5.4三角函数的图象与性质(讲义) -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角函数的图象与性质核心知识点，系统梳理五点法作图、周期性、奇偶性、单调性、最值与值域及对称性。通过回顾单位圆定义与诱导公式，将角与函数值对应画成图象，从图象出发构建研究三角函数性质的一般套路，为后续学习奠定基础。 资料以新知导图构建知识框架，题型分类训练覆盖10类核心题型，易错清单与方法总结墙针对性解决难点。如用整体代换法求单调区间培养数学思维，五点法作图训练几何直观，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生通过检测与总结查漏补缺，提升应用意识。

第 18 讲 5.4 三角函数的图象与性质 ▶ 预习目标 ● 1．会用"五点法"作出正弦函数、余弦函数在一个周期内的简图，能从图象读出定义域、值域与关键点的坐标。 ● 2．理解周期函数与最小正周期的概念，会用 求形如 、 的函数的周期，知道 的周期为 。 ● 3．掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性与单调性，会求函数的单调递增区间与递减区间。 ● 4．会求三角函数的最值与值域，掌握对称轴、对称中心的求法，能借助单调性比较三角函数值的大小并解简单的三角不等式。 ▶ 知识回顾 前面已经用单位圆定义了任意角的正弦、余弦、正切，并用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数来求值。但"函数值随角怎样变化"这一问题，只看孤立的数值并不直观。本讲把角作为横坐标、函数值作为纵坐标，把三角函数"画"成图象，再从图象出发系统地研究它的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值与对称性，形成研究三角函数的一般套路。 ▶ 新知导图 画图象 五点法：取 五个关键点 看整体 周期性：正弦、余弦周期 ，正切周期 看对称 奇偶性：正弦、正切为奇函数，余弦为偶函数 看升降 单调性：整体代换，先定区间再比大小 看高低 最值与值域：结合区间端点与最值点共同确定 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 正弦函数、余弦函数的图象（五点法） 在一个周期 上，正弦函数 的五个关键点是 、、、、；余弦函数 的五个关键点是 、、、、。描出这五个点并用光滑曲线连接，就得到相应函数在一个周期内的简图，再把这一段形状沿 轴左右重复即得整个定义域上的图象。 与 的定义域都是 ，值域都是 。 ◆ 理解提示 五点法取的是"零点与最值点"，因为这五个点最能刻画出曲线的形状。系数只改变纵向的伸缩： 的值域为 ，关键点横坐标不变。 ◆ 知识点 02 周期性 若存在非零常数 ，使得对定义域内任意 都有 ，则 为周期函数， 称为它的周期；所有正周期中最小的那个称为最小正周期。正弦函数 与余弦函数 的最小正周期都是 ；正切函数 的最小正周期是 。一般地， 与 （）的最小正周期为 ， 的最小正周期为 。 ◆ 理解提示 周期只由 的系数 决定，与振幅 和初相 无关。求周期时把 的系数提出来看成整体即可，不必展开括号。 ◆ 知识点 03 奇偶性与单调性 奇偶性：由诱导公式 、、 可知，正弦函数与正切函数是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，图象关于 轴对称。 单调性：正弦函数 在 （）上单调递增，在 （）上单调递减；余弦函数 在 （）上单调递增，在 （）上单调递减；正切函数 在每一个区间 （）上都单调递增。 ◆ 理解提示 求 的单调区间时，先把 看成一个整体 ，写出 的单调区间，再解关于 的不等式。注意 时不等号方向会改变，可先用诱导公式把 化为正数。 ◆ 知识点 04 最值、对称性与正切函数的性质 最值： 当 （）时取最大值 ，当 （）时取最小值 ； 当 （）时取最大值 ，当 （）时取最小值 。在给定闭区间上求值域时，要比较区间端点与区间内最值点两处的函数值。 对称性： 的对称轴为 （），对称中心为 （）； 的对称轴为 （），对称中心为 （）。 正切函数： 的定义域为 ，值域为 ，最小正周期为 ，是奇函数，在每一个区间 （）上单调递增。 ◆ 理解提示 不能说"正切函数在定义域内单调递增"，因为它的定义域被间断点分成了无穷多个互不相连的区间，只能说它在每一个这样的区间上单调递增。 ▶ 题型分类训练 ◆ 题型01 五点法作图与关键点识别 【例 1】 用五点法作 在 上的图象时，所取五个关键点的横坐标依次是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 五点法在一个周期 上取的是使函数取得最值与零值的五个点，对 而言横坐标依次为 ，对应纵坐标为 。故选 A。 【变式 1-1】 用五点法作 在 上的图象时，五个关键点的纵坐标依次是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 横坐标取 ，对应 ，，，，，故纵坐标依次为 。故选 C。 【变式 1-2】 用五点法作 在 上的图象时，五个关键点中纵坐标为 的点共有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 B 【详解】 五个关键点为 、、、、，其中纵坐标为 的是 、、 共 个。故选 B。 【变式 1-3】 用五点法作 在 上的图象时，五个关键点的纵坐标依次是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 横坐标仍取 ，对应的 值为 ，乘以 后纵坐标依次为 。故选 D。 ◆ 题型02 三角函数的定义域与值域 【例 2】 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 因为 ，所以 ，进而 。当 时取最小值 ，当 时取最大值 。故选 A。 【变式 2-1】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 正弦函数对任意实数都有意义，定义域为 ； 是它的值域， 是正切函数的定义域。故选 C。 【变式 2-2】 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由 得 ，故 。当 时取得最大值 。故选 B。 【变式 2-3】 函数 的最小值与最大值之和是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 由 得 ，最小值为 ，最大值为 ，二者之和为 。故选 D。 ◆ 题型03 最小正周期的求解 【例 3】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由公式 ，此处 ，故 。故选 A。 【变式 3-1】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 此处 ，故 。故选 C。 【变式 3-2】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 正切型函数的周期为 ，此处 ，故 。故选 B。 【变式 3-3】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 周期只由 的系数决定，与前面的系数 及括号中的常数 都无关。这里 ，故 。故选 D。 ◆ 题型04 三角函数奇偶性的判断 【例 4】 下列函数中，是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由诱导公式 ，故 是奇函数； 与 满足 ，是偶函数；对 有 ，既不等于 也不等于 ，是非奇非偶函数。故选 A。 【变式 4-1】 函数 是（ ） A．非奇非偶函数 B．奇函数 C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】 C 【详解】 因为 对任意 成立，且定义域 关于原点对称，所以 是偶函数，图象关于 轴对称。故选 C。 【变式 4-2】 下列函数中，是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，故 是偶函数；又 、，故 与 都是奇函数；对 ，有 ，也是奇函数。故选 B。 【变式 4-3】 函数 的奇偶性为（ ） A．无法判断 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇函数 【答案】 D 【详解】 定义域为 ，关于原点对称，且 ，故为奇函数。故选 D。 ◆ 题型05 单调区间的求解 【例 5】 函数 的一个单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 正弦函数在 （）上单调递增，取 得 ； 是它的单调递减区间。故选 A。 【变式 5-1】 函数 的一个单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 余弦函数在 （）上单调递减，取 得 ； 与 都是它的单调递增区间。故选 C。 【变式 5-2】 函数 的单调递增区间是（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】 B 【详解】 令 ，由 （）得 ，各边同加 得 。故选 B。 【变式 5-3】 函数 的单调递减区间是（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】 D 【详解】 令 ，由 （）得 ，各边同除以 得 。故选 D。 ◆ 题型06 最值与给定区间上的值域 【例 6】 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 因为 ，所以 ，最大值为 ，当 （）时取得。故选 A。 【变式 6-1】 函数 ， 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 因为 ，所以最大值在 处取得，为 ；端点处 ，，较小者为 ，故值域为 。故选 C。 【变式 6-2】 函数 ， 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 余弦函数在 上单调递减，故最小值在右端点取得，为 ，最大值为 。故选 B。 【变式 6-3】 函数 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 由 得 ，故 。当 时取得最小值 。故选 D。 ◆ 题型07 对称轴与对称中心 【例 7】 函数 的图象的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 正弦曲线的对称轴经过它的最高点与最低点，方程为 （），取 得 ； 处图象过零点，是对称中心的横坐标而非对称轴。故选 A。 【变式 7-1】 函数 的图象的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 正弦曲线的对称中心是它与平衡位置的交点，坐标为 （），取 得 ； 处函数值为 而非 ，不是对称中心。故选 C。 【变式 7-2】 函数 的图象的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 余弦曲线的对称轴为 （），取 得 ，即 轴； 处函数值为 ，是对称中心的横坐标。故选 B。 【变式 7-3】 函数 的图象的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 余弦曲线的对称中心为 （），取 得 ； 与 处函数值分别为 与 ，均不是对称中心。故选 D。 ◆ 题型08 利用单调性比较三角函数值的大小 【例 8】 下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D．无法比较 【答案】 A 【详解】 因为 ，且 在 上单调递增，所以 ，即 。故选 A。 【变式 8-1】 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法比较 【答案】 C 【详解】 因为 ，且 在 上单调递增，由 得 。故选 C。 【变式 8-2】 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法比较 【答案】 B 【详解】 因为 ，且 在 上单调递减，所以 。故选 B。 【变式 8-3】 与 的大小关系是（ ） A．无法比较 B． C． D． 【答案】 D 【详解】 因为 ，且 在 上单调递增，所以 。故选 D。 ◆ 题型09 解简单的三角不等式 【例 9】 在 上，满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 正弦函数在 上函数值为正，在 上函数值为负，在 处函数值为 。故满足 的范围是 。故选 A。 【变式 9-1】 在 上，满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 余弦函数在 上函数值为负，在 与 上函数值为正。故选 C。 【变式 9-2】 在 上，满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由 ，且正弦函数在 上递增、在 上递减，中间取值均大于 ，故所求范围为 。故选 B。 【变式 9-3】 在 上，满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 在 上， 递增而 递减，且 时 。当 时有 ，又 时 也满足，故范围为 。故选 D。 ◆ 题型10 正切函数的图象与性质 【例 10】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 因为 ，要求 ，即 （）。故选 A。 【变式 10-1】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 由 且不存在更小的正周期，故最小正周期为 。故选 C。 【变式 10-2】 关于函数 的单调性，下列说法正确的是（ ） A．在 上单调递增 B．在每一个区间 （）上都单调递增 C．在 上单调递增 D．在定义域内单调递减 【答案】 B 【详解】 正切函数的定义域被间断点 分成无穷多个互不相连的区间，它在每一个这样的区间上单调递增，但不能说在定义域内或在 上单调递增； 含有间断点 ，也不成立。故选 B。 【变式 10-3】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 令 ，要求 （），即 ，解得 （）。故选 D。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、单项选择题（8 题） 1． 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 正弦函数的最小正周期为 ，即 且 是最小的正周期。故选 A。 2． 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 余弦函数的值域为 ，当 （）时取得最大值 。故选 C。 3． 函数 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由诱导公式， 是 的奇数倍，正弦变余弦；把 看成锐角时 在第二象限，正弦为正，故 。故选 B。 4． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 由 得 ，故 。故选 D。 5． 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 此处 ，由 得 。故选 A。 6． 在 上，函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 余弦函数在 （）上单调递减，取 得 ； 是它的单调递增区间。故选 C。 7． 函数 的图象的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 正切曲线关于点 （）中心对称，取 得 ，即坐标原点； 与 处函数值分别为 与 ，不等于 。故选 B。 8． 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 因为 ，所以 是它的周期；又 在 上递增、在 上递减，不存在比 更小的正周期，故最小正周期为 。故选 D。 ◆ 二、多项选择题（4 题） 9． （多选题）下列关于函数 的说法中，正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．是偶函数 D．最小正周期为 【答案】 ABD 【详解】 正弦函数的定义域为 ，值域为 ，最小正周期为 ，这三条都正确；而由 知它是奇函数，故"是偶函数"这一条错误。故选 ABD。 10． （多选题）下列函数中，最小正周期为 的有（ ） A． B． C． D． 【答案】 ACD 【详解】 与 中 的系数都是 ，故 ； 的最小正周期是 ；而 中 的系数为 ，。故选 ACD。 11． （多选题）下列函数中，是偶函数的有（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】 ，故 是偶函数；，故 是偶函数；，故 是偶函数；而 ，故 是奇函数。故选 ABC。 12． （多选题）关于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．在定义域内单调递增 B．最小正周期为 C．是奇函数 D．定义域为 【答案】 BCD 【详解】 正切函数的定义域为 ，最小正周期为 ，且由 知它是奇函数，这三条都正确；但它只是在每一个区间 （）上单调递增，其定义域被间断点分成互不相连的若干段，不能说在定义域内单调递增，故最后一条错误。故选 BCD。 ◆ 三、填空题（4 题） 13． 函数 的值域是 ________________。 【答案】 【详解】 由 ，两边同乘 得 ，故值域为 。 14． 函数 的最小正周期是 ________________。 【答案】 【详解】 这里 ，由 得 。 15． 函数 取得最小值 时， ________________（写出一个即可）。 【答案】 （答案不唯一， 均可） 【详解】 余弦函数在 （）时取得最小值 ，取 得 。 16． 函数 在区间 上的单调递减区间是 ________________。 【答案】 【详解】 正弦函数在 （）上单调递减，取 并与 取交集得 。 ◆ 四、解答题（4 题） 17． 用五点法作出函数 在 上的简图，写出所取五个关键点的坐标，并说明描点后应如何连线。 【答案】 五个关键点依次为 、、、、。 【详解】 列表：取 ，对应的 值依次为 ，于是五个关键点为 、、、、。描点：在平面直角坐标系中先描出这五个点，其中 为最高点、 为最低点，另外三点都在 轴上。连线：用一条光滑的曲线按 由小到大的顺序依次连接这五个点，在最高点与最低点附近画得平缓一些，在零点附近画得陡一些，即得 在 上的简图。 18． 求函数 的最小正周期、最大值和最小值，并求出取得最大值时 的集合。 【答案】 最小正周期为 ；最大值为 ，最小值为 ；取得最大值时 的集合为 。 【详解】 （1）周期：这里 ，由 得 。（2）最值：因为 ，所以 ，最大值为 ，最小值为 。（3）取最大值的条件：令 （），得 ，即 （）。故取得最大值时 的集合为 。 19． 求函数 的单调递增区间。 【答案】 单调递增区间为 （）。 【详解】 令 。由余弦函数的性质， 在 （）上单调递增。于是 （）。各边同加 ，得 （）。各边同除以 ，得 （）。故所求单调递增区间为 （）。检验：取 ，当 时 ，；当 时 ，，函数值由 升到 ，确为递增。 20． 已知 。（1）求 的最小正周期；（2）求 的单调递增区间；（3）求 在区间 上的值域。 【答案】 （1）；（2）单调递增区间为 （）；（3）值域为 。 【详解】 （1）周期：这里 ，故 。（2）单调区间：令 。正弦函数在 （）上递增，于是 （）。各边同减 ，得 （）。各边同除以 ，得 （）。故单调递增区间为 （）。（3）值域：当 时，，从而 。因为 ，所以 的最大值为 ；端点处 ，，故最小值为 。所以 在 上的值域为 。 ▶ 易错清单 ● 1．求周期时只看 的系数 ：（正、余弦型）或 （正切型），与式子中的 、 都无关，别被它们干扰。 ● 2．求单调区间时用整体代换，把 代入基本单调区间再解不等式； 时不等号方向改变，建议先用诱导公式把 化为正数。 ● 3．不能说"正切函数在定义域内单调递增"，只能说它在每一个区间 （）上单调递增。 ● 4．在给定闭区间上求值域时，必须同时比较区间端点的函数值与区间内最值点的函数值，不能只代端点。 ● 5．对称轴与对称中心要分清： 的对称轴是 、对称中心是 ； 恰好相反，对称轴是 、对称中心是 。 ▶ 方法总结墙 （1）画图象：五点法取"零点与最值点"， 取 、、、、； 取 、、、、。 （2）定周期：先提 的系数 ，再用 （正、余弦型）或 （正切型）。 （3）判奇偶：用诱导公式算 ，与 相等为偶、与 相等为奇；先看定义域是否关于原点对称。 （4）求单调区间：整体代换法——把 看成 ，写出基本函数的单调区间，再解关于 的不等式，结果必须带上 。 （5）求最值：整体法求值域用 ；给定闭区间时，"两端点 + 区间内最值点"逐一比较，缺一不可。 （6）比大小：把两个角化到同一个单调区间内，再依据该区间上的单调性判断；不在同一单调区间时，先借助周期性或对称性转化。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 18 讲 5.4 三角函数的图象与性质 ▶ 预习目标 ● 1．会用"五点法"作出正弦函数、余弦函数在一个周期内的简图，能从图象读出定义域、值域与关键点的坐标。 ● 2．理解周期函数与最小正周期的概念，会用 求形如 、 的函数的周期，知道 的周期为 。 ● 3．掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性与单调性，会求函数的单调递增区间与递减区间。 ● 4．会求三角函数的最值与值域，掌握对称轴、对称中心的求法，能借助单调性比较三角函数值的大小并解简单的三角不等式。 ▶ 知识回顾 前面已经用单位圆定义了任意角的正弦、余弦、正切，并用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数来求值。但"函数值随角怎样变化"这一问题，只看孤立的数值并不直观。本讲把角作为横坐标、函数值作为纵坐标，把三角函数"画"成图象，再从图象出发系统地研究它的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值与对称性，形成研究三角函数的一般套路。 ▶ 新知导图 画图象 五点法：取 五个关键点 看整体 周期性：正弦、余弦周期 ，正切周期 看对称 奇偶性：正弦、正切为奇函数，余弦为偶函数 看升降 单调性：整体代换，先定区间再比大小 看高低 最值与值域：结合区间端点与最值点共同确定 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 正弦函数、余弦函数的图象（五点法） 在一个周期 上，正弦函数 的五个关键点是 、、、、；余弦函数 的五个关键点是 、、、、。描出这五个点并用光滑曲线连接，就得到相应函数在一个周期内的简图，再把这一段形状沿 轴左右重复即得整个定义域上的图象。 与 的定义域都是 ，值域都是 。 ◆ 理解提示 五点法取的是"零点与最值点"，因为这五个点最能刻画出曲线的形状。系数只改变纵向的伸缩： 的值域为 ，关键点横坐标不变。 ◆ 知识点 02 周期性 若存在非零常数 ，使得对定义域内任意 都有 ，则 为周期函数， 称为它的周期；所有正周期中最小的那个称为最小正周期。正弦函数 与余弦函数 的最小正周期都是 ；正切函数 的最小正周期是 。一般地， 与 （）的最小正周期为 ， 的最小正周期为 。 ◆ 理解提示 周期只由 的系数 决定，与振幅 和初相 无关。求周期时把 的系数提出来看成整体即可，不必展开括号。 ◆ 知识点 03 奇偶性与单调性 奇偶性：由诱导公式 、、 可知，正弦函数与正切函数是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，图象关于 轴对称。 单调性：正弦函数 在 （）上单调递增，在 （）上单调递减；余弦函数 在 （）上单调递增，在 （）上单调递减；正切函数 在每一个区间 （）上都单调递增。 ◆ 理解提示 求 的单调区间时，先把 看成一个整体 ，写出 的单调区间，再解关于 的不等式。注意 时不等号方向会改变，可先用诱导公式把 化为正数。 ◆ 知识点 04 最值、对称性与正切函数的性质 最值： 当 （）时取最大值 ，当 （）时取最小值 ； 当 （）时取最大值 ，当 （）时取最小值 。在给定闭区间上求值域时，要比较区间端点与区间内最值点两处的函数值。 对称性： 的对称轴为 （），对称中心为 （）； 的对称轴为 （），对称中心为 （）。 正切函数： 的定义域为 ，值域为 ，最小正周期为 ，是奇函数，在每一个区间 （）上单调递增。 ◆ 理解提示 不能说"正切函数在定义域内单调递增"，因为它的定义域被间断点分成了无穷多个互不相连的区间，只能说它在每一个这样的区间上单调递增。 ▶ 题型分类训练 ◆ 题型01 五点法作图与关键点识别 【例 1】 用五点法作 在 上的图象时，所取五个关键点的横坐标依次是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 用五点法作 在 上的图象时，五个关键点的纵坐标依次是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 用五点法作 在 上的图象时，五个关键点中纵坐标为 的点共有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式 1-3】 用五点法作 在 上的图象时，五个关键点的纵坐标依次是（ ） A． B． C． D． ◆ 题型02 三角函数的定义域与值域 【例 2】 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 函数 的最小值与最大值之和是（ ） A． B． C． D． ◆ 题型03 最小正周期的求解 【例 3】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【变式 3-1】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． ◆ 题型04 三角函数奇偶性的判断 【例 4】 下列函数中，是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 函数 是（ ） A．非奇非偶函数 B．奇函数 C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【变式 4-2】 下列函数中，是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式 4-3】 函数 的奇偶性为（ ） A．无法判断 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇函数 ◆ 题型05 单调区间的求解 【例 5】 函数 的一个单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式 5-1】 函数 的一个单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【变式 5-2】 函数 的单调递增区间是（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式 5-3】 函数 的单调递减区间是（ ） A． B．（） C．（） D．（） ◆ 题型06 最值与给定区间上的值域 【例 6】 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式 6-1】 函数 ， 的值域是（ ） A． B． C． D． 【变式 6-2】 函数 ， 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式 6-3】 函数 的最小值是（ ） A． B． C． D． ◆ 题型07 对称轴与对称中心 【例 7】 函数 的图象的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【变式 7-1】 函数 的图象的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【变式 7-2】 函数 的图象的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【变式 7-3】 函数 的图象的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． ◆ 题型08 利用单调性比较三角函数值的大小 【例 8】 下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D．无法比较 【变式 8-1】 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法比较 【变式 8-2】 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法比较 【变式 8-3】 与 的大小关系是（ ） A．无法比较 B． C． D． ◆ 题型09 解简单的三角不等式 【例 9】 在 上，满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式 9-1】 在 上，满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式 9-2】 在 上，满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式 9-3】 在 上，满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． ◆ 题型10 正切函数的图象与性质 【例 10】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式 10-1】 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【变式 10-2】 关于函数 的单调性，下列说法正确的是（ ） A．在 上单调递增 B．在每一个区间 （）上都单调递增 C．在 上单调递增 D．在定义域内单调递减 【变式 10-3】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、单项选择题（8 题） 1． 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 2． 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 3． 函数 等于（ ） A． B． C． D． 4． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 5． 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 6． 在 上，函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 7． 函数 的图象的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 8． 函数 的最小正周期是（ ） A． B． C． D． ◆ 二、多项选择题（4 题） 9． （多选题）下列关于函数 的说法中，正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．是偶函数 D．最小正周期为 10． （多选题）下列函数中，最小正周期为 的有（ ） A． B． C． D． 11． （多选题）下列函数中，是偶函数的有（ ） A． B． C． D． 12． （多选题）关于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．在定义域内单调递增 B．最小正周期为 C．是奇函数 D．定义域为 ◆ 三、填空题（4 题） 13． 函数 的值域是 ________________。 14． 函数 的最小正周期是 ________________。 15． 函数 取得最小值 时， ________________（写出一个即可）。 16． 函数 在区间 上的单调递减区间是 ________________。 ◆ 四、解答题（4 题） 17． 用五点法作出函数 在 上的简图，写出所取五个关键点的坐标，并说明描点后应如何连线。 18． 求函数 的最小正周期、最大值和最小值，并求出取得最大值时 的集合。 19． 求函数 的单调递增区间。 20． 已知 。（1）求 的最小正周期；（2）求 的单调递增区间；（3）求 在区间 上的值域。 ▶ 易错清单 ● 1．求周期时只看 的系数 ：（正、余弦型）或 （正切型），与式子中的 、 都无关，别被它们干扰。 ● 2．求单调区间时用整体代换，把 代入基本单调区间再解不等式； 时不等号方向改变，建议先用诱导公式把 化为正数。 ● 3．不能说"正切函数在定义域内单调递增"，只能说它在每一个区间 （）上单调递增。 ● 4．在给定闭区间上求值域时，必须同时比较区间端点的函数值与区间内最值点的函数值，不能只代端点。 ● 5．对称轴与对称中心要分清： 的对称轴是 、对称中心是 ； 恰好相反，对称轴是 、对称中心是 。 ▶ 方法总结墙 （1）画图象：五点法取"零点与最值点"， 取 、、、、； 取 、、、、。 （2）定周期：先提 的系数 ，再用 （正、余弦型）或 （正切型）。 （3）判奇偶：用诱导公式算 ，与 相等为偶、与 相等为奇；先看定义域是否关于原点对称。 （4）求单调区间：整体代换法——把 看成 ，写出基本函数的单调区间，再解关于 的不等式，结果必须带上 。 （5）求最值：整体法求值域用 ；给定闭区间时，"两端点 + 区间内最值点"逐一比较，缺一不可。 （6）比大小：把两个角化到同一个单调区间内，再依据该区间上的单调性判断；不在同一单调区间时，先借助周期性或对称性转化。 学科网（北京）股份有限公司 $