5.3诱导公式(讲义)-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”规律及同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系），作为三角恒等变换的基础，帮助学生将任意角三角函数化为锐角三角函数，构建化简与求值的学习支架。 资料通过题型分类训练（含例题及变式）、分层巩固检测（基础与能力提升）及易错清单、方法总结设计，以“知一求二”等问题培养学生推理能力与应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第 17 讲 5.3 诱导公式 ▶ 预习目标 ● 1．掌握诱导公式的"奇变偶不变，符号看象限"规律，会化简任意角三角函数。 ● 2．会用同角基本关系 、 求值与化简。 ● 3．能利用诱导公式将任意角三角函数化为锐角三角函数。 ● 4．掌握由一个三角函数值求同角其他函数值的方法（注意象限决定符号）。 ▶ 知识回顾 已知锐角三角函数后，利用诱导公式可把任意角三角函数化为锐角三角函数。本讲系统整理诱导公式与同角关系两大工具，是后续学习三角恒等变换的基础。 ▶ 新知导图 诱导公式 奇变偶不变，符号看象限 同角关系 、 求值 知一求二（注意象限定符号） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 诱导公式 核心规律：把角写成 的奇数倍或偶数倍加 。"奇变偶不变"指 的奇数倍时正弦余弦互变、正切余切互变，偶数倍时函数名不变；"符号看象限"指把 视为锐角判断原角所在象限的符号。常用：、、、、。 ◆ 知识点 02 同角三角函数基本关系 （平方关系）；（商数关系，）。利用它们可由一个函数值求其余值，或统一化简。注意：给定的象限信息决定了根号前的正负号。 ◆ 理解提示 用诱导公式时先判断"变不变"，再定符号；求值时若给象限则符号唯一，未给象限常需分情况讨论。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 等于（ ） A． B． C． D． 【例 2】 已知 ， 在第一象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 已知 ， 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 化简 得（ ） A． B． C． D．无法确定 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 等于（ ） A． B． C． D． 2． 已知 ， 在第一象限，则 为（ ） A． B． C． D． 3． 等于（ ） A． B． C． D． 4． 已知 且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 或 5． 化简 得（ ） A． B． C． D． 6． 等于（ ） A． B． C． D． 7． 已知 ， 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 8． 等于（ ） A． B． C． D． 9． 若 ，则 可能值为（ ） A．仅 B．仅 C． D．不确定 10． 等于（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 ，且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 12． 函数 实际等于（ ） A． B． C． D． 13． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 14． 化简 得（ ） A． B． C． D． 15． 若 为第三象限角且 ，则 为（ ） A． B． C． D． ▶ 易错清单 ● 1．诱导公式"奇变偶不变，符号看象限"，先把 当锐角判断原角所在象限的符号。 ● 2．同角关系求值时注意象限决定符号；未给象限常需分情况讨论。 ● 3． 要求 ，即 。 ● 4．化简时优先考虑"齐次式"技巧：分子分母同除 转化为关于 的表达式。 ▶ 方法总结墙 （1）诱导：变名看奇偶倍，符号看象限。（2）同角：、 互化。（3）求值：知一求二，象限定号。（4）化简：齐次式转 ，非齐次用平方关系凑。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 17 讲 5.3 诱导公式 ▶ 预习目标 ● 1．掌握诱导公式的"奇变偶不变，符号看象限"规律，会化简任意角三角函数。 ● 2．会用同角基本关系 、 求值与化简。 ● 3．能利用诱导公式将任意角三角函数化为锐角三角函数。 ● 4．掌握由一个三角函数值求同角其他函数值的方法（注意象限决定符号）。 ▶ 知识回顾 已知锐角三角函数后，利用诱导公式可把任意角三角函数化为锐角三角函数。本讲系统整理诱导公式与同角关系两大工具，是后续学习三角恒等变换的基础。 ▶ 新知导图 诱导公式 奇变偶不变，符号看象限 同角关系 、 求值 知一求二（注意象限定符号） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 诱导公式 核心规律：把角写成 的奇数倍或偶数倍加 。"奇变偶不变"指 的奇数倍时正弦余弦互变、正切余切互变，偶数倍时函数名不变；"符号看象限"指把 视为锐角判断原角所在象限的符号。常用：、、、、。 ◆ 知识点 02 同角三角函数基本关系 （平方关系）；（商数关系，）。利用它们可由一个函数值求其余值，或统一化简。注意：给定的象限信息决定了根号前的正负号。 ◆ 理解提示 用诱导公式时先判断"变不变"，再定符号；求值时若给象限则符号唯一，未给象限常需分情况讨论。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 中 的系数为偶数（视作 ），函数名不变； 在第二象限正弦为正，故 。 【变式 1-1】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 在第三象限余弦为负，函数名不变，故 。 【变式 1-2】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 为 的奇数倍，正弦变余弦； 在第一象限正弦为正，故 。 【变式 1-3】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 为奇数倍，余弦变正弦； 在第二象限余弦为负，故 。 【例 2】 已知 ， 在第一象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 得 ；第一象限取正，故 。 【变式 2-1】 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由商数关系 。 【变式 2-2】 已知 ， 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；第二象限正弦为正，故 。 【变式 2-3】 化简 得（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】 B 【详解】 ，（），和为 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 正弦为奇函数，。 2． 已知 ， 在第一象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 第一象限 ，。 3． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 在第二象限余弦为负，函数名不变，故 。 4． 已知 且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】 A 【详解】 内 对应 （第一象限）； 舍去。选 A。 5． 化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 6． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 为 的奇数倍（3 倍），正弦变余弦； 在第三象限正弦为负，故 。 7． 已知 ， 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；第二象限取负，故 。 8． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 奇数倍余弦变正弦； 在第二象限余弦为负，故 。 9． 若 ，则 可能值为（ ） A．仅 B．仅 C． D．不确定 【答案】 C 【详解】 未指定象限，故 。 10． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 正切为奇函数，。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 ，且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 平方：，故 ，即 。 12． 函数 实际等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 （诱导公式，左加右减，奇数倍正弦变余弦，符号看象限取正）。 13． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 分子分母同除以 ：原式 。 14． 化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 ，，，。分子 ；分母 ；原式 。 15． 若 为第三象限角且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 第三象限 ，，。 ▶ 易错清单 ● 1．诱导公式"奇变偶不变，符号看象限"，先把 当锐角判断原角所在象限的符号。 ● 2．同角关系求值时注意象限决定符号；未给象限常需分情况讨论。 ● 3． 要求 ，即 。 ● 4．化简时优先考虑"齐次式"技巧：分子分母同除 转化为关于 的表达式。 ▶ 方法总结墙 （1）诱导：变名看奇偶倍，符号看象限。（2）同角：、 互化。（3）求值：知一求二，象限定号。（4）化简：齐次式转 ，非齐次用平方关系凑。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 17 讲 5.3 诱导公式 ▶ 预习目标 ● 1．掌握诱导公式的"奇变偶不变，符号看象限"规律，会化简任意角三角函数。 ● 2．会用同角基本关系 、 求值与化简。 ● 3．能利用诱导公式将任意角三角函数化为锐角三角函数。 ● 4．掌握由一个三角函数值求同角其他函数值的方法（注意象限决定符号）。 ▶ 知识回顾 已知锐角三角函数后，利用诱导公式可把任意角三角函数化为锐角三角函数。本讲系统整理诱导公式与同角关系两大工具，是后续学习三角恒等变换的基础。 ▶ 新知导图 诱导公式 奇变偶不变，符号看象限 同角关系 、 求值 知一求二（注意象限定符号） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 诱导公式 核心规律：把角写成 的奇数倍或偶数倍加 。"奇变偶不变"指 的奇数倍时正弦余弦互变、正切余切互变，偶数倍时函数名不变；"符号看象限"指把 视为锐角判断原角所在象限的符号。常用：、、、、。 ◆ 知识点 02 同角三角函数基本关系 （平方关系）；（商数关系，）。利用它们可由一个函数值求其余值，或统一化简。注意：给定的象限信息决定了根号前的正负号。 ◆ 理解提示 用诱导公式时先判断"变不变"，再定符号；求值时若给象限则符号唯一，未给象限常需分情况讨论。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 中 的系数为偶数（视作 ），函数名不变； 在第二象限正弦为正，故 。 【变式 1-1】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 在第三象限余弦为负，函数名不变，故 。 【变式 1-2】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 为 的奇数倍，正弦变余弦； 在第一象限正弦为正，故 。 【变式 1-3】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 为奇数倍，余弦变正弦； 在第二象限余弦为负，故 。 【例 2】 已知 ， 在第一象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 得 ；第一象限取正，故 。 【变式 2-1】 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由商数关系 。 【变式 2-2】 已知 ， 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；第二象限正弦为正，故 。 【变式 2-3】 化简 得（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】 B 【详解】 ，（），和为 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 正弦为奇函数，。 2． 已知 ， 在第一象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 第一象限 ，。 3． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 在第二象限余弦为负，函数名不变，故 。 4． 已知 且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】 A 【详解】 内 对应 （第一象限）； 舍去。选 A。 5． 化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 6． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 为 的奇数倍（3 倍），正弦变余弦； 在第三象限正弦为负，故 。 7． 已知 ， 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；第二象限取负，故 。 8． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 奇数倍余弦变正弦； 在第二象限余弦为负，故 。 9． 若 ，则 可能值为（ ） A．仅 B．仅 C． D．不确定 【答案】 C 【详解】 未指定象限，故 。 10． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 正切为奇函数，。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 ，且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 平方：，故 ，即 。 12． 函数 实际等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 （诱导公式，左加右减，奇数倍正弦变余弦，符号看象限取正）。 13． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 分子分母同除以 ：原式 。 14． 化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 分子 ；分母 ；比值 。 15． 若 为第三象限角且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 第三象限 ，，。 ▶ 易错清单 ● 1．诱导公式"奇变偶不变，符号看象限"，先把 当锐角判断原角所在象限的符号。 ● 2．同角关系求值时注意象限决定符号；未给象限常需分情况讨论。 ● 3． 要求 ，即 。 ● 4．化简时优先考虑"齐次式"技巧：分子分母同除 转化为关于 的表达式。 ▶ 方法总结墙 （1）诱导：变名看奇偶倍，符号看象限。（2）同角：、 互化。（3）求值：知一求二，象限定号。（4）化简：齐次式转 ，非齐次用平方关系凑。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 17 讲 5.3 诱导公式 ▶ 预习目标 ● 1．掌握诱导公式的"奇变偶不变，符号看象限"规律，会化简任意角三角函数。 ● 2．会用同角基本关系 、 求值与化简。 ● 3．能利用诱导公式将任意角三角函数化为锐角三角函数。 ● 4．掌握由一个三角函数值求同角其他函数值的方法（注意象限决定符号）。 ▶ 知识回顾 已知锐角三角函数后，利用诱导公式可把任意角三角函数化为锐角三角函数。本讲系统整理诱导公式与同角关系两大工具，是后续学习三角恒等变换的基础。 ▶ 新知导图 诱导公式 奇变偶不变，符号看象限 同角关系 、 求值 知一求二（注意象限定符号） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 诱导公式 核心规律：把角写成 的奇数倍或偶数倍加 。"奇变偶不变"指 的奇数倍时正弦余弦互变、正切余切互变，偶数倍时函数名不变；"符号看象限"指把 视为锐角判断原角所在象限的符号。常用：、、、、。 ◆ 知识点 02 同角三角函数基本关系 （平方关系）；（商数关系，）。利用它们可由一个函数值求其余值，或统一化简。注意：给定的象限信息决定了根号前的正负号。 ◆ 理解提示 用诱导公式时先判断"变不变"，再定符号；求值时若给象限则符号唯一，未给象限常需分情况讨论。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 等于（ ） A． B． C． D． 【例 2】 已知 ， 在第一象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 已知 ， 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 化简 得（ ） A． B． C． D．无法确定 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 等于（ ） A． B． C． D． 2． 已知 ， 在第一象限，则 为（ ） A． B． C． D． 3． 等于（ ） A． B． C． D． 4． 已知 且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 或 5． 化简 得（ ） A． B． C． D． 6． 等于（ ） A． B． C． D． 7． 已知 ， 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 8． 等于（ ） A． B． C． D． 9． 若 ，则 可能值为（ ） A．仅 B．仅 C． D．不确定 10． 等于（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 ，且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 12． 函数 实际等于（ ） A． B． C． D． 13． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 14． 化简 得（ ） A． B． C． D． 15． 若 为第三象限角且 ，则 为（ ） A． B． C． D． ▶ 易错清单 ● 1．诱导公式"奇变偶不变，符号看象限"，先把 当锐角判断原角所在象限的符号。 ● 2．同角关系求值时注意象限决定符号；未给象限常需分情况讨论。 ● 3． 要求 ，即 。 ● 4．化简时优先考虑"齐次式"技巧：分子分母同除 转化为关于 的表达式。 ▶ 方法总结墙 （1）诱导：变名看奇偶倍，符号看象限。（2）同角：、 互化。（3）求值：知一求二，象限定号。（4）化简：齐次式转 ，非齐次用平方关系凑。 学科网（北京）股份有限公司 $