3.4函数的应用（一）同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以分段函数、函数最值等模型为核心，通过基础理解、情境应用、综合优化三级分层设计，强化函数应用的建模能力与运算推理，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分段函数概念、简单函数模型|单选1-2（购物折扣、行程问题）考查分段函数解析式，填空题8-9（刹车距离、矩形面积）强化建模基础，培养抽象能力与模型意识| |中档|函数图像分析、最值应用|单选3-5（利润优化、票价图像、三角形内接矩形）、多选6-7（盈利图像、面积函数性质），融合几何直观与推理能力，提升应用意识| |提高|综合优化与决策问题|解答11-13（利润函数构建、投资分配、设备使用方案），需多步建模与运算，发展数学思维与跨情境解决问题能力|

2026~2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 3.4函数的应用（一）同步练习 一、单选题 1．某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 2．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 3．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 4．某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 5．如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（    ） A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 7．如图，在中，，，、是边、上的动点，点、均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则下列结论正确的是（   ） A．的面积为 B． C．在定义域内先增后减 D．当取最大值时， 三、填空题 8．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 9．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为________（围墙厚度不计）． 10．随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 四、解答题 11．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 12．某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 13．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式； (2)结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 解析：设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 2．B 解析：∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 3．D 解析：依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 4．D 解析：依题意可得：  ，做出图象，选D. 5．D 解析：设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 6．BC 解析：由图（1）可设关于的函数为，，，为票价， 当时，，则为固定成本； 由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确； 由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误； 7．AC 解析：对于A选项，取的中点，连接，则，且， 所以的面积为，A对； 对于BCD选项，过作，垂足为，设与交于点， 由等面积法可得，则. 由，得， 则， 所以， 则，则在上单调递增，在上单调递减，B错C对， 当取最大值时，，， 此时，D错. 8．公里小时 解析：若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 9．2500 解析：设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为， 故矩形面积， 所以当时，，即最大面积是． 故答案为：2500． 10． 解析：由题意，水果每斤的平均价格为， 因为随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 11．(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 解析：（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 12．(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 解析：（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 13．(1) (2) 方案一：因为， 所以当时，总盈利额的最大值为万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 方案二：由年平均盈利额为： ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元， 此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 综上，两种方案获利都是110万元， 但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理. 1 学科网（北京）股份有限公司 $