第16讲 诱导公式与三角函数图象性质（16典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学重难点复习讲义 （人教A版必修第一册）

本讲义聚焦诱导公式及三角函数图象性质核心知识点，系统梳理诱导公式（公式一至六及“奇变偶不变，符号看象限”口诀），衔接正弦、余弦、正切函数的图象（五点作图法）与性质（定义域、值域、单调性等），构建从基础公式到函数性质再到综合应用的学习支架。 该资料以16类题型分层训练为特色，结合6大易错点（如区间开闭、周期记忆）精准突破。通过典例与变式培养数学思维（整体换元分析复合函数），图象问题提升数学眼光（几何直观），助力教师系统授课，学生课后强化查漏补缺。

第16讲 诱导公式与三角函数图象性质（16典例精讲+课后作业） 【题型一】诱导公式 【题型九】余弦函数的单调性应用 【题型二】三角函数的化简、求值——诱导公式 【题型十】余弦函数的定义域、值域与最值 【题型三】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【题型十一】余弦函数的奇偶性 【题型四】利用正弦型函数的单调性求参数 【题型十二】余弦函数的周期性、对称性 【题型五】求含sinx(型)函数的值域和最值 【题型十三】求正切函数的单调性 【题型六】正弦函数的奇偶性 【题型十四】正切函数的奇偶性、周期性、对称性 【题型七】求正弦(型)函数的最小正周期 【题型十五】正切函数的定义域、值域与最值 【题型八】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 【题型十六】由图象确定正(余)弦型函数解析式 【知识点01】三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【知识点02】正弦、余弦函数图象与基础性质 1. 正弦函数 图象画法：五点作图法，关键点： 核心性质： 定义域：，值域：，最小正周期： 奇偶性：奇函数，图象关于原点中心对称 单调递增区间： 单调递减区间： 对称轴： 对称中心： 最值：时；时 2. 余弦函数 图象关系：由向左平移个单位得到 核心性质： 定义域：，值域：，最小正周期： 奇偶性：偶函数，图象关于轴对称 单调递增区间： 单调递减区间： 对称轴： 对称中心： 最值：时；时 【知识点03】正切函数图象与性质 图象特征：分段周期曲线，存在垂直渐近线 核心性质： 定义域： 值域：，最小正周期： 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称 单调递增区间： 对称中心： 特殊结论：无对称轴、无最值 【知识点04】正（余）弦型三角函数图象与性质 标准解析式：、 参数含义： 振幅：，决定最值范围 最小正周期： 图象变换方式：平移变换、伸缩变换（针对本身变换） 通用解题思路：将看作整体，套用基础正、余弦函数单调性、对称轴、最值公式求解。 易错点1：诱导公式口诀滥用 口诀仅适配结构；符号只看原函数、原象限，默认为锐角，是化简求值最易出错点。 易错点2：区间书写格式失分 正、余弦单调区间为闭区间；正切单调区间为开区间，端点不可取，混用符号直接扣分。 易错点3：周期记忆混淆 正余弦最小正周期，正切最小正周期；复合函数周期必须通过计算，不可默认。 易错点4：正切定义域遗漏 研究正切函数单调性、值域、奇偶性时，必须优先限定定义域，忽略间断点会导致解题错误。 易错点5：对称轴、对称中心记混 正弦对称轴在最值处、对称中心在零点；余弦对称中心在零点、对称轴在最值处，公式不可混淆。 易错点6：图象变换出错 左右平移、水平伸缩仅对自变量操作，不是对整体变换，是高频易错点。 【题型一】诱导公式 【典例1-1】（25-26高一下·辽宁·期中）＝（   ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】． 故选：C． 【典例1-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简可得结果. 【详解】， 故选：C． 【典例1-3】（25-26高一下·四川南充·阶段检测）___________． 【答案】/ 【详解】 【变式1-1】（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：__________. 【答案】1 【详解】. 【变式1-2】（25-26高一下·全国·课后作业）证明： ． 【答案】证明：左边 右边，所以原式成立． 【分析】根据诱导公式化简即可得证. 【详解】略 【变式1-3】（24-25高一下·陕西汉中·阶段检测）化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）根据诱导公式化简即可； （3）先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解. 【详解】（1）； （2） ； （3）由，得， 所以，又， 所以. 【题型二】三角函数的化简、求值——诱导公式 【典例2-1】（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，得到， 所以. 【变式2-1】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知，则_____. 【答案】 【分析】借助两角和与差的正弦、余弦公式及诱导公式计算即可得. 【详解】因为， 则 . 故答案为：. 【变式2-2】（多选）（25-26高一上·贵州铜仁·阶段检测）已知，下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的解析式,利用诱导公式化简即得. 【详解】由已知得： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：ABD. 【变式2-3】（25-26高一下·江西鹰潭·阶段检测）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）（2）利用三角函数定义及诱导公式可得. 【详解】（1）角的终边经过点，所以 ， 所以. （2）依题意， 【题型三】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【典例3-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）用“五点法”画函数的图象时，首先应描出五点的横坐标是（    ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】B 【分析】结合的五点坐标可以确定画函数图象时的五点横坐标. 【详解】所描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同，即0，，，，， 故选：B . 【典例3-2】（25-26高一下·辽宁锦州·阶段检测）函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出函数与在上的图象， 可知两个函数的图象在上有4个交点， 且从左至右的第1，4个交点，与第2，3个交点均关于点对称， 所以. 【典例3-3】（24-25高一下·北京海淀·期中）设点是函数图象与函数图象的交点，则点的坐标可以是______．（写出一个满足条件的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先解方程得，然后取，则，即可得满足条件的一个点坐标. 【详解】要求函数与的交点，即先解方程， 两边同时除以（），得，其解为， 取，则，此时， 因此，点的坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解. 【详解】由“五点法”作图知：令，，，，， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·广东肇庆·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象及性质，判断函数周期和单调性，求出结果即可. 【详解】画出图象，如下图所示， 可知函数最小正周期为且在区间上单调递减，所以A正确； 对于可知函数最小正周期为，所以B错误； 对于，可知函数在区间上单调递增，所以C错误； 画出图象，如下图所示， 可知函数在区间上单调递增，所以D错误； 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 【答案】/ 【详解】由题：， ，所以，， 所以， ． 【题型四】利用正弦型函数的单调性求参数 【典例4-1】（25-26高一下·河北承德·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得. 又解得，∴， ∴要使函数在区间上单调递增，则该区间必须是函数某个单调递增区间的子集， 则，， 解得， ∴的取值范围是. 【变式4-1】（25-26高一下·江西赣州·期中）已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题设，即在上单调递增， 所以，可得. 【变式4-2】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，求得的递减区间为，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得实数的取值范围. 【详解】因为函数， 令，可得， 即函数的单调递减区间为， 又因为函数在区间上单调递减，可得， 解得， 又由，可得，即且，所以， 令，可得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-3】已知函数，设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】由 时，，结合函数的单调性列出关于m的不等式，即可求出. 【详解】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型五】求含sinx(型)函数的值域和最值 【典例5-1】（2024·广东广州·模拟预测）的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用的性质，即可求出结果. 【详解】易知，当且仅当取等号，所以最大值是1. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一下·黑龙江·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将表达式平方并利用余弦函数值域即可求出函数的值域. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以，所以， 即函数的值域为. 故选：D. 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为______. 【答案】 【分析】将函数分离常数，根据正弦函数的有界性与不等式的性质求最值，或者是反解法利用正弦函数的有界性即可解决. 【详解】解法一：， 因为，所以， 因此或， 则或， 故的值域为. 解法二：由化简可得， 易知，所以， 则，解得或， 故的值域为. 【变式5-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知函数，求函数在区间上的最值． 【答案】最大值是，最小值是 【分析】利用正弦函数的性质，结合复合函数单调性得出在上的单调性求解. 【详解】因为正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，， 所以在时取最小值，在时取最大值1． 故在上的最大值是，最小值是． 【题型六】正弦函数的奇偶性 【典例6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象关于（    ） A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线对称 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性的定义可判断是奇函数，即可求解. 【详解】记，定义域为, 所以，所以是奇函数， 故图象关于原点对称， 故选：B 【变式6-1】（24-25高一上·安徽安庆·期末）“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据正弦函数的性质、奇函数的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，为奇函数，故充分性成立； 若为奇函数，又的定义域为，则， 验证适合题意，故必要性成立； 所以“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C. 【变式6-2】（多选）（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若为偶函数， 则，解得. 当时，；当时，． 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性． (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1)非奇非偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)奇函数 【分析】（1）根据定义域的对称性判断； （2）举反例即可； （3）根据奇函数的定义判断. 【详解】（1），，定义域不关于原点对称， 故，为非奇非偶函数． （2）的定义域为，定义域关于原点对称， ， ，． 所以为非奇非偶函数． （3）的定义域为，定义域关于原点对称， ， 为奇函数． 【题型七】求正弦(型)函数的最小正周期 【典例7-1】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知 画出函数图像如图所示，由图可知最小正周期为． 【变式7-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数，的周期_____________． 【答案】4 【分析】根据周期公式即可求解. 【详解】． 故答案为：4 【变式7-2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】结合三角函数的最小正周期公式即可求解． 【详解】正弦函数的最小正周期为，若周期为， 则，解得． 故选：CD． 【变式7-3】（25-26高一下·全国·课后作业）求下列函数的周期： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦函数的周期公式计算即可. （2）根据正弦函数的图象求解即可. 【详解】（1）的周期为． （2）作出的图象． 所以该函数的最小正周期为． 【题型八】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 【典例8-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质，应用整体法求对称中心即可. 【详解】令，，解得，， 所以的对称中心为， 故选：D． 【变式8-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．直线是函数图象的对称轴 B．直线是函数图象的对称轴 C．点是函数图象的对称中心 D．点是函数图象的对称中心 【答案】A 【分析】运用将数值代入的方法，结合正弦函数的性质逐一验证即可. 【详解】对于A：将代入，得， 因此直线是函数图象的对称轴，故A正确； 对于B：将代入，得， 故直线不是函数图象的对称轴，故B错误； 对于C：将代入，得， 故点不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D：将代入，得，故D错误.故选：A. 【变式8-2】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的对称中心坐标是______，对称轴方程为______． 【答案】 【详解】令，则． 对称中心为． 令，则． 对称轴方程为． 【变式8-3】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数 (1)求函数的最大值及相应的x 值集合； (2)求函数的图象的对称轴与对称中心. 【答案】(1)最大值为，集合为 (2)对称轴为，；对称中心为， 【分析】（1）利用正弦函数的性质求出最大值即可. （2）利用正弦函数的对称轴和对称中心即可求出的对称轴与对称中心. 【详解】（1）当时，，， 即，，此时函数取得最大值为. 故的最大值为，使函数取得最大值的的集合为. （2）由，，得，， 即函数的图象的对称轴为，. 由，，得，， 即对称中心为，. 【题型九】余弦函数的单调性应用 【典例9-1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而得到，结合单调性可得，再解不等式即可． 【详解】解：， ，， ， 又函数（）在区间上单调递增， ，解得． 【变式9-1】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的单调递减区间是_____________． 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调区间及复合函数单调性法则可得. 【详解】令，则. 因为是减函数，所以函数的单调递减区间, 即为函数的单调递增区间，即． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数在上单调递减，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据x的范围，可得的范围，根据余弦函数的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 因为在上单调递减， 所以，解得，故的最大值为. 【变式9-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】先判断函数的图象可由余弦函数的图象向下平移4个单位得到，则可得余弦函数的单调区间即所求函数的对应单调区间. 【详解】因函数的图象可由余弦函数的图象向下平移4个单位得到， 故其单调区间即的对应单调区间. 又的单调递增区间为，单调递减区间为， 则的单调递增区间为，单调递减区间为． 【题型十】余弦函数的定义域、值域与最值 【典例10-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求的范围，再根据余弦函数的性质求值域. 【详解】因为，所以，则， 故的值域为． 故选：C 【变式10-1】（25-26高一上·宁夏固原·期末）函数的定义域为_________________. 【答案】 【分析】由根式知，利用余弦函数性质解不等式求定义域范围即可. 【详解】令，得， 解得， 即， 故答案为：. 【变式10-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数在上的最大值为______，最小值为_______． 【答案】 1 / 【分析】结合余弦函数单调性确定极值点，计算极值点与区间端点的函数值，对比大小得到最值即可. 【详解】根据已知条件，在上单调递增，在上单调递减. 当时，；当时，；当时，. 所以，． 故答案为：1；. 【变式10-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值及值域. 【答案】最小值，最大值2，值域为. 【分析】先对函数化简变形，然后利用三角函数的有界性和函数的单调性可求出其最值. 【详解】解：， 令，则，， 因为函数在上是增函数， 所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值2， 即. 所以所求函数的值域为. 【题型十一】余弦函数的奇偶性 【典例11-1】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为奇函数，所以， 又，故. 【变式11-1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合指数幂的运算法则和余弦函数的奇偶性进行运算判断即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， 因为， 所以为奇函数. 故选：A 【变式11-2】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数是偶函数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，求得，进而得到答案. 【详解】由函数是偶函数，可得， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式11-3】已知函数，其中． (1)当a为何值时，为偶函数? (2)当a为何值时，为奇函数? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求得，根据，求得，结合偶函数的定义，即可求解； （2）由题意求得，根据，求得，结合奇函数的定义，即可求解； 【详解】（1）解：由函数， 可得，， 若是偶函数，则，即，可得， 当时，函数， 此时函数满足，函数为偶函数. （2）解：由，可得， 若是奇函数，则，可得， 当时，， 此时函数满足，函数为奇函数. 【题型十二】余弦函数的周期性、对称性 【典例12-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数，是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】C 【分析】由周期公式和奇偶性的定义即可判断. 【详解】由周期公式可得的最小正周期是， 又，是偶函数. 故选：C 【变式12-1】（24-25高一下·山东潍坊·期中）函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可. 【详解】令，则， 所以函数的图象的对称中心为，， 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心. 故选：C. 【变式12-2】（25-26高一上·广东·期末）已知函数的图象关于直线对称，若，则满足条件的所有的和为______． 【答案】 【分析】由题意结合余弦函数的对称性可得，再结合求解即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，则， 又，则或或或， 所以满足条件的所有的和为. 故答案为：. 【变式12-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的周期： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由周期公式直接计算即可； （2）由即可计算，结合图象验证结论. 【详解】（1）由周期公式得. （2）因为， 图象如下图所示， 所以函数的周期为. 【题型十三】求正切函数的单调性 【典例13-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） A．是增函数 B．在第一象限是增函数 C．在某一区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【答案】D 【分析】由正切函数的图象性质可得的递增区间为. 【详解】有无数个递增区间，无递减区间，且在整个定义域上不是增函数， 故选：D. 【变式13-1】（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 【变式13-2】（25-26高一下·陕西宝鸡·阶段检测）已知，则它们的大小关系为__________.（用“”连接） 【答案】 【分析】先比较三个自变量弧度值的大小，再利用正切函数在上的单调性，得到正切值的大小关系. 【详解】正切函数 在区间 上是单调递增函数. ，，因此 ， 所以，即 . 【变式13-3】（25-26高一下·全国·课后作业）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 利用正切函数的单调性和定义域可得不等式的解集； (2) 把作为整体，结合正切函数的单调性和定义域可得不等式的解集． 【详解】（1）作出函数，的图象，如图所示． 在内，满足的x的取值范围为，结合函数的周期性， 可知的解集为． （2）由，得，． 由，，，． 的解集为． 【题型十四】正切函数的奇偶性、周期性、对称性 【典例14-1】（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】由诱导公式进行化简，再利用函数解析式求解相应的性质. 【详解】由诱导公式得， 因为， 所以是奇函数，其最小正周期为. 故为最小正周期为的奇函数. 故选：C. 【变式14-1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切型函数的对称性得出，结合可得出的最小值. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 则，解得， 因为，故当时，取最小值. 【变式14-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 【变式14-3】（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数的最小正周期为． (1)求函数图象的对称中心； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期得到，再利用整体代换法求对称中心就可； （2）利用正切函数的性质解不等式即可. 【详解】（1），故，解得， 故． 由，得， 所以函数图象的对称中心为 （2），即，故， 则， 解得． 【题型十五】正切函数的定义域、值域与最值 【典例15-1】（25-26高一下·贵州遵义·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以的定义域为． 【变式15-1】（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， 所以函数，的值域为． 【变式15-2】（25-26高一下·全国·课后作业）函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 【分析】分析函数在区间上的单调性，即可求得该函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】，．在上为增函数， ，． 即函数在上的最大值为，最小值为. 故答案为：；. 【变式15-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2） 【分析】利用复合函数的定义域、值域的概念进行求解. 【详解】（1）由题意得，即， 在内，满足上述不等式的的取值范围是， 又的最小正周期为， 所以， 所以函数的定义域为. （2）令，，即， 又在上是增函数， 所以，即， 所以函数的值域为． 【题型十六】由图象确定正(余)弦型函数解析式 【典例16-1】的一段图象如图，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象可得,，从而可求，根据图象过及可求，从而可求解. 【详解】由图象可得,,所以. 又，解得. 因为，所以. 所以. 故选：B. 【变式16-1】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像得到，，计算排除得到答案. 【详解】根据图像知 选项：，排除； D选项： ，排除； 根据图像知 选项：，排除； 故选： 【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，计算特殊值可以快速排除选项，是解题的关键. 【变式16-2】（25-26高一下·上海黄浦·期中）函数的部分图象如图，则该函数的解析式为__________. 【答案】 【分析】直接由图象得到，由周期公式求得值，结合五点作图的第二点求． 【详解】由图可知，．． 由五点作图的第二点知，，即．． 【变式16-3】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求得周期以及，进一步由的图象经过点求得，再由的图象经过点求得即可得解； （2）由可得，再结合三角函数的性质即可得解； （3）由可得，结合题意列不等式即可求解. 【详解】（1）由图可知的最小正周期. 因为，且，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以由图可得， 所以. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，则. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在上的值域为. （3）因为，所以. 因为在上恰有3个零点，所以， 解得，即的取值范围为. 1. 诱导公式核心逻辑 奇变偶不变定函数名，符号看象限定正负，所有任意角三角函数均可转化为锐角三角函数计算。 2. 三大函数性质对比核心 正、余弦：周期、有最值、区间闭区间；正切：周期、无最值、定义域间断、单调区间开区间。 3. 图象解题通用模板 五点作图定简图、整体换元求单调/最值/对称轴、结合定义域锁定最终范围。 4. 培优提升关键 正余弦型复合函数，始终将视为整体，回归基础函数性质解题，规避复杂变形失误。 5. 应试避坑口诀 诱导看角看象限、区间开闭要分清、正切定义域优先、对称最值记位置、图象变换只变。 一、单选题 1．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由，即， 则. 2．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数定义域的求法可得答案. 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 3．（25-26高一上·云南楚雄·期末）下列区间中，函数是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦函数的性质，画出函数的部分图像，结合图像，即可求解. 【详解】当时，可得，所以； 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 画出函数的部分图像，如图所示， 结合图像，可得函数在区间上单调递增. 故选：A. 4．（25-26高一下·河南南阳·期末）已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知进行换元，令，再结合余弦函数图象求解即可. 【详解】因为，且， 令，则， 即在上有三个零点， 由余弦函数图象知，即， 解得. 二、多选题 5．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据诱导公式，逐项判断即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 6．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A．函数的图象与直线有个公共点 B．函数的图象与直线有个公共点 C．若函数的图象与直线（为常数）有个公共点，则 D．若函数的图象与直线（为常数）有两个公共点，则 【答案】BD 【分析】化简函数的解析式，作出在时的图象以及直线的图象，逐项判断即可. 【详解】因为，其中， 作出函数在时的图象以及直线的图象如下图所示： 对于A选项，由图可知函数的图象与直线没有公共点，A错； 对于B选项，函数的图象与直线有个公共点，B对； 对于C选项，若函数的图象与直线（为常数）有个公共点，则或，C错； 对于D选项，若函数的图象与直线（为常数）有两个公共点，则，D对. 故选：BD. 三、填空题 7．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】变形得到，结合函数单调性得到，根据端点的范围得到不等式，求出答案. 【详解】， ，，则， 因为在区间上单调递减， 所以，又，所以， 因为，所以，， 要想满足在区间上单调递减， 只需，解得，故. 8．（25-26高一下·安徽亳州·期末）已知函数，设为的最小正零点，b为的定义域之外的最小正数，且，则______. 【答案】/ 【分析】通过正切函数零点和无定义点条件，分情况写出的表达式，代入后，筛选出符合条件的解即可. 【详解】因为为的最小正零点，所以令，即， 当时，；当时，； 因为b为的定义域之外的最小正数，所以令，即， 当时，； 若，则； 若，则（舍去）. 综上所述，. 四、解答题 9．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且过点. (1)求，的值； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据周期求出，代入点坐标，结合求出即可. （2）利用整体换元，结合正弦函数图象即可求出值域. 【详解】（1）由题意得的最小正周期，解得， 由题知过点，故，可得， 结合，求得； （2）由（1）得，，可得， 根据正弦函数图象可知， 所以在上的值域为. 10．如图为函数的部分图像.    (1)求函数解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图像最值以及周期直接求解解析式即可； （2）根据，得到，再结合即可求解； （3）根据三角函数特点画出图像，根据数形结合的方法转化为图像交点个数即可求解. 【详解】（1）由图像可知，， 所以， 因为函数图像过点， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以函数解析式为 （2）因为， 所以 所以， 又因为，所以， 即的取值范围是 （3）令， 则，函数递增， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 作出在区间上的图像.    因为有两个零点， 即与有两个交点， 由图像可知，或. 即实数的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 诱导公式与三角函数图象性质（16典例精讲+课后作业） 【题型一】诱导公式 【题型九】余弦函数的单调性应用 【题型二】三角函数的化简、求值——诱导公式 【题型十】余弦函数的定义域、值域与最值 【题型三】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【题型十一】余弦函数的奇偶性 【题型四】利用正弦型函数的单调性求参数 【题型十二】余弦函数的周期性、对称性 【题型五】求含sinx(型)函数的值域和最值 【题型十三】求正切函数的单调性 【题型六】正弦函数的奇偶性 【题型十四】正切函数的奇偶性、周期性、对称性 【题型七】求正弦(型)函数的最小正周期 【题型十五】正切函数的定义域、值域与最值 【题型八】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 【题型十六】由图象确定正(余)弦型函数解析式 【知识点01】三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【知识点02】正弦、余弦函数图象与基础性质 1. 正弦函数 图象画法：五点作图法，关键点： 核心性质： 定义域：，值域：，最小正周期： 奇偶性：奇函数，图象关于原点中心对称 单调递增区间： 单调递减区间： 对称轴： 对称中心： 最值：时；时 2. 余弦函数 图象关系：由向左平移个单位得到 核心性质： 定义域：，值域：，最小正周期： 奇偶性：偶函数，图象关于轴对称 单调递增区间： 单调递减区间： 对称轴： 对称中心： 最值：时；时 【知识点03】正切函数图象与性质 图象特征：分段周期曲线，存在垂直渐近线 核心性质： 定义域： 值域：，最小正周期： 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称 单调递增区间： 对称中心： 特殊结论：无对称轴、无最值 【知识点04】正（余）弦型三角函数图象与性质 标准解析式：、 参数含义： 振幅：，决定最值范围 最小正周期： 图象变换方式：平移变换、伸缩变换（针对本身变换） 通用解题思路：将看作整体，套用基础正、余弦函数单调性、对称轴、最值公式求解。 易错点1：诱导公式口诀滥用 口诀仅适配结构；符号只看原函数、原象限，默认为锐角，是化简求值最易出错点。 易错点2：区间书写格式失分 正、余弦单调区间为闭区间；正切单调区间为开区间，端点不可取，混用符号直接扣分。 易错点3：周期记忆混淆 正余弦最小正周期，正切最小正周期；复合函数周期必须通过计算，不可默认。 易错点4：正切定义域遗漏 研究正切函数单调性、值域、奇偶性时，必须优先限定定义域，忽略间断点会导致解题错误。 易错点5：对称轴、对称中心记混 正弦对称轴在最值处、对称中心在零点；余弦对称中心在零点、对称轴在最值处，公式不可混淆。 易错点6：图象变换出错 左右平移、水平伸缩仅对自变量操作，不是对整体变换，是高频易错点。 【题型一】诱导公式 【典例1-1】（25-26高一下·辽宁·期中）＝（   ） A．－1 B． C． D．1 【典例1-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）的值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】（25-26高一下·四川南充·阶段检测）___________． 【变式1-1】（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：__________. 【变式1-2】（25-26高一下·全国·课后作业）证明： ． 【变式1-3】（24-25高一下·陕西汉中·阶段检测）化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 【题型二】三角函数的化简、求值——诱导公式 【典例2-1】（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知，则_____. 【变式2-2】（多选）（25-26高一上·贵州铜仁·阶段检测）已知，下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一下·江西鹰潭·阶段检测）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2)． 【题型三】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【典例3-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）用“五点法”画函数的图象时，首先应描出五点的横坐标是（    ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【典例3-2】（25-26高一下·辽宁锦州·阶段检测）函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-3】（24-25高一下·北京海淀·期中）设点是函数图象与函数图象的交点，则点的坐标可以是______．（写出一个满足条件的坐标即可） 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·广东肇庆·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 【题型四】利用正弦型函数的单调性求参数 【典例4-1】（25-26高一下·河北承德·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·江西赣州·期中）已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是______. 【变式4-2】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围为______. 【变式4-3】已知函数，设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； 【题型五】求含sinx(型)函数的值域和最值 【典例5-1】（2024·广东广州·模拟预测）的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一下·黑龙江·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为______. 【变式5-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知函数，求函数在区间上的最值． 【题型六】正弦函数的奇偶性 【典例6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象关于（    ） A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线对称 【变式6-1】（24-25高一上·安徽安庆·期末）“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（多选）（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性． (1)，； (2)； (3)． 【题型七】求正弦(型)函数的最小正周期 【典例7-1】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数，的周期_____________． 【变式7-2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一下·全国·课后作业）求下列函数的周期： (1)； (2)． 【题型八】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 【典例8-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．直线是函数图象的对称轴 B．直线是函数图象的对称轴 C．点是函数图象的对称中心 D．点是函数图象的对称中心 【变式8-2】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的对称中心坐标是______，对称轴方程为______． 【变式8-3】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数 (1)求函数的最大值及相应的x 值集合； (2)求函数的图象的对称轴与对称中心. 【题型九】余弦函数的单调性应用 【典例9-1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的单调递减区间是_____________． 【变式9-2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数在上单调递减，则的最大值为________． 【变式9-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【题型十】余弦函数的定义域、值域与最值 【典例10-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·宁夏固原·期末）函数的定义域为_________________. 【变式10-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数在上的最大值为______，最小值为_______． 【变式10-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值及值域. 【题型十一】余弦函数的奇偶性 【典例11-1】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式11-2】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数是偶函数，且，则的最小值为______. 【变式11-3】已知函数，其中． (1)当a为何值时，为偶函数? (2)当a为何值时，为奇函数? 【题型十二】余弦函数的周期性、对称性 【典例12-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数，是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 【变式12-1】（24-25高一下·山东潍坊·期中）函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高一上·广东·期末）已知函数的图象关于直线对称，若，则满足条件的所有的和为______． 【变式12-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的周期： (1)； (2). 【题型十三】求正切函数的单调性 【典例13-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） A．是增函数 B．在第一象限是增函数 C．在某一区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【变式13-1】（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高一下·陕西宝鸡·阶段检测）已知，则它们的大小关系为__________.（用“”连接） 【变式13-3】（25-26高一下·全国·课后作业）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【题型十四】正切函数的奇偶性、周期性、对称性 【典例14-1】（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【变式14-1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【变式14-3】（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数的最小正周期为． (1)求函数图象的对称中心； (2)解不等式：． 【题型十五】正切函数的定义域、值域与最值 【典例15-1】（25-26高一下·贵州遵义·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26高一下·全国·课后作业）函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 【变式15-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域． 【题型十六】由图象确定正(余)弦型函数解析式 【典例16-1】的一段图象如图，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式16-2】（25-26高一下·上海黄浦·期中）函数的部分图象如图，则该函数的解析式为__________. 【变式16-3】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在上恰有3个零点，求的取值范围. 1. 诱导公式核心逻辑 奇变偶不变定函数名，符号看象限定正负，所有任意角三角函数均可转化为锐角三角函数计算。 2. 三大函数性质对比核心 正、余弦：周期、有最值、区间闭区间；正切：周期、无最值、定义域间断、单调区间开区间。 3. 图象解题通用模板 五点作图定简图、整体换元求单调/最值/对称轴、结合定义域锁定最终范围。 4. 培优提升关键 正余弦型复合函数，始终将视为整体，回归基础函数性质解题，规避复杂变形失误。 5. 应试避坑口诀 诱导看角看象限、区间开闭要分清、正切定义域优先、对称最值记位置、图象变换只变。 一、单选题 1．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南楚雄·期末）下列区间中，函数是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河南南阳·期末）已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A．函数的图象与直线有个公共点 B．函数的图象与直线有个公共点 C．若函数的图象与直线（为常数）有个公共点，则 D．若函数的图象与直线（为常数）有两个公共点，则 三、填空题 7．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是__________. 8．（25-26高一下·安徽亳州·期末）已知函数，设为的最小正零点，b为的定义域之外的最小正数，且，则______. 四、解答题 9．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且过点. (1)求，的值； (2)求函数在上的值域. 10．如图为函数的部分图像.    (1)求函数解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $