3.1.2椭圆的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的简单几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率等核心知识点，通过复习椭圆定义导入，结合思维导图梳理a,b,c,e关系，搭建从定义到性质应用的学习支架，衔接直线与椭圆位置关系等后续内容。 其亮点在于分层训练（基础、中档、拔高）和思维导图整合知识，通过多种解题方法（如点差法、参数方程法）培养数学思维，结合高考真题发展数学语言，帮助学生构建知识体系，教师可实现一体化教学，提升教学效率。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 本节研究椭圆范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，掌握 a,b,c,e 的关系，理解离心率对椭圆扁平程度的影响，会利用性质解决相关问题。 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括190张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 椭圆的简单几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 范围 , , 4 标准方程 对称性 对称轴：轴、 轴 对称中心：（又叫做椭圆的中心）原点 顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点 , , , ,,, 轴长 长轴长,短轴长 （和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长） 焦距 离心率 续表 . . . . 5 知识剖析 深度剖析椭圆离心率的范围、几何意义及其他表示方式 （1）椭圆离心率<m></m>的取值范围：<m></m>. （2）<m></m>,<m></m>和<m></m>之间可以相互转化，由<m></m>可推出<m></m>.由 <m></m>可知，当<m></m>越趋近于1时，<m></m>越趋近于0，此时椭圆越扁平；当<m></m>越趋近于0 时,<m></m>越趋近于1，此时，椭圆越接近于圆.因此，椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程 度”,离心率<m></m>越大，椭圆越扁平，离心率<m></m>越小，椭圆越接近于圆.（当且仅当<m></m>, <m></m>时，两个焦点重合，椭圆就变为圆，它的方程为<m></m>） 6 （3）如图3.1.2-1所示，在中，,,令 ,则 ; 在中，设 , ,由正弦定理得 , . 图3.1.2-1 图3.1.2-2 . . . . . . 7 （4）若焦点三角形的内切圆圆心为，如图3.1.2-2，延长交轴于点 ，易知 为 的平分线，由角平分线定理可知 . （5）椭圆离心率 与对焦点的张角为直角的焦点三角形个数的关系: 设椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上任意一点，若焦点三角形 的 张角 ，即为以线段 为直径的圆与椭圆的交点. ①当时， ，满足题意的焦点三角形有0个; ②当时， ，满足题意的焦点三角形有2个; ③当时， ，满足题意的焦点三角形有4个. 8 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P112例4]求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶 点坐标，并用描点法画出这个椭圆. 【解析】由椭圆的方程得,, . 因此，长轴长,短轴长，离心率 . 焦点为和，顶点为，，， . 求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标 ,列表如下： 0 1 2 3 4 5 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 9 图3.1.2-6 画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭 圆的图形（如图3.1.2-6）. 10 例1-2 已知椭圆的标准方程为,则椭圆上的点到椭圆中心的距离 的 取值范围为( ) C A. B. C. D. 【解析】设点,则 . 由椭圆的范围，知, 点 在椭圆上， ,则 , . ， ， 即 . 11 设 , ,（椭圆的参数方程） ，则 , ， . . . 12 【想一想丨知识延伸】 图3.1.2-7 椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点（即椭圆上的点到椭圆中心的距离的 最小值为短半轴长 ），到中心距离最大的点是长轴的两个端点（即椭圆上的点到椭 圆中心的距离的最大值是长半轴长 ）.也可结合图3.1.2-7理解. 13 例1-3 (2026·江苏省南京市金陵中学月考)椭圆的离心率为,则 ( ) A A. B. C. D.2 【解析】由题意得，,解得 . 14 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1 直线与椭圆的三种位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图示 交点个数 0 1 2 判定方法 说明 为联立直线与椭圆方程，消去一个变量后所得一元二次方程的判别式. 15 2 弦长问题 设直线交椭圆于点, 两点， 则 . 同理可得 . 知识回顾 由一元二次方程求 的方法有两种.一是利用根与 系数的关系求解： . 二是利用求根公式求解： . . . . . . . 16 3 中点弦问题 设直线交椭圆于,两点， 为 坐标原点，记弦的中点为 . 将点的坐标,点的坐标代入椭圆方程得 两式作差并 整理得 ， 若，则，即，从而 ，即 .这是有关椭圆垂径定理的表达式. . . 17 归纳总结 垂径定理 圆的垂径定理 18 切线性质 圆的切线性质 19 学思用·典例详解 例2-4 判断直线与椭圆 的位置关系. 【解析】 （通解） 联立直线与椭圆的方程得消去 ，得 ， ，所以直线与椭圆相交. （优解） 因为直线过点，而，即点 在椭圆内部， 所以可推断直线与椭圆相交. 20 例2-5 直线与椭圆相交于，两点，则 ___. 【解析】设,，将代入 ,整理得 ， . 由根与系数的关系知， ，所以 . 21 例2-6 (2026·山东省菏泽市第一中学检测)过点作斜率为 的直线，与椭圆 相交于,两点,若是线段的中点,则椭圆 的离心率等 于_ __. 【解析】 设，，则 ①， ②， 是线段 的中点， ， . 直线的斜率为 ， . 22 ①②两式相减可得，即，整理得 ， ． 由椭圆的垂径定理得,为坐标原点,即 ,即 , 故椭圆的离心率 . 23 例2-7 求椭圆在点 处的切线方程. 【解析】 （待定系数法） 设过点处的切线的斜率为 ，（斜率若不 存在，则直线与椭圆有两个交点） 则切线方程为 ， 联立得 ， 因为直线与椭圆相切，所以 ，即 ，解 得 . 故所求切线方程为 . . . 24 （性质法） 设所求切线方程的斜率为，则 , 即，得 , 则由点斜式得，即 . 点评 在学习过章末的专题5之后，我们可以直接由公式求得切线方程为 ，即 . . . 25 释疑惑 重难拓展 知识点3 椭圆定义的拓展 1 椭圆的第二定义 （【教材深挖】对教材第113页【例6】的拓展） （1）定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹为椭圆.定点为椭圆的焦点,定直线 叫做椭圆的准线，常数 是椭圆的离心率. 如图3.1.2-3， . 图3.1.2-3 26 证明:设点与定点的距离和到定直线 的距离之比为常数 ，即，则，将上述等式两边平方并整理得 ， 令，得 . 27 （2）准线方程： ①椭圆的准线方程为 ; ②椭圆的准线方程为 ; 两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离（称为椭圆的焦准距，设为 ,即 ）为 . （3）焦半径公式： 为椭圆上任意一点，， 分别为椭圆的左、 右焦点，则有, ; 为椭圆上任意一点，， 分别为椭圆的上、 下焦点，则有, . . . 28 2 椭圆的第三定义 （【教材深挖】对教材第108页【例3】的拓展） （1）定义 若平面内一动点与关于原点对称的两定点, 连线的斜率的乘 积等于常数 ，则动点的轨迹为椭圆（不包含两定点）. 证明：设点，由 ， 得 ， 将上式整理得 ①. 同理，当常数为时，所得椭圆方程为 ②. （①式两边同除以 即可化为标准方程，同理，②式也可化为标准方程） 29 （2）椭圆的中心弦性质 若点,是椭圆上任意关于椭圆中心对称的两点，点是椭圆上除, 以外的任 意一点. ①当椭圆为时， ； ②当椭圆为时， . 图3.1.2-4 （【想一想】椭圆的中心弦性质和椭圆的垂径定理结论 是一致的，这是什么原因呢？如图3.1.2-4，设的中点为 ， 则，所以 ） . . . . 30 学思用·典例详解 例3-8 在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线 为椭圆，求 的取值范围. 思路点拨 观察发现方程两边的几何意义，再借助椭圆第二定义求解. 【解析】已知等式可变形为 ,此式可表示与定 点的距离和到直线的距离之比为常数的点 的轨迹， 由椭圆定义知 ,所以 ，故的取值范围是 . 点评 此椭圆方程非标准方程，因此不能借助椭圆的标准方程来求解. 31 例3-9 已知椭圆内有一点,是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点 ， 使 最小. 【解析】如图3.1.2-8所示，过点向椭圆右准线作垂线段，垂足为 . 图3.1.2-8 32 设为点 到右准线的距离. 由椭圆方程知,, . ,,即 ， 故 . 显然，当,,三点共线时，最小，最小为 ， 此时点的纵坐标为,将代入椭圆方程，解得 （负值已舍去），从 而求得 . 点评 若设点的坐标为,求出 ,再求最小值是很复杂的，但若从 表达式联想到椭圆的第二定义则简单很多. 33 例3-10 (2026·安徽省阜阳市期中)已知,是椭圆 上关于原点 对称的两点，椭圆的离心率为，点为椭圆上异于,的一点，且直线, 的斜率 分别为,，证明： 【解析】设,,，则 , , 两式相减并整理得,即 ,所以 . 34 知识点4 椭圆的焦点弦 过焦点的直线与椭圆相交形成的弦叫做焦点弦（如图3.1.2-5中的弦 ）. 1 椭圆的通径 过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径.通径的长度 记为 （为椭圆的离心率，为椭圆的焦准距）.（无论椭圆的焦点是在 轴上还是 在轴上，椭圆的通径长均为）或 . . 35 2 椭圆的焦点弦长公式 椭圆的左焦点为,倾斜角为 的 直线经过点，且与椭圆交于, 两点. 图3.1.2-5 如图3.1.2-5，连接,， ，设 ， ， 由椭圆定义得， ， 在 中，由余弦定理得 ， 即 ，#1.4.1 则，解得 ． 36 同理在中，由余弦定理可求得 ， 则弦长 ． 由焦准距 ，可得焦半径 ， ， 焦点弦长公式 . . . . . 易得，当时，焦点弦最短，且 ，即最 短的焦点弦是通径. 同理可得，当为椭圆 的下焦 点时， , , .（倾斜角余弦值 变为正弦值）#2.2 3 焦半径之间的数量关系 焦点在轴上时， . 焦点在轴上时, （不变）. 39 4 焦点弦被焦点分成定比问题 焦点在轴上时，焦点弦满足，直线的倾斜角为 ，则 ， ， 间满足 . 证明：由得 ， 则，即 . 因为,,位置不确定，且倾斜角 也有可能为钝角，为方便记忆可加上绝对 值，故 . 当椭圆焦点在轴上时，若,则 . 40 学思用·典例详解 例4-11 (2026·山东省菏泽市期中)设，分别是椭圆 的 左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，在 轴上的截距为1，若 ，且 轴，则此椭圆的长轴长为( ) D A. B.3 C. D.6 【解析】 轴，在轴上的截距为1，由三角形中位线得 , 可得 ， ， 可得 ，将, 的坐标代入椭圆方程， 得则，解得，则， . 41 图3.1.2-9 如图3.1.2-9，设直线的倾斜角为 ， 在中，由三角形中位线得 ， 因为 ， 所以 ， 则可得 , 又，则，可得 . 42 例4-12 已知椭圆的离心率为，与过右焦点 且斜率为 的直线相交于，两点．若，则 ____. 图3.1.2-10 【解析】设直线的倾斜角为 . 如图3.1.2-10，设为椭圆的右准线，过点 ， 分别向作垂线，，， 分别为垂足， 过点作的垂线，是垂足,设 ，则 , 由椭圆的第二定义得，， , 在中，, , 43 故 ， 又，所以 . 由 得， ， 因为,所以 ， 所以 . 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求椭圆的离心率 1 求椭圆的离心率的值 母题 致经典·结构化试题 例13 (2026·广东省深圳市红山中学期中)已知椭圆的焦点为， ，短轴的一个端 点为，且是一个等边三角形，则椭圆 的离心率为__. 【解析】因为，，所以依据题意可知 ，从而有 . 45 母题探源 椭圆的标准方程有， 两个参数，求方程一般需要两个等式，而椭圆的离 心率是个比值，只需要一个等式即可.求离心率的等式经常与焦点三角形相结合，下 面认真体会“子题链接”. 46 子题 情境转化 (2026·福建省厦门市湖滨中学期中)椭圆的一个焦点为 ，该椭 圆上有一点，满足是等边三角形为坐标原点 ，则椭圆的离心率是________. 【解析】 设点，由是等边三角形，得, 点 在椭圆上， 有 ①， 在椭圆中有，联立①②，得,即 ,则其 离心率 . 47 图3.1.2-11 如图3.1.2-11,设另一焦点为,连接 ,则 , , , 又 , , . 48 如图3.1.2-11,设另一焦点为,连接 . 注意到在焦点三角形中， , , ， 则由正弦定理可得 , , 故 .（在选择、填空题中，可直接用公式 求解） 49 例14 已知椭圆的上顶点为，右顶点为，左焦点 到直 线的距离为，则椭圆 的离心率为( ) C A. B. C. D. 50 【解析】由题意可得，， ， 则直线的方程为，即 ， 由到直线的距离为，得 ①， 又 ②， 联立①②并化简得 ， 即，所以 ， 解得或 （舍去）. 故椭圆的离心率为 . 51 求椭圆离心率的基本思路 （1）求椭圆离心率的值，关键是寻找,, 所满足的等量关系，这就需要画图分析， 充分利用图形的直观性来解决问题，具体解题时还应注意利用“”消去 , 因此在找到,,的等量关系后，通常需要两边平方，这样才便于消去 . （2）计算离心率的常见形式： , . 52 【学会了吗丨变式题】 1.(2026·四川省成都市第七中学月考)椭圆 的左、右焦点分别为 ,,是椭圆上一点，且, ，则椭圆的离心率为_ __. 【解析】设,则，因为 ， 所以根据勾股定理得 ， 解得 ， 因为， ， 所以 . 53 2 求椭圆离心率的取值范围或最值 例15 (2026·陕西省安康市期末)若椭圆上存在一点 ，使得 ,分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率 的取值范围为 _ _______. ,1） 54 【解析】 设点的坐标是，则 . ,,, . ，，即 . 又点在椭圆上，即 , ,即 , ,即,又, ， 故椭圆的离心率的取值范围是 ,1）. 55 设点的坐标是 , 由方法1可得消去，得 . , 由①得,即 , ，则 . 又, . 由②得 ,此式恒成立. 综上所述，椭圆的离心率的取值范围是 ,1）. 56 设中， , ，故, ， 则 ， 又， ． 故椭圆的离心率的取值范围为 ,1）. （利用焦点三角形中的离心率公式及三角函数求离心率的范围） 57 （优解） 设椭圆的一个短轴端点为 ， 椭圆上存在一点，使 , ,（最大时， 为短轴端点） 则 , ,即 , 又,（此条件切勿忽略） , 故椭圆的离心率的取值范围为 ,1）. . . . . 58 例16 已知椭圆的左、右焦点分别为点， ， 若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆 的离心率的最大值是 ( ) C A. B. C. D. 59 【解析】设点的坐标为,则的面积为 .（底×高） 因为的内切圆半径为，所以的面积还可表示为 ， （周长×内切圆半径） 所以 ， 所以 . 因为,所以,两边平方得，又 ， 所以，整理得，即 ，即 ，又,解得，故椭圆的离心率的最大值为 ． . . . . 60 求椭圆离心率的取值范围的基本思路 求椭圆离心率的取值范围，关键是寻找关于,, 的不等式，这就需要利用椭圆上的 点的横、纵坐标以及角的取值范围、判别式、基本不等式等来构建不等式，从而求 出 的取值范围. 61 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·四川省德阳市期中)若椭圆上存在一点 到其左、右 焦点的距离之比为3，则椭圆 的离心率的最小值为_ _. 【解析】记左、右焦点分别为，，由题意得 ， 由椭圆的定义知 ， 所以, ， 椭圆上任意一点到焦点的距离的取值范围是 , 所以，解得 . 又，所以 ， 所以椭圆的离心率的最小值为 . 62 题型2 椭圆的简单几何性质的应用 1 由椭圆的简单几何性质求椭圆方程 例17 (2026·北京市日坛中学测试)根据下列条件求椭圆的标准方程. （1）焦点在轴上，过点，离心率 ； 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以可设其标准方程为 ， 因为椭圆过点，离心率 ， 所以解得, ， 故椭圆的标准方程为 . 63 （2）短轴长为2，离心率 ； 【解析】由题意知, ， 解得, ， 故当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为 ； 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为 . 故椭圆的标准方程为或 . 64 （3）求经过点,且与椭圆 有相同离心率的椭圆的标准方程. 【解析】由题意知，可设所求椭圆方程为 或 , （离心率，因此两个椭圆无论焦点在轴上还是在 轴上， 只要 （或 ）相等，它们的离心率就相等） 将点的坐标代入可得或 ， 解得, ， 故或 ， 即所求椭圆的标准方程为或 . . . . . 65 名师点评 与椭圆 有相同离心率的椭圆方程为 ，焦点在轴上或,焦点在轴上 . 66 根据椭圆的几何性质确定椭圆标准方程的基本思路 （1）确定焦点所在的坐标轴，从而确定椭圆标准方程的形式； （2）由所给的几何性质充分挖掘,,所满足的关系式，建立关于,, 的关系式或 方程（组）解出, 的值； （3）写出椭圆的标准方程. 67 【学会了吗丨变式题】 3.焦点在 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方 程是( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意知，椭圆的焦点在轴上，设其方程为 . 若右焦点到短轴端点的距离为2， 则，即，则 ， 又右焦点到左顶点的距离为3， 则，即，则 . 故椭圆的标准方程为 ． 68 4.(2026·江苏省淮阴中学月考)已知椭圆的两个焦点分别为, ，且与椭 圆有共同的离心率，求椭圆 的标准方程. 【解析】 椭圆的离心率 . 对于椭圆，因为焦点为和，所以焦距 ， 所以 . 又椭圆的离心率，所以，故 ， 所以 ， 所以椭圆的标准方程为 . 69 由题意得椭圆的焦点在 轴上， 所以设椭圆的方程为 ， 所以，即 ， 又，所以 ， 所以椭圆的标准方程为 . 70 2 利用椭圆的几何性质求值 例18 (2026·江西省新余市期中)已知点为椭圆上一个动点，点 的坐 标为，则 的最小值为___. 2 思路点拨 设的坐标为,根据已知条件及两点间的距离公式， 可以表示为 关于变量的函数，结合椭圆方程中 的取值范围即可求解. 71 【解析】 设点的坐标为 ， 则 , 因为点为椭圆 上一点， 所以, ,（与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时， 一定要注意函数的定义域） 则 , 因为,所以当时，取最小值， . . . 72 将椭圆方程化为标准形式得,所以设点 的坐标为 ,（求椭圆最值问题的另一个思路是利用椭圆的参数方程，转化为 三角函数的最值问题） 则 , 又,故当时， 取得最小值，最小值为2. . . 73 例19 (2026·江西省萍乡市上栗中学月考)如图3.1.2-12所示，椭圆 的左焦点为，，两点在椭圆上，且四边形 为菱形， 则该椭圆的离心率为________. 图3.1.2-12 74 图3.1.2-13 【解析】由四边形为菱形，得 轴，由椭圆的 对称性得点,关于轴对称，连接，故 , 如图3.1.2-13. 设椭圆半焦距为，则 ， 因此是正三角形，即 ， 则点的坐标为 ， 因为点在椭圆上，所以 ， 所以，即 ， 整理得，而 ， 解得 ， 所以该椭圆的离心率为 . 75 1.研究椭圆的性质时，应先把椭圆方程化成标准方程，注意分清楚焦点所在的位置， 这样便于写出,的值，再根据求出 ，进而求出椭圆的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点的坐标等. 2.椭圆的对称性（椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形）是椭圆的几何性质中 较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解. 76 【学会了吗丨变式题】 图3.1.2-14 5.(2026· 黑龙江省实验中学月考)如图3.1.2-14，椭圆 的左、右焦点分别为,，过点, 分别作弦 ,.若，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 77 图D 3.1.2-1 【解析】设点关于原点的对称点为 ，由椭圆的对称性， 得点 在椭圆上，如图D 3.1.2-1， 由,互相平分于点，得四边形 为平行四边形， 则且 ， 又且，所以点与点 重合， 因此 ， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径 ， 最长弦长为长轴长 ， 椭圆的通径长为，长轴长为 ， 由知，线段 与椭圆长轴不重合， 所以 . 78 题型3 直线与椭圆的位置关系 1 直线与椭圆的位置关系的判断及求参问题 例20 已知直线，椭圆.试问当取何值时，直线 与椭圆 （1）有两个公共点？ 【解析】当，即 时，方程①有两个不相等的实数根.这时直线 与椭圆 有两个公共点. （2）有且只有一个公共点？ 【解析】当,即时，方程①有两个相等的实数根.这时直线与椭圆 有 且只有一个公共点. 79 （3）没有公共点？ 【解析】当，即或时，方程①没有实数根.这时直线 与椭圆 没有公共点. 【解析】直线的方程与椭圆的方程联立，得方程组消去 ,（也可消去 求解）得 ①. 方程①的根的判别式 . . . 80 例21 若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则实数 的取 值范围为______. 【解析】 直线过定点 ， 要使直线与该椭圆总有公共点，则点 必在椭圆内或椭圆上， 由此得解得 . 81 直线与椭圆的位置关系的判断 判断直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成 的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想的运用. 82 2 椭圆上的点到直线的距离 例22 ［教材改编P116 T13］已知椭圆，直线，则椭圆 上 的点到直线 的距离的最大值为_ ______. 【解析】画出椭圆和直线，如图3.1.2-15所示，由图易得直线与椭圆 不相交. 图3.1.2-15 83 取椭圆上任意一点，当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线 的距离取得最值. 设直线的方程为，与椭圆的方程联立，得消去 得 ， 令，解得 ， 由图可知，当时，点到直线 的距离最大， （当时，点到直线 的距离最小） 最大值为 . 84 3 求弦长——设而不求思想的妙用 母题 致经典·结构化试题 例23 [教材改编P114 T2](2026·天津市第三中学检测)已知斜率为2的直线经过椭圆 的右焦点，与椭圆相交于，两点，则弦 的长为____. 【解析】 直线过椭圆的右焦点 ,且斜率为2， 直线的方程为,即 . 85 由方程组 解得或 不妨设交点，， . . 设点, , 86 由方程组 消去，得，解得， . .（弦长公式） . . 设点,,由方程组消去 ，得 ,则由根与系数的关系得, , .（弦长公式） 设直线的倾斜角为 ,则，故 ， 直线过焦点，，， , 由焦点弦长公式得， . . . 88 母题探源 设而不求思想的妙用 所谓“设而不求”，就是根据需要将有关量（如点的坐标、直线的斜率或截距、椭圆 方程中的和 等）用字母参数“设”出来，但解题时，不需要求出所有的参数，只要 最终求出题目所需要的参数即可.例如本题中方法3虽设出了, 两点的坐标，但却未 求其具体值，充分体现了“设而不求”的魅力.接下来再讲一例来感受一下这个思路. 89 子题 情境转化 设,分别是椭圆的左、右焦点，过点 且斜率为1的直线 与相交于,两点，且 . （1）求 的离心率； 【解析】由椭圆的定义知，又 ，则 可得 . 易知直线的方程为，其中 . 90 设点，，则，两点的坐标满足方程组消去 ，整理 得，则， . 因为直线 的斜率为1， 所以，将, 的表达式代入并 化简得 , 即,故 ， 所以的离心率 . 91 （2）设点满足，求 的方程. 【解析】设线段的中点为，由（1）知 ， . 由知点在线段的垂直平分线上，则，即 ，把 ,代入，得，从而, . 故椭圆的方程为 . 92 （1） （2） 93 求弦长的两种方法 （1）求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； （2）结合根与系数的关系，利用弦长公式 或 求解. 94 【学会了吗丨变式题】 6.椭圆的离心率为,且椭圆与直线相交于， 两点， ，则椭圆的方程为_ __________. 【解析】,,即, 椭圆的方程可化为 ,与方程联立并消去,得 , 由方程根的判别式，得 . 设点,，则由根与系数的关系，得, . 由弦长公式得 ，即 ,解得 . 椭圆的方程为,即 . 95 4 中点弦问题（设而不求思想及点差法的 完美结合） 致敬经典 例24 (2026·北京市第二中学期中)已知椭圆的弦的中点 的坐标为 ，则直线 的方程为_______________. 96 【解析】 易知直线的斜率 存在. 设所求直线的方程为 , 由消去 ，得 . 设点的坐标为,点的坐标为,则, 是上述方程的两根，于是 . 又为的中点， , 解得 . 故所求直线的方程为 . 97 由题意知，直线 的斜率存在.（用“点差法”求中点弦所在直线的方程的 前提是斜率存在） 设点的坐标为,点的坐标为 . 为的中点，, . 又,两点在椭圆上，则, , 两式相减，得 , 于是 . ,即 . 故所求直线的方程为 . . . 98 设所求直线与椭圆的一个交点为，由于弦的中点为 ， 则另一个交点为 . , 两点都在椭圆上， ,化简得 .（可类比求相交圆公共弦所在直线方程的方法来理解） 显然点的坐标满足这个方程，代入验证可知点 的坐标也满足这个方程，而过点 ，的直线只有一条，故所求直线的方程为 . . . 99 由垂径定理得为坐标原点）， ， ， 由点斜式方程得，即 . 100 解决椭圆的中点弦问题的三种方法 （1）方程组法 联立直线方程与椭圆方程，消去其中一个未知量后得到一个一元二次方程，利用根 与系数的关系及中点坐标公式求解. 101 （2）点差法 设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为 , ，将这两点的坐标代入椭圆的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率 有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的 方法为“点差法”,事实上就是椭圆的垂径定理. 利用，转化为中点与直线 的斜率之间 的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法. 102 （3）中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭 圆方程作差可得. 这三种方法中以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对 称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关. 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等. 103 【学会了吗丨变式题】 7.[教材改编P116 T14]已知椭圆 ，则斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程 为_______________________. 【解析】设斜率为2的直线与椭圆交于点,,弦 的中点 为，由点差法可知，直线的斜率 ，即 . 又椭圆的弦的中点只能在椭圆内,（勿忽略限制条件） ，解得 . 所求的轨迹方程为 . . . 104 题型4 椭圆的最值问题 例25 (2026·天津市第四十七中学期中)已知椭圆 ，其短轴 长为2且离心率为，在椭圆上任取一点，过点作圆 的两 条切线，，切点分别为，，则 的最小值为( ) D A. B. C. D. 105 给什么得什么 已知椭圆短轴长和离心率，由，， 之间的关系求出椭圆方程； 由圆和椭圆方程可得出两图形的位置关系，然后作图，数形结合解 题. 求什么想什么 让求，而,为圆的两条切线，则， 为圆上的动点， 那么，， 都为动点，所以考虑将动点转化为定点，而圆心为定 点，所以将转化为关于 的关系式. 差什么找什么 问题转化为求关于 的关系式的最小值，可利用函数单调性求最 小值，那么需找到自变量的范围.而为椭圆上的点，将 转 化为关于或 的函数关系式，结合椭圆的有界性，利用函数单调性 求得的范围，然后即可求得 的最小值. 106 【解析】由题意得解得 所以椭圆的方程为 . 图3.1.2-16 由圆的方程可知圆的半径为1，圆心 ，如图3.1.2 -16所示. 连接,设 ，（和 为直角三角形）， 则 . . . 107 的范围未知，等号不一定取到） 设点的坐标为，则 , 又点在椭圆上，所以 , 所以 , 整理可得 . 又,所以 . （【另解】由图可直观看出点在椭圆上、下两顶点处 分别取最小值和最大值） 设，则 ， （【易错点】此处切勿直接利用基本不等式求解,因为 令（【知识回顾】对勾函数, , 在上单调递增），则在 上单 调递增， 所以时，最小，最小值为 ， 所以的最小值为 ． . . 例26 已知焦点在轴上的椭圆，离心率为，且过点 ，，不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于， 两点． （1）求椭圆 的标准方程； 【解析】由题意知，解得 故椭圆的标准方程为 . 110 （2）求三角形面积的最大值为坐标原点 ． 【解析】设，，联立方程得 化简得 ， 由，得，即 ， 由根与系数的关系得， ， 故 . . . 111 又，点到直线 的距离 ， 故 （一般选择弦所在边为底边） . 因为,所以 ， 故，即 . 故三角形 面积的最大值为1. . . 112 113 解决椭圆最值问题的三种基本方法 （1）定义法：利用定义转化为几何问题来处理. （2）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性 质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义， 并能借助相应曲线的定义及对称知识求解. （3）代入法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目 标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用的方法有配 方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 114 【学会了吗丨变式题】 8.[教材改编P115 T6](2026·江苏省启东中学月考)自19世纪之后，折纸艺术与自然科 学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的 数学之谜被解开，折纸发展成了现代几何学的一个分支.现有一张半径为 ， 圆心为的圆形纸片，在圆内选定一点且 .将圆形纸片翻折一角，使圆周正 好过点，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到,两点距离之和最小的点为 . 如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线，线段的中点为 ， 在上任取一点，则 的最小值是( ) A A. B. C. D. 115 图D 3.1.2-2 【解析】如图D 3.1.2-2所示，设折痕为直线，点与 关于 折痕对称（折痕两边图形对称），，在 上任取 一点 ， 由中垂线的性质可知： ， 当且仅当与 重合时取等号. 即折痕上到,两点距离之和最小的点为，且 （定值大于定长，椭圆定义）. 故的轨迹是以,为焦点，且长轴长为的椭圆，焦距， ， 故 . . . . . . . 116 图D 3.1.2-3 以,所在直线为轴，的中垂线为 轴建立直角坐标系， 如图D 3.1.2-3所示. 则曲线的方程为，则， ， 设，则 ， ， 则， ， 因此可得 ， ， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值 . 117 新考法 情境应用 图3.1.2-17 例27 新情境 航天科技 [多选题](2026·江苏省常州市期中) 神舟飞船是我国自行研制、具有完全自主知识产权、达到 或优于国际第三代载人飞船技术的空间载人飞船.神舟飞船 采用三舱一段结构，即由返回舱、轨道舱、推进舱和附加 段构成，返回舱是航天员返回地球的座舱，如图3.1.2-17 （1）,其轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲 圆”．如图3.1.2-17（2）,在平面直角坐标系中，半圆所在 BC A.椭圆的长轴长为 B.的周长为 C.线段长度的取值范围是 D.面积的最大值是 的圆的圆心在坐标原点，且过椭圆的焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合， 下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点 ， 则 ( ) 118 【解析】由题知，椭圆中的几何量，得，则， 错误； 由椭圆定义知，，的周长为， 正确; ，由椭圆性质可知 ， ， 正确； 记 ，则 （合理分割三角形） ， 当，且 时，，并且显然 ， 且 不能同时成立，错误.故选 ． . . 119 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 （1）椭圆离心率的考查,涉及椭圆的定义、标准方程等,解题时需要结合几何图形求 解，以选择、填空题为主，难度中等.（2）以椭圆为载体的解答题,多与向量等知识 综合,涉及的知识面广、题目综合性强、出题角度灵活,解题时应注重一元二次方程中 根的判别式、根与系数的关系的应用，特别要注意设而不求思想的运用，试题难度 较大. 核心素养：数学运算（求离心率、最值、解方程组等），直观想象（利用图形性质 解题），逻辑推理（证明定点、定值等）. 120 考向1 椭圆的离心率问题 例28 (2023· 新课标Ⅰ卷)设椭圆, 的离心率分 别为,，若，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由已知得, ， 因为，所以，得 . 121 例29 (2022·全国甲卷)椭圆的左顶点为,点，均在 上， 且关于轴对称.若直线,的斜率之积为,则 的离心率为( ) A A. B. C. D. 【解析】 设，则，易知 ，所以 （*）． 因为点在椭圆上，所以，得，代入，得 ， 结合，得，所以 ．故选A． 122 设椭圆的右顶点为，则直线与直线关于 轴对称，所以 ，所以 （椭圆的第三定义），所以 ． 故选A ． . . 123 考向2 椭圆几何性质的应用 例30 (2022·全国甲卷)已知椭圆的离心率为，， 分别 为的左、右顶点,为的上顶点．若，则 的方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】依题意得，, , 所以， ， ，故 ， 又的离心率 ， 所以，， , 即的方程为 . 124 考向3 直线与椭圆的综合问题 1 指向于焦点弦长 例31 (2025· 全国二卷)已知椭圆的离心率为 ,长轴长为4. （1）求 的方程. 【解析】由,得 . 由题意得 ， 则,又,所以 . 所以的方程为 . 125 （2）过点的直线与交于,两点,为坐标原点.若的面积为 ,求 . 【解析】由题意得 的斜率存在, 设，代入 ， 消去并化简得 ， 由，得 , 设,，则 ，解得 . 所以 . 126 2 指向于直线与椭圆的交点 例32 (2025·天津)已知椭圆的左焦点为，右顶点为， 为直 线上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为 . （1）求椭圆的方程； 【解析】的斜率为， ， ，得 , 又，,,则 ， 椭圆的方程为 . 127 （2）过点的直线与椭圆有唯一交点异于点，求证：平分 . 【解析】由（1）知,则直线的方程为,与联立得 , , 易知直线的斜率存在，设直线的方程为 ， 由得 , 直线 与椭圆仅有一个交点， 128 ,解得 , ,则, , 直线的斜率为 . ， ，即平分 . 129 3 指向于点到直线的距离 例33 (2023· 新课标Ⅱ卷)已知椭圆的左、右焦点分别为, ,直线 与交于,两点，若面积是面积的2倍，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 由题意，直线与椭圆交于两点，则由消去 得 , 由,得 . 因为,,面积是 面积的2倍， 所以点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，（以 为底边） 即，解得或 （舍去）. . . 130 由方法1可得 . 因为面积是面积的2倍，设为直线与轴交点，所以 . （由面积关系转化为与 的关系） 因为,, ， 所以 ， 解得或 （舍去）. 131 例34 (2024· 新课标Ⅰ卷)已知和为椭圆 上两点. （1）求 的离心率； 【解析】第1步：代入,坐标求解, 由题知解得 第2步：根据,,的关系求解，得出的离心率 ，的离心率 . 132 （2）若过的直线交于另一点，且的面积为9，求 的方程. 【解析】第1步：求解 ， 第2步：得出点到直线的距离 设点到直线的距离为，则的面积为,解得 . 133 第3步：求解点 坐标 易知直线，设 ， 则解得或 或 ， 第4步：求直线 的方程 故或 . 名师点评 注意到长度易知，由的面积求出点到直线 的距离，进而设出 点 坐标，并列方程组求解，可以有效降低运算难度. 134 4 指向于中点弦问题 例35 (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知直线与椭圆在第一象限交于,两点， 与轴、轴分别交于,两点，且,，则 的方程为________ ______________. 【解析】 （通解） 设直线的方程为 （直线与坐标 轴相交，设截距式方程更易解）， 分别令,,得点, . 设， . . . . . 135 因为，所以线段与线段有相同的中点，所以 即 因为，所以 . 将，代入椭圆方程，得 相减得 ， 由题意知,，所以 ， 136 即，整理得 ①. 又，所以由勾股定理，得，由①②并结合, ， 得所以直线的方程为，即 . （优解） 设直线的方程为，分别令, , 得点,.因为,所以线段与线段有相同的中点，设为 ， 则，则,为坐标原点 . 由椭圆的垂径定理知， ， 即，整理得 ,以下同通解. . . 138 5 指向于定点问题 例36 (2023·全国乙卷)已知椭圆的离心率为,点 在 上. （1）求 的方程； 【解析】因为点在 上， 所以，得 . 因为椭圆的离心率，所以 ， 又，所以， ， 故椭圆的方程为 . 139 （2）过点的直线交于，两点，直线,与轴的交点分别为, ，证 明：线段 的中点为定点. 【解析】第1步：设出直线方程和交点坐标，联立方程，写出根与系数的关系 由题意知，直线 的斜率存在且不为0， 设，， ， 由得 ，则 , 故， . 140 第2步：证明 为定值 直线，令，解得，同理得 ， 则 . 第3步：求出 的中点 所以的中点的纵坐标为，所以的中点为定点 . 141 6 指向于最值问题 例37 (2025· 全国一卷)已知椭圆的离心率为 ，下顶点 为，右顶点为, . （1）求 的方程. 【解析】由题意知，所以 ， 设,，则,所以 . 又 , 所以，所以的方程为 . 142 （2）已知动点不在轴上，点在射线上，且满足 . （ⅰ）设，求的坐标（用, 表示）； 【解析】设，由（1）知，又 ， 所以 ①. （【关键点】线段长度的乘积如何运用？若用两点间的距离公式，计算量很大，而 使用向量的数量积运算，将模长计算与坐标运算相结合，就比较方便了） 由，得 ②， 143 （共线这个条件用斜率转化较为简单，如果用向量，写起来就相对麻烦了） 由①②得， ， （将 作为整体代入消元，这样计算量会小很多） 故 . 144 （ⅱ）设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线 的斜率的3倍，求 的最大值. 【解析】由得 ， 得，即 . 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去与 轴相交的两点）. 145 （椭圆的参数方程） 因为在椭圆上，所以设 ,则 , 设 ,则 ， （利用换元转化为二次函数，借助二次函数求最值更加方便） 故当时,取得最大值，且 , 故的最大值为 . 设，则，且 , ，当且仅当时取等号,故 , 故 . 146 高考新题型专练 图3.1.2-18 1.新情境 蒙日圆 [多选题](2026·重庆市青木关中学校期中)“蒙 日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆 上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同中心的圆 上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”,如图3.1.2-18所示.已知长方形的 四条边均与椭圆 相切，则下列说法正确的是 ( ) ACD A.椭圆的离心率为 B.椭圆的“蒙日圆”方程为 C.椭圆的“蒙日圆”方程为 D.长方形的面积的最大值为18 147 【解析】易知,，则椭圆的离心率为 ，故A正确. 设两条互相垂直的切线的交点为 ， 当题设中的两条互相垂直的切线的斜率不存在或斜率为0时，可得点 的坐标是 或 . 当题设中的两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0时，点 的坐标满足 ，且 ， 可设曲线的过点的切线方程是 . 148 由得 ， 由，得 ， 因为，，为过点且互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于 的一元二次 方程的两个根， 所以 ， 又，所以 ， 即的“蒙日圆”方程为 ，故C正确，B错误. 149 图D 3.1.2-4 因为“蒙日圆”为长方形的外接圆，如图D 3.1.2-4，则外接 圆的半径，设 ， 则矩形的面积 ，又 的最 大值为1，即矩形为正方形时，矩形的面积取得最大值，为 ,D正确.故选 . 150 2.新考法 结构不良 在平面直角坐标系中：①已知点，直线 ， 动点满足到点的距离与到直线的距离之比为 ； ②已知点，分别在轴，轴上运动，且，动点满足 ； ③已知圆的方程为，直线为圆的切线，点， 到直 线的距离分别为，，动点满足， . 151 （1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点 的轨迹方程； 【答案】若选①，设 ，根据题意， ，整理得 ， 所以动点的轨迹方程为 . 若选②，设，， ， 则 . 因为，所以整理得 代入得 ， 152 所以动点的轨迹方程为 . 若选③，设，设直线与圆相切于点 ，则 ， 由椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以 ， ， 故，，，所以动点的轨迹方程为 . 153 （2）记（1）中动点的轨迹为，经过点的直线交于， 两点，若线段 的垂直平分线与轴相交于点，求点 的纵坐标的取值范围. 【答案】设，当的斜率不存在时，的垂直平分线为轴，即与 轴相交 于原点，所以 . 当的斜率存在时，设直线的方程为，， . 由消去整理得,因为 恒成 立，所以 . 154 设线段的中点坐标为，则 ， ， 则线段的垂直平分线的方程为 . 令，得 ， 当时，，当且仅当时取等号，所以 ； 当时，，当且仅当时取等号，所以 . 综上，的纵坐标的取值范围是[- ， . 155 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.已知椭圆的一个焦点为，则 的离心率为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为椭圆的一个焦点为，所以，所以 ，解得 ，所以椭圆的离心率 . 156 2.(2026·福建省宁德市期末)椭圆的两个焦点为，,过点作垂直于 轴 的直线与椭圆相交，一个交点为，则 为( ) C A. B. C. D.4 【解析】由椭圆定义知,又 （通径长度的一半）, . . 157 3.(2026·浙江省杭州市期中)椭圆上的点到直线 的距离 的最小值为( ) B A. B. C. D. 【解析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为 ， 联立方程 消去，整理得 ， 所以，解得 ， 当时，两平行直线的距离为 ， 当时，两平行直线的距离为 . 所以最小值为 . 158 4.[多选题](2026·吉林省四平市第一高级中学期中)已知椭圆，， 分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆上任意一点，下列说法中正确的是( ) AC A.椭圆离心率为 B. 的最大值为4 C. D. 【解析】由题意得，，则，椭圆的离心率 ， A正确； 由椭圆的几何性质，当点为椭圆的右顶点时，可得 ，B错误； 当点为椭圆的左、右顶点时，最小，且最小值为0，当点 为椭圆的上、下 顶点时，最大，此时， 为等边三角形，则 ，根据椭圆的几何性质，得 ，C正确； 由椭圆的定义，得，D错误．故选 ． 159 5.已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于， 两点， 若 是等边三角形，则这个椭圆的离心率是_ __. 【解析】 （通解） 根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的方程为 ，左、右焦点坐标分别为，.依题意得点 的 坐标为，则点的坐标为， . 由是等边三角形得，即 . 又，，两边同时除以 ，得 ，即，解得或 （舍去）， 故该椭圆的离心率为 . 160 图D 3.1.2-1 （秒解）如图D 3.1.2-1， 是正三角形， ， 直线 与椭圆长轴垂直， , . 故 ． 161 6.新定义 西瓜椭圆(2026·广东省中山市期中)定义离心率 的椭圆为“西瓜椭圆”. 已知椭圆是“西瓜椭圆”，则 ___. 若“西瓜椭圆” 的左焦点为，直线与椭圆交于， 两点，以线段 为直径的圆过点，则 ____. 【解析】椭圆是“西瓜椭圆”， 离心率 ， 解得 . 162 图D 3.1.2-2 如图D 3.1.2-2， 设，， , 由消去并整理得 . , ， ,，以线段 为直径的圆过 点，则， ， 即， ， ，，又 ， 代入上式并化简得，解得 . 163 7.已知椭圆及直线 . 【答案】由方程组 消去并整理得 ①. （1）当直线与椭圆有公共点时，求实数 的取值范围； 【答案】因为直线与椭圆有公共点，所以方程①的根的判别式 ，解得 . 故实数的取值范围是[-, . 164 （2）求直线被椭圆截得的最长弦的长度. 【答案】设直线与椭圆的交点为, ,由根与系数的关系，得 , , 则弦长 ， 故当时，取得最大值 ， 即直线被椭圆截得的最长弦的长度为 . 165 8.已知椭圆的离心率，且椭圆过点 ． （1）求椭圆 的方程； 【答案】， ， , 焦点在 轴上， 又椭圆过点， ， ， ． 故所求椭圆的方程为 . 166 （2）直线的斜率为，且直线与椭圆交于，两点，已知，求 面积 的最大值． 【答案】设的方程为,点， ， 联立得整理得 ． ,解得 . , ， ． 167 点到直线的距离 ． ， 当且仅当，即时,取得最大值， 面积的最大值为2． 168 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.(2026·山东省青岛市期中)已知,分别为椭圆 的左、右焦 点，若椭圆上存在四个不同的点满足的面积为，则椭圆 的离心率的 取值范围为( ) D A. B. C. D. 169 【解析】由题意知,若椭圆上存在四个不同的点满足的面积为 ， 则（点位于短轴端点时，面积最大），即 ，则 , 又,则 , 又,则，即的取值范围为 ,故选D. . . . . 170 10.[多选题]已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，， 分别为椭圆的左、右焦点，点， 为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是 ( ) BCD A. B.若直线交椭圆于，两点，且为中点，则直线的方程为 C.内切圆面积的最大值为 D. 的最小值为7 171 【解析】由题意可知，，， ，故椭圆方程为 . 因为，且 ，所以 ，故A错误； 设，，若为中点，则因为， 在椭圆 上，所以两式相减得 ，整理得 ，即 ，（也可以直接用垂径定理, ,,则）所以直线的方程为 ， 即 ，故B正确； . . 172 由题意知,，，设的内切圆半径为 ,则 ，可得，当点 为短轴顶点 时，的面积取到最大值,为，可得 的内切圆半 径的最大值为，所以内切圆面积的最大值为 ，故C 正确； 因为，所以 ，可得 ，当且仅当在线段 上时，等号 成立，所以的最小值为7，故D正确．故选 ． 173 11.新定义 黄金椭圆[多选题](2026·山东省青岛第三十九中学期中)我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”.如图3.1.2-1所示，已知椭圆，, , ,为顶点，,为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 为“黄金椭圆”的 有( ) 图3.1.2-1 BD A. B. C.轴，且 D.四边形的内切圆过焦点, 174 【解析】 椭圆,,,, , , . 对于A,若,则,即, ，不满足 条件，故A不符合题意； 对于B，若 ,则,即 , 整理得,,解得或 （舍去），故B符 合题意； 175 对于C,若轴，且,,,，化简得 , 又,,则 ，故C不符合题意； 对于D，若四边形的内切圆过焦点,，则其半径为， 由等面积法得 ,（ ） 两边平方并整理得，,，解得 （舍去） 或,则，故D符合题意.故选 . . . 176 12.(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆,的上顶点为 ,两个焦点 为,,离心率为.过且垂直于的直线与交于,两点，,则 的 周长是____. 13 【解析】 如图D 3.1.2-3，连接，， ， 图D 3.1.2-3 因为的离心率为 ， 177 所以，所以，所以 . 因为，所以 为等边三角形， 又，所以直线为线段 的垂直平分线， 所以,，且 ， 所以直线的方程为 ， 代入椭圆的方程，得 . . . 178 设， ， 则, ， 所以 ， 解得，所以，所以的周长为 （,再应用椭圆定义） . . . 179 因为，所以, ， 因为的上顶点为，两个焦点为，，连接 , 所以 为等边三角形， 记直线的倾斜角为 ，易知 . 因为过且垂直于的直线与交于， 两点， 所以, ，由焦点弦长公式， 可知，得 ， 因为为线段的垂直平分线，连接,,根据对称性，可得 ， ， 所以的周长等于 的周长， 所以的周长为 ． 180 13.(2024·全国甲卷)已知椭圆的右焦点为，点在 上， 且 轴. （1）求 的方程; 【答案】 （直接法） 由题意知得 所以椭圆的方程为 . 181 （巧用椭圆的定义） 设为的左焦点，连接 , 则, , 在中， , 由椭圆的定义知， , 所以, ， 又，所以 ， 所以椭圆的方程为 . 182 （2）过点的直线交于，两点，为线段的中点，直线交直线 于 点,证明: 轴. 图D 3.1.2-4 【答案】直线的斜率必定存在，设 ， ， ，如图D 3.1.2-4所示. 由 可得 ， 故 ， 又, ， 183 而，故直线 ， 因为,所以 ， 所以 ， 故，即 轴. 184 C 培优练丨能力提升 14.(2026·湖南省长沙市雅礼中学期中)已知椭圆的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， . （1）求 的方程； 【答案】 椭圆左、右焦点分别为，， ， 又椭圆的离心率为，,得, ， 椭圆方程为 . 185 （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与 恰有一个公共点； 【答案】由，得直线斜率为，中点坐标为 ， 线段的垂直平分线方程为 ， 联立垂直平分线方程和椭圆方程得，解得 ， . ，所以直线与椭圆相切， 线段的垂直平分线与恰有一个公共点 . 186 （3）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与 恰有一个公共点，证 明 的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【答案】 设 ， 当时，的垂直平分线方程为 ， 此时,即或 满足题意； 当时， 的垂直平分线方程为 ， 187 由得， 即 . 线段的垂直平分线与 恰有一个公共点，故 ， 即 ， 188 则 ， 即 ， ， 即 ， , ， ， 也满足该式， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即 . 189 设线段的垂直平分线与恰有一个公共点为 ， 图D 3.1.2-5 则当点不在长轴时，线段的垂直平分线为 的平 分线，作的平分线 ，如图D 3.1.2-5，根据椭圆的 光学性质（从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后， 反射光线交于椭圆另一个焦点上）得 ， ，则 ， 故 ， ,, 三点共线， ， 点的轨迹是以 为圆心，4为半径的圆， 当在椭圆长轴上时，点为或 也满足 ， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为 . . . . . 190 $