3.4函数的应用(一)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习按A级基础（8题）、B级拔高（5题）分层，以函数建模为主线，从单一实际问题到复杂情境综合应用，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|函数模型建立（几何、利润）、定义域、分段函数基础|选择/填空/解答结合，如矩形面积最值（题1）、利润计算（题2），夯实建模基础| |B级|函数图像分析、复杂分段函数、综合应用|多选题（题9）、运动轨迹面积（题10）、含参数实际问题（题12），提升综合思维能力|

3.4　函数的应用(一) A级 基础练习 1.用一段长为50 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙a长25 m.当围成的矩形菜园ABCD的面积最大时,这个矩形菜园ABCD的宽(矩形的较短边)为(　　) A. B. C.10 D.15 2.(2026北京期中)若商品进价每件8元,当售价为10元/件时,一个月能卖出100件,通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高,则应将每件商品定价为(　　) A.14元 B.15元 C.16元 D.17元 3.已知等腰三角形的周长为40 cm,底边长y(单位:cm)是腰长x(单位:cm)的函数,则函数的定义域为 (　　) A.(10,20) B.(0,10) C.(5,10) D.[5,10) 4.异速生长规律描述生物的体重与其他生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示.比如,某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα,其中k和α为常数,该类动物某一个体在生长发育过程中,其体重增长到初始状态的16倍时,其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍,则α为(　　) A. B. C. D. 5.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是(　　) A.出租车行驶2 km,乘客需付费8元 B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元 C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km 6.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加1单位,成本增加1万元,又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)=4Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是　　　　　万元,这时产品的生产数量为　　　　　.(总利润=总收入-成本)  7.(2026海南琼中月考)随着市场需求和消费习惯的转变,摆摊创业正吸引着越来越多创业者.小李打算批发某种水果摆摊售卖,设他进货总费用f(x)(单位:元)与进货量x(单位:千克)之间的关系为f(x)=(a为常数),若满足“随着进货量的增大,水果每千克的平均价格逐渐减小”,则实数a的取值范围为　　　　　.  8.某公司生产一类电子芯片,且该芯片的年产量不超过35万件,每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分,其中固定成本为30万元/年,每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)(单位:万元),当年产量不超过14万件时,f(x)=x2+4x;当年产量超过14万件时,f(x)=17x+-80.假设该公司每年生产的芯片都能够销售完. (1)写出年利润g(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)如果你作为公司的决策人,为使公司获得的年利润最大,每年应生产多少万件该芯片? B级 拔高提升 9.(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位:km)与时间x(单位:min)的关系,下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到公园的时间是30 min B.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 C.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=x D.当30≤x≤60时,y与x的关系式为y=x-2 10.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A—B—C—M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是(　　) 11.某山区盛产苹果、梨子、猕猴桃,并对生产的水果进行线上销售,销售方案如下:若一次购买水果总价不低于200元,则顾客少付款m元,每次订单付款成功后,农民会收到支付款的80%.在销售活动中,为了使得农民收入不低于总价的70%,则m的最大值为　　　　　.  12.某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1 196万元;当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2 960万元. (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式. (2)当年产量为多少万部时,公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 13．某市经测算2025年6月每日处理厨余垃圾的成本P(元)与日处理量x(吨)之间的函数解析式可近似地表示为P＝且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值为100元的化工产品的收益． (1)设纯收益为y元，写出函数y＝f(x)的解析式；(纯收益＝总收益－成本) (2)该公司每日处理厨余垃圾多少吨时，获得日纯收益最大？ 参考答案 1.B　设矩形的不靠墙对边长为x米,矩形的面积为S,则由题意可得矩形靠墙边的长为50-2x,则0<x<25,所以矩形的面积为S=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5.因为0<x<25,所以当x=时,矩形面积取得最大值,故选B. 2.A　设销售定价为a元,则每件商品提高了(a-10)元,销售件数减少10(a-10),一个月能卖出的件数是[100-10(a-10)],每件商品的利润是(a-8)元,则一个月的利润y=(a-8)[100-10(a-10)]=-10a2+280a-1 600, 所以当a=14时,y取得最大值.故选A. 3.A　由题设有y=40-2x, 由得10<x<20,故选A. 4.D　设初始状态为(x1,y1),则x2=16x1,y2=8y1, 又y1=k,y2=k,即8y1=k(16x1)α=k·16α,16α=8,24α=23,4α=3,α=.故选D. 5.BCD　在A中,出租车行驶2 km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,A错误;在B中,出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;在C中,乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确. 6.250　300　由题意可得L(Q)=4Q-Q2-(200+Q)=-(Q-300)2+250,则当Q=300时,总利润L(Q)取得最大值250万元. 7.(4,6]　由题意得,水果每千克的平均价格为g(x)=即g(x)= 因为随着进货量的增大,水果每千克的平均价格逐渐减小,所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递减, 所以解得4<a≤6, 则实数a的取值范围为(4,6]. 8.解(1)根据题意,得当0≤x≤14时,g(x)=16x-f(x)-30=-x2+12x-30,当14<x≤35时,g(x)=16x-f(x)-30=50-x-, 故g(x)= (2)当0≤x≤14时,g(x)=-x2+12x-30,且当0≤x≤9时,g(x)单调递增,当9<x≤14时,g(x)单调递减, 此时g(x)max=g(9)=-×81+12×9-30=24. 当14<x≤35时,g(x)=50-x-≤50-2=10,当且仅当x=20时,等号成立. 因为24>10,故当x=9时,g(x)取得最大值24,即为使公司获得的年利润最大,每年应生产9万件该芯片. 9.ABC　由题中图象知,A正确;甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,B正确;当0≤x≤30时,设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=,C正确;当30≤x≤40时,题中图象是平行于x轴的线段,D错误. 10.A　依题意,当0<x≤1时,S△APM=×1×x=x;当1<x≤2时,S△APM=S梯形ABCM-S△ABP-S△PCM=×(1+)×1-×1×(x-1)-×(2-x)=-x+; 当2<x≤时,S△APM=S梯形ABCM-S梯形ABCP=×(1+)×1-×(1+x-2)×1=x+=-x+. ∴y=f(x)= 再结合题图知应选A. 11.25　设每笔订单的总价为x元,根据题意有(x-m)×80%≥x×70%,即m≤恒成立,由题意得x≥200,所以=25,所以m≤25,所以m的最大值为25. 12.解 (1)因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1 196万元, 所以(a-4×8)×8-20-8×16=1 196,解得a=200. 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2 960万元, 所以()×20-20-20×16=2 960,解得b=40 000. 当0<x≤10时,W=xR(x)-(16x+20)=x(200-4x)-(16x+20)=-4x2+184x-20; 当x>10时,W=xR(x)-(16x+20)=x()-(16x+20)=--16x+5 280. 综上,W= (2)当0<x≤10时,W=-4(x-23)2+2 096单调递增,所以当x=10时,Wmax=1 420; 当x>10时,W=--16x+5 280, 由于+16x≥2=1 600, 当且仅当=16x,即x=50>10时,等号成立, 所以此时W的最大值为3 680. 综上,当x=50时,W取得最大值为3 680万元. 13．　(1)由题意可得f(x)＝100x－P ＝ ＝ (2)当0≤x≤20时，f(x)＝60x单调递增， 可得f(x)的最大值为f(20)＝1 200； 当20＜x≤30时，f(x)＝－x2＋24x＋1 000 ＝－(x－24)2＋1 288， 当x＝24时，f(x)的最大值为1 288. 因为1 288＞1 200，所以该公司每日处理厨余垃圾24吨时，获得日纯收益最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $