解题即可. 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 2．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 3．（26-26高一上·云南红河·期中）已知的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用二次函数与指数函数的性质，再结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论. 【详解】设， 所以的递减区间为，递增区间为， 又因为函数在R上为减函数, 所以根据复合函数的单调性可得函数的递增区间为，递减区间为， 故选：D. 4．（24-25高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间是_________． 【答案】 【分析】利用换元法以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】 令， ， 当时，即，单调递增； 当时，即，单调递减； 因为单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 指数型函数的奇偶性问题题型09 · 知识回顾 1. 奇偶性定义：定义域关于原点对称前提下， - 偶函数：； - 奇函数：； 2. 常见指数奇偶模型： - 为偶函数； - 、 为奇函数. · 方法与技巧 1. 判定步骤： ① 先看定义域：不关于原点对称，直接非奇非偶； ② 计算，化简整理； ③ 对比和，判断奇偶性； 2. 求参题型：已知奇偶性，利用恒成立，求解参数； 3. 技巧：指数型奇偶函数常用变形：统一化简. 1．（25-26高一下·福建龙岩·阶段检测）若函数是奇函数，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇函数定义列式求出值. 【详解】由函数是奇函数，得， 即，整理得，而不恒为0， 因此，解得，此时函数是定义在R上的奇函数， 所以实数a的值为. 故选：A 2．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数，为奇函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和定义域可得，解方程并验证即可求解. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数 所以，即，解得. 当时，， 有，函数为奇函数. 所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 【答案】D 【分析】由已知得，即函数为奇函数， 设， ，在上单调递减，可得答案． 【详解】函数定义域为， ，函数为奇函数， 设 ，，函数单调递增，设 ，在 上单调递减， 故函数 在R上是减函数. 故选：D 4．（24-25高一下·河南·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上既是奇函数，也是增函数 B．函数在上既是奇函数，也是减函数 C．函数在上既是偶函数，也是增函数 D．函数在上既是偶函数，也是减函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性可得选项． 【详解】因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，且与均为增函数， 所以在上是增函数， 故选：A. 5．（24-25高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数（其中且），且. (1)求函数的解析式； (2)判断的奇偶性，并证明． 【答案】(1) (2)函数是定义在上的奇函数，证明见解析 【分析】（1）将代入函数解析式即可求解. （2）首先求出函数的定义域，利用函数的奇偶性定义即可证明. 【详解】（1） ， ，解得：， 函数的解析式为. （2）为奇函数； 函数的定义域为， ， 函数是定义在上的奇函数； 指数型函数的值域问题题型10 · 知识回顾 1. 基础值域：，值域为； 2. 复合函数：值域由内层函数的取值范围，结合外层指数函数单调性确定； 3. 二次型指数函数：，先求二次函数值域，再套指数函数. · 方法与技巧 1. 基础型解题步骤： ① 求内层函数的取值范围； ② 根据底数的单调性，求出的范围； ③ 写出最终值域； 2. 换元法（高频）：令，将指数型函数转化为一次、二次函数，在范围内求值域； 3. 易错提醒：永远不要忘记指数式的取值限制； 4. 含参值域问题：分类讨论底数和两种情况. 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数则的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设，则，根据指数函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，设，则， 又由指数函数的性质，可知函数为单调递减函数， 所以函数的值域为，故选C. 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 3．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，结合换元法和二次函数性质即可求解 【详解】令，则原函数可代换为，由二次函数性质可知，的对称轴为，故在单调递增，当时，，故的值域为 故答案为： 4．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数，则其值域为___________. 【答案】 【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上值域的问题，结合二次函数单调性，即可求得结果. 【详解】解：令，∵，∴， ∴， 又关于对称， 即时，函数取得最小值，即， 即时，函数取得最大值，即， ,. 故答案为：. 5．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，即，变形分析可得答案； （2）根据题意，由指数函数的单调性可得，进而变形可得，即可得答案. 【详解】（1）由函数是奇函数，则， 即， 变形可得：，则有. （2）由（1）知， 又由，则，则有，则有， 变形可得：，即． 所以函数的值域为. 1．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知是偶函数，则实数（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，利用，列出方程，求得的值，结合函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，可得，即， 可得，解得，即， 经验证：，所以函数为偶函数，符合题意. 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过求函数的零点以及分析函数在特定区间的正负性，逐项判断即可求解. 【详解】令 ，即 ， 因为 恒成立，所以 ，解得 或 ； 所以函数 的图象与 轴有两个交点，分别为 和 ， 观察选项：A选项图象与 轴只有一个交点，排除； C选项图象在 处与 轴有交点，排除； 对于D选项，当 时， ， ， 由指数函数与幂函数的增长速度可知，即图象在 轴负半轴应无限趋近于 轴， 而D选项图象在 时 ，排除D, 当 时， ，且 ，所以 ，图象在 轴上方，且在 轴负半轴应无限趋近于 轴； 当 时， ，所以 ，图象在 轴下方， 当 时， ，所以 ，图象在 轴上方； B选项符合上述所有特征. 4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 5．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若的值域为，则的值域为 B．函数且的图象恒过定点 C．函数的最小值为6 D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 【答案】BD 【分析】由图象的平移判断A；求函数且的图象恒过定点，即可判断B；利用换元法及对勾函数的性质，求出函数的最小值，即可判断C；求出方程有一正根和一负根时，的范围，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为的图象是由的图象向右平移1个单位得到的， 又因为的值域为，所以的值域也为，故A错误； 对于B，对于，令，可得， 故函数且图象过定点，故B正确； 对于C，令，则函数即为， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以，当，即时，取得最小值， 即函数的最小值为，故C错误； 对于D，当关于的方程有一正根和一负根， 则有，解得，所以“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，故D正确． 故选：BD 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据指数型函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质求解即可． 【详解】由函数在上单调递减， 则，解得， 所以a的取值范围是． 8．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 【答案】 【分析】由奇偶性的定义解出与的函数解析式，再使用复合函数的单调性求解． 【详解】由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. 则，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. 9．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】(1)代值计算即可求解； (2)化简，即可求得 的值； (3)结合即可求解. 【详解】（1）由于，则, （2）由题可得，, 所以 . （3）由(2)可得当时， ， 设 , 则， 所以, 所以. 10．（25-26高一上·广东·期中）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足. (1)求函数和的解析式，并判断函数的单调性(不用解析）； (2)求函数，的最小值. 【答案】(1)，在上单调递增， (2)当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为. 【分析】（1）利用奇偶性得到关系式，结合题意可求出函数和的解析式，再利用单调性的定义证明即可； （2）求出的解析式，结合换元法及二次函数的性质，分类讨论求解最小值. 【详解】（1）定义在上的奇函数和偶函数，则， ∵①，∴，即②， 联立①②解得: ， 在上单调递增，    证明如下： 设，且， ， ，， ，即， 在单调递增. （2） ， 令，可知时单调递增，则， ， 令，   当，即时，在时单调递增，则； 当，即时，在时单调递减，在时单调递增， 则；                                   当，即时，在时单调递减，则； 综上，当时，的最小值为0； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设，由互不相等的实数满足， 得到，，，，由得到， 由结合得到，解得的范围，求出的范围，从而得到所求. 【详解】我们先分析函数的图像： 不妨设， 因为互不相等的实数满足， 所以，，，， 由，得，即， ， 因为，所以，解得， 则，即， ， 符合选项 D. 2．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知定义在上的偶函数和奇函数满足． (1)求和的解析式． (2)设函数． （i）求的值域； （ii）若，且不等式对任意恒成立，求的最小值． 【答案】(1)，． (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组，由此求得. （2）（i）利用构造函数法、换元法，结合二次函数的性质求得的值域. （ii）根据函数的单调性化简不等式，根据二次函数列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最小值. 【详解】（1）根据题意可得， 对于①，以代替得，， 所以②， 由①+②得， 解得； 由①-②得， 解得， （2）（i）由题意得． 设函数，易得为增函数，所以， 令，则． 设函数，因为， 所以的值域为． （ii）由（i）可得，当时，， 则， 因为在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数单调性可得在上单调递增， 所以等价于， 令，所以对任意的恒成立， 因为函数图象的开口向上且对称轴为直线， 所以， 即，解得， 因为，所以，即的最小值为． 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【分析】由，根据平移法则即可解出． 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $