专题10 指数函数图像与性质九类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以五大核心为纲，通过9大题型构建“题型模版+变式迁移”的解题体系，衔接基础与压轴，强化换元法与复合函数性质的应用逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法与题型归纳|9大题型（含典例+变式）+压轴挑战|换元法（分式/二次型）、复合函数“同增异减”、定点问题“指数为0”等可迁移通法|从图像特征到性质应用（值域/单调性/奇偶性），再到参数范围与不等式综合，形成“概念-方法-应用”递进链条|

专题10 指数函数图像与性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数型函数图像过定点问题 题型六、指数型复合函数的单调性求参数范围 题型二、指数函数的图像应用及其变换 题型七、由指数型函数的单调性解不等式 题型三、换元法（分式型）求指数型函数的值域 题型八、指数型函数的奇偶性求参数 题型四、换元法（二次函数型）求指型函数的值域 题型九、指数型函数最值与不等式综合 题型五、由指数型函数的值域求参数范围 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 指数型函数是高中基本初等函数重难点，所有题型均围绕指数函数图像特征、换元值域求解、复合函数单调性、奇偶性、参数范围与不等式应用五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是换元后必须锁定这一取值范围，二是复合函数单调性严格遵循同增异减法则，所有参数结果最终均要带回定义域检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数型函数图像过定点问题 典例1 （24-25高一上·重庆渝中·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 题型模版 1.特征：函数含有参数，形式为类指数型表达式；要求寻找不受参数影响、恒经过的固定坐标点。核心依据： 2.方法：①令指数部分整体等于0，解出对应的 ②把求得的代入原式，计算出 ③写出定点，最后验证结果 变式1-1（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式1-2（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为______. 变式1-3（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知函数的图象一定过点，则点的坐标是___________． 类型二、指数函数的图像应用及其变换 典例2 （25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知基础指数函数，结合平移、对称、翻折变换得到新函数图像；利用图像比较底数大小、解不等式、判断函数分布 2.方法：①图像变换口诀：左加右减针对，上加下减针对整体函数 ②关于轴对称：；关于轴对称： ③底数判断：在区域，图像越高，底数越大 ④画出简易图像辅助分析取值范围 变式2-1（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 变式2-3（25-26高一上·山东聊城·期末）若直线与函数的图象有两个交点，且这两个交点关于轴对称，则实数的值为______. 题型三、换元法（分式型）求指数型函数的值域 典例3 （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，求其值域、对称中心、单调区间，画出简图． 题型模版 1.特征：解析式形如，分子分母均含；依靠限制求解值域 2.方法：①设，，转化为分式一次函数 ②分离常数，结合分析分式取值边界 ③排除取不到的临界值，写出最终值域 变式3-1函数的最小值为_____. 变式3-2（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）函数的值域是__________. 变式3-3（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，用表示不超过的最大整数，则函数的值域为________. 题型四、换元法（二次函数型）求指数型函数的值域 典例4 （25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数 且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 题型模版 1.特征：解析式形如，可整理成关于的二次函数 2.方法：①令，，转化为二次函数 ②确定二次函数对称轴，结合区间分析最值 ③重点判断对称轴是否落在范围内，求出值域 变式4-1（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 变式4-2（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 变式4-3（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 题型五、由指数型函数的值域求参数范围 典例5 （2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给定指数复合函数的值域，反向求解解析式中参数取值；常结合换元后的二次函数、一次函数边界分析 2.方法：①换元，先锁定的取值集合 ②根据目标值域，反向约束内层函数范围 ③列出不等式求解参数，验证边界能否取到 变式5-1（2025高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 变式5-2（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-3（24-25高一上·湖南·阶段检测）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若，存在实数，，使得当的定义域为时，的值域为，求实数a的取值范围. 题型六、指数型复合函数的单调性求参数范围 典例6 （24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 题型模版 1.特征：复合函数，已知单调区间，反求参数；需要使用“同增异减” 2.方法：①分清外层单调性（递增；递减） ②结合同增异减，推出内层对应的增减区间 ③根据内层二次/一次函数单调性列出参数不等式，附带定义域限制 变式6-1（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式6-2（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七、由指数型函数的单调性解不等式 典例7 （2026高三·全国·专题练习）若实数x满足不等式，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：不等式两侧均可整理为同底指数形式，依托指数函数单调性脱去外层 2.方法：①统一底数；底数直接转化；底数不等号反向 ②列出化简后的不等式，附带原式定义域约束 ③取交集得到解集 变式7-1（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-2（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式7-3（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八、指数型函数的奇偶性求参数 典例8 （25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 题型模版 1.特征：函数含有参数，满足奇函数或偶函数定义，求解参数取值.常见形式： 2.方法：①先决条件：定义域关于原点对称 ②利用（偶）或（奇）恒成立 ③比较等式两边系数，建立方程算出参数；奇函数优先尝试快速求值，最后检验 变式8-1（24-25高一上·福建福州·阶段检测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 变式8-2（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）设，函数是上的偶函数，则______． 变式8-3（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型九、指数型函数最值与不等式综合 典例9 （2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 题型模版 1.特征：结合换元后的函数最值，恒成立、存在性不等式；形如恒成立、 2.方法：①换元转化为熟悉函数，求出函数最大值或最小值 ②恒成立：；存在性： ③求解参数范围，检验区间端点能否取等 变式9-1（25-26高一上·浙江衢州·期中）已知函数是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若函数是上的增函数，求解方程； (3)若函数是上的减函数，且关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 变式9-2（24-25高二下·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 变式9-3（24-25高一上·安徽·期中）已知定义在上的函数，且有，. (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 3．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南漯河·阶段检测）设则下列选项不正确的是（    ） A． B．时，在上单调递减 C．时，在上单调递减 D．的值域为 6．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江·开学考试）设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·湖南·开学考试）若是偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．0 10．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 11．（25-26高一上·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（假期必刷5函数的基本性质）已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 13．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数（且） (1)判断函数的奇偶性； (2)若， 求使不等式在上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值. 14．（24-25高一上·宁夏银川·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 15．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值；指出的单调性（单调性无需证明） (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 16．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 17．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 19．（23-24高一下·陕西榆林·阶段检测）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 20．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 指数函数图像与性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数型函数图像过定点问题 题型六、指数型复合函数的单调性求参数范围 题型二、指数函数的图像应用及其变换 题型七、由指数型函数的单调性解不等式 题型三、换元法（分式型）求指数型函数的值域 题型八、指数型函数的奇偶性求参数 题型四、换元法（二次函数型）求指型函数的值域 题型九、指数型函数最值与不等式综合 题型五、由指数型函数的值域求参数范围 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 指数型函数是高中基本初等函数重难点，所有题型均围绕指数函数图像特征、换元值域求解、复合函数单调性、奇偶性、参数范围与不等式应用五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是换元后必须锁定这一取值范围，二是复合函数单调性严格遵循同增异减法则，所有参数结果最终均要带回定义域检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数型函数图像过定点问题 典例1 （24-25高一上·重庆渝中·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【分析】先由函数图象经过定点推得，求出，再由图象过点确定的值即可. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以， 解得，故. 又的图象也过点，则，则得， 因，故，所以. 故答案为：. 题型模版 1.特征：函数含有参数，形式为类指数型表达式；要求寻找不受参数影响、恒经过的固定坐标点。核心依据： 2.方法：①令指数部分整体等于0，解出对应的 ②把求得的代入原式，计算出 ③写出定点，最后验证结果 变式1-1（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点的坐标，代入直线方程可得到一个关于的等式，利用“1”的代换，结合基本不等式可得最小值. 【详解】由指数函数的图象恒过定点可知 函数的图象恒过定点. 又点在直线上， 所以，所以. 则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 变式1-2（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据对数函数与指数函数的性质确定定点坐标，从而可得的值，结合基本不等式“1”的巧用求解最值即可 【详解】因为当时，， 所以函数过定点，故， 所以，则， 又，，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 变式1-3（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知函数的图象一定过点，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】先利用指数函数的性质确定指数部分为时的值，再代入函数求出对应的函数值，从而得到定点的坐标. 【详解】因为指数函数(且)，的图象恒过点， 令，即，此时， 所以函数恒过点，即点的坐标是. 故答案为： 类型二、指数函数的图像应用及其变换 典例2 （25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 题型模版 1.特征：已知基础指数函数，结合平移、对称、翻折变换得到新函数图像；利用图像比较底数大小、解不等式、判断函数分布 2.方法：①图像变换口诀：左加右减针对，上加下减针对整体函数 ②关于轴对称：；关于轴对称： ③底数判断：在区域，图像越高，底数越大 ④画出简易图像辅助分析取值范围 变式2-1（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图所示： 由时，则与矛盾，故A错误； 选项B，如图所示： 由时，则与矛盾，故B错误； 对于C，如图所示： 由时，，但是此时，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，有，则，无法确定， 如图所示： 由，则，即， 由，所以，故D正确. 变式2-2（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系下画出和的图像，然后在坐标系中作水平直线即可得解. 【详解】 在同一坐标系下画出和的图像， 从上到下的三条虚线分别可以推出，，， 则ACD选项有可能，B选项不可能. 故选：B 变式2-3（25-26高一上·山东聊城·期末）若直线与函数的图象有两个交点，且这两个交点关于轴对称，则实数的值为______. 【答案】 【分析】设两个交点为,且，则，，再结合对称性得解得，再说明时不成立即可. 【详解】设直线与函数的图象有两个交点为,且 所以，，即， 又因为这两个交点关于轴对称，所以 所以，即， 所以，即，解得， 当时，，为上的单调递增函数，图象与直线至多只有一个交点，不满足题意，舍去； 所以 故答案为： 题型三、换元法（分式型）求指数型函数的值域 典例3 （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，求其值域、对称中心、单调区间，画出简图． 【答案】值域为. 对称中心为. 上单调递减. 【详解】因为，且，所以函数单调递减. 并且时，时，，所以值域为. 令分母为，无解，说明竖直渐近线不存在．由结论得两条水平渐近线，． 由对称中心点得对称中心． 取，，确定图像位置. 题型模版 1.特征：解析式形如，分子分母均含；依靠限制求解值域 2.方法：①设，，转化为分式一次函数 ②分离常数，结合分析分式取值边界 ③排除取不到的临界值，写出最终值域 变式3-1函数的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】 . 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 故答案为： 变式3-2（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）函数的值域是__________. 【答案】 【分析】方法一：通过分离常数法将函数进行变形，再结合指数函数的性质求函数的值域. 方法二：直接指数函数的有界性求值域. 【详解】方法一：. 函数的定义域为，则且， 当时，，，； 当时，，，； 综上，函数的值域是. 方法二：令，则. 因为，所以，即， 解得或. 故函数的值域是. 故答案为：. 变式3-3（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，用表示不超过的最大整数，则函数的值域为________. 【答案】 【分析】整理函数的解析式，从而得到函数的值域，由定义即可得出结果. 【详解】， ∵，∴，∴， ∴， 即， ∴. 故答案为：. 题型四、换元法（二次函数型）求指数型函数的值域 典例4 （25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数 且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集； (2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域. 【详解】（1）由为定义在上的奇函数，得，即， 故，. 由，结合，得，故. 在上单调递增，且. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. （2）由，整理得， 解得（舍去），故. ，令， 则，故. 当时，单调递增，得. 函数，开口向上，对称轴为. 当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 题型模版 1.特征：解析式形如，可整理成关于的二次函数 2.方法：①令，，转化为二次函数 ②确定二次函数对称轴，结合区间分析最值 ③重点判断对称轴是否落在范围内，求出值域 变式4-1（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求关于指数函数的复合函数的值域即得, 【详解】因为函数的定义域为 所以，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. 变式4-2（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可． 【详解】（1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：． 变式4-3（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【答案】B 【分析】先求出A，再利用换元法将化为，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】令，解得，故函数的定义域是， 令，由于，故， 则即为函数， 而， 当时，取最大值， 即函数的最大值是0， 故选：B 题型五、由指数型函数的值域求参数范围 典例5 （2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 题型模版 1.特征：给定指数复合函数的值域，反向求解解析式中参数取值；常结合换元后的二次函数、一次函数边界分析 2.方法：①换元，先锁定的取值集合 ②根据目标值域，反向约束内层函数范围 ③列出不等式求解参数，验证边界能否取到 变式5-1（2025高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【分析】（1）由函数有意义列出不等式，利用指数函数单调性求出定义域；再利用换元法，结合二次函数求出值域. （2）由给定条件可得的取值集合包含，换元并结合二次函数分类讨论求解. 【详解】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. 变式5-2（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的值域为，可知，分和两种情况，结合指数函数性质运算求解. 【详解】当时，可知的值域为， 设的值域为，依题意得. 当时，在上单调递减， 即当时，，不符合题意； 当时，在上单调递增， 即当时，，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：C. 变式5-3（24-25高一上·湖南·阶段检测）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若，存在实数，，使得当的定义域为时，的值域为，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质计算可得； （2）首先判断的单调性，即可得到在上有两个不同的实数解，令，则问题转化为在上有两个不同的实数解，结合二次函数根的分布得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）若时，. 令，则， 该二次函数开口向上，其图象的对称轴为直线， 所以当时，， 即的最小值为. （2）因为，则与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 当的定义域为时，则的值域为， 所以，即在上有两个不同的实数解， 即在上有两个不同的实数解， 令，所以在上有两个不同的实数解， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型六、指数型复合函数的单调性求参数范围 典例6 （24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 题型模版 1.特征：复合函数，已知单调区间，反求参数；需要使用“同增异减” 2.方法：①分清外层单调性（递增；递减） ②结合同增异减，推出内层对应的增减区间 ③根据内层二次/一次函数单调性列出参数不等式，附带定义域限制 变式6-1（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 变式6-2（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 变式6-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性法则可得答案. 【详解】由是上的单调递增函数， 得：， 解得：，即：. 题型七、由指数型函数的单调性解不等式 典例7 （2026高三·全国·专题练习）若实数x满足不等式，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用其单调性解不等式求参数范围. 【详解】由，得， 构造函数，即 因为、是R上的增函数，则是R上的增函数， 所以，整理得，解得或， 即的取值范围是. 题型模版 1.特征：不等式两侧均可整理为同底指数形式，依托指数函数单调性脱去外层 2.方法：①统一底数；底数直接转化；底数不等号反向 ②列出化简后的不等式，附带原式定义域约束 ③取交集得到解集 变式7-1（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时. 当时，为单调递增函数，也为单调递增函数， ∴ 在上单调递增，且. ∴ 函数是定义域为的单调递增函数. 令，当时，有. 设（），则，整理得. 解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去. ∴ ，即. ∵ 在上单调递增， ∴ 等价于，解得. ∴ 实数的取值范围为，故选A. 变式7-2（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得对称性，进而根据函数的单调性，可得求解． 【详解】由， 得的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， 所以，整理得， 解得或． 变式7-3（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，根据解不等式，当时，即时根据函数的单调性求解, 【详解】当时，即时，， 故满足题意； 当时，即时，令，则+1在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以由可得，解得， 又，故. 综上，实数a的取值范围为. 题型八、指数型函数的奇偶性求参数 典例8 （25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义恒成立，即可求. 【详解】由题设，函数的定义域为R，且， 所以恒成立，则恒成立，故. 故选：B 题型模版 1.特征：函数含有参数，满足奇函数或偶函数定义，求解参数取值.常见形式： 2.方法：①先决条件：定义域关于原点对称 ②利用（偶）或（奇）恒成立 ③比较等式两边系数，建立方程算出参数；奇函数优先尝试快速求值，最后检验 变式8-1（24-25高一上·福建福州·阶段检测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用奇函数定义，可得，进而利用奇函数定义验证求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以， 即，即，又，故解得， 此时， 则， 所以函数是奇函数，满足题意， 所以. 故选：B. 变式8-2（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）设，函数是上的偶函数，则______． 【答案】 【分析】由，列出方程，得到对于任意恒成立，得到，进而求得的值. 【详解】由函数是上的偶函数，可得， 所以，整理得， 所以对于任意恒成立，可得，即， 又因为，所以. 变式8-3（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，结合指数运算求解即可. 【详解】令，可得，即函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得， 所以. 故选：B. 题型九、指数型函数最值与不等式综合 典例9 （2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明： 由（1）可知，， 任取，且， 则， ，又， 在上单调递增； (3) 【分析】（1）根据求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）令，，转化为在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1） 为定义域为的奇函数， ，即， ，整理得，，解得， 故， 函数的定义域为，则，解得， 所以，； （2）略 （3）当时，，由可得， 即当时，，令， 则， 又，当且仅当时等号成立，所以， 则， 实数m的取值范围． 题型模版 1.特征：结合换元后的函数最值，恒成立、存在性不等式；形如恒成立、 2.方法：①换元转化为熟悉函数，求出函数最大值或最小值 ②恒成立：；存在性： ③求解参数范围，检验区间端点能否取等 变式9-1（25-26高一上·浙江衢州·期中）已知函数是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若函数是上的增函数，求解方程； (3)若函数是上的减函数，且关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) (3) 【分析】（1）方法一利用特值求出，再验证是奇函数，方法二利用奇函数的定义式进行求解即可； （2）利用单调性求出，解含有指数的方程即可； （3）根据单调性确定的值，结合不等式有解，分离参数可得答案. 【详解】（1）解法1：因为函数是上的奇函数． 所以，得到， 即， 解得或， 当时，， 对于成立； 当时，， 对于成立 综上，实数的值等于1或 解法2：因为函数是上的奇函数． 所以对于， 即 化简得， 即， 得， 解得或． （2）当时，， 由于是上的增函数， 所以是上的减函数，不合题意； 当时，， 由于是上的增函数， 所以是上的增函数. 解方程，即， 得，解得. （3）由（2）知当时，函数是上的减函数． 在上有解， 即在上有解， 令，上式化简得在上有解， 即在上有解，令，设， 则只需，， 所以，所以实数的取值范围是. 变式9-2（24-25高二下·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明：因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即②，故得证. 联立①②可得，. (2)增函数，解集为 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性的定义结合可证得结论成立，将结论与已知等式构成方程组，即可解得、的解析式； （2）分析函数的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可； （3）先根据函数在上的单调性，推得，再通过换元，将函数转化为，根据二次函数的性质求出其最小值，结合题意需使，即可求出的取值范围. 【详解】（1）略 （2）函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. （3）因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 变式9-3（24-25高一上·安徽·期中）已知定义在上的函数，且有，. (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) 因为，所以，解得，所以； 为奇函数，证明如下： 定义域为且关于原点对称，因为， 所以为上的奇函数. (2) (3) 【分析】（1）代入求得的值，则解析式可知，根据的关系结合定义域证明出奇偶性； （2）根据奇偶性对不等式变形，再根据的单调性解不等式，由此可求结果； （3）先将问题转化为“”，然后根据单调性分析的最值，采用换元法分析的最值，由此可得结果. 【详解】（1）略 （2）， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减； 因为，所以，所以， 所以，所以或，解得或， 所以不等式解集为. （3）因为，，使得，所以； 因为，，所以， 由指数函数性质可知，无最大值，但可以无限接近； 又因为，令， 所以，对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时有，所以， 若，则， 综上所述，的取值范围是. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C.      2．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】令指数为，可得定点坐标，将其坐标代入到方程中，可得，由，，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 3．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 4．（24-25高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段求函数的值域，再根据函数的值域为，列式求得到取值范围. 【详解】当时，， 当时，，函数的值域，不成立， 当时，，，单调递减，， 函数的值域，不成立， 当时，，，单调递增，， 函数的值域是，所以，解得， 所以. 故选：C. 5．（24-25高一下·河南漯河·阶段检测）设则下列选项不正确的是（    ） A． B．时，在上单调递减 C．时，在上单调递减 D．的值域为 【答案】C 【分析】对于A，将代入解析式计算即可；对于B、C，分离常数法将函数解析式变形，分步讨论函数的单调性即可；对于D，分离常数法将函数解析式变形，直接求值域即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B、C，因为， 所以当时，函数单调递减，则函数单调递增，所以在上单调递减； 当时，函数单调递增，则函数单调递减，所以在上单调递增. 故B正确，C错误； 对于D， ，因为，所以， 所以.故D正确. 故选：C. 6．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】函数为偶函数，则，即①， 函数为奇函数，则，即②， 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故函数的值域为. 故选：B 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 8．（23-24高二上·浙江·开学考试）设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，设，结合 题意求得，得到函数，即可求得的值. 【详解】对任意的，总有且， 所以， 又因为函数为单调函数，可得，即， 可设（其中为常数）， 所以， 所以 ，所以，所以，可得. 故选：D. 9．（24-25高二上·湖南·开学考试）若是偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数是奇函数，是偶函数，得出为奇函数即可计算求参. 【详解】定义域为，是奇函数， 因为是偶函数，所以为奇函数. 所以，解得. 故选：D. 10．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据已知得，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 11．（25-26高一上·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出要使函数的值域为，须满足函数在上单调递增，且最小值小于等于在时的函数值，据此列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为， 须满足函数在上单调递增，即， 且，解得， 则． 故选：D 12．（假期必刷5函数的基本性质）已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上单调递减，结合指数函数单调性计算即可得解. 【详解】由对任意的都有成立， 故在上单调递减， 则，解得， 即实数的取值范围为. 二、解答题 13．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数（且） (1)判断函数的奇偶性； (2)若， 求使不等式在上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)奇函数 (2). (3)2 【分析】（1）根据奇偶性的定义，即可化简求解， （2）根据函数的单调性和奇偶性即可将问题转化为，利用基本不等式即可求解最值得解， （3）利用换元法可得，进而利用二次函数的性质，结合分类讨论求解. 【详解】（1）函数的定义域为R， 且 所以函数是奇函数. （2）由，显然函数，在R上单调递增， 因此函数是R上的增函数，          不等式 则， ，， 于是，当且仅当时取等号， 因此， 所以的取值范围是. （3）由，得，故， 而，解得，则， ， 令， 由（2）知，函数是R上的增函数，当时，， ， 当时，函数在上单调递增， 当时，，解得与矛盾；   - 当时，时，，则， 综上. 14．（24-25高一上·宁夏银川·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当代入，令化简，通过一元二次函数计算值域即可； （2）通过（1）可知只需在上单调递增，分别讨论，和即可. 【详解】（1）当时，， 令，则，故， 所以的值域为． （2）由（1）可得，， 因为在上单调递增， 要使在上单调递增，只需在上单调递增即可， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得：. 所以m的取值范围是. 15．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值；指出的单调性（单调性无需证明） (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)，在R上单调递增 (2) (3) 【分析】（1）由题意得，化简可求出的值； （2）对两函数变形得，再根据的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，然后根据指数函数的性质可求出的值域； （3）令，由其在R上递增，结合题意可得，则将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数， 所以，即， 所以，得， 所以，得； 在R上单调递增，， 因为在R上单调递增，所以在R上单调递减， 所以在R上单调递增，所以在R上单调递增， （2）由（1）得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以． 所以函数的值域为； （3）由（1）得，令， 由（1）知在R上单调递增， 所以在R上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即的取值范围为． 16．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；证明：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得， 可得，则，其定义域为， 又由，所以函数为上的奇函数. (2) 【分析】（1）根据题意，利用指数函数的单调性，得到，得出，再由函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得的最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由 ， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为对恒成立，所以， 即，所以实数的取值范围为. 17．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值； （2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解. 【详解】（1）若，则， 因为，令， 可得的图象开口向上，对称轴为， 可知：当时，取得最大值， 所以函数在上的最大值为8. （2）因为， 即， 整理得， 令，当且仅当，即时，等号成立， 则，， 则，整理得， 由题意可知：方程在内有解， 因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 18．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 19．（23-24高一下·陕西榆林·阶段检测）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得； （2）参变分离可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）若，，， 令，因为，所以， 令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以，； （2）因为在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 20．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $