第5章 5.4 5.4.2 第2课时 单调性与最值（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　单调性与最值 1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 3．会求函数y＝Asin (ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 单调性 在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上单调递增，在[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 【思考】　 正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？ 【解析】　不正确．正弦函数在每个闭区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数． 1．正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数．(　　) 2．存在实数x，使得cos x＝.(　　) 3．余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数．(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.√ 一、求正弦、余弦函数的单调区间 　(1)求函数y＝2sin(x－)的单调区间． (2)已知函数y＝cos(－2x)，则它的单调减区间为 ． 【解】　(1)令z＝x－，则y＝2sin z. ∵z＝x－是增函数， ∴y＝2sin z单调递增(减)时， 函数y＝2sin(x－)也单调递增(减)． 由z∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 得x－∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 即x∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 故函数y＝2sin(x－)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)． 同理可求函数y＝2sin(x－)的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)． (2)y＝cos(－2x)＝cos[2x－]， 由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴单调递减区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)． 【反思感悟】　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式． 1．求函数y＝1＋sin(－x＋)，x∈[－4π，4π]的单调递减区间． 【解】　y＝1＋sin(－x＋)＝－sin(x－)＋1. 由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)． 解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z)． 又∵x∈[－4π，4π]， ∴函数y＝1＋sin(－x＋)的单调递减区间为[－4π，－]，(－，)，[，4π]． 二、三角函数值的大小比较 　比较下列各组中函数值的大小： (1)cos(－π)与cos(－π)； (2)sin 194°与cos 160°. 【解】　(1)cos(－π)＝cos(－6π＋π)＝cosπ， cos(－π)＝cos(－6π＋π)＝cosπ， ∵π<π<π<2π， ∴cosπ<cos π， 即cos(－π)<cos(－π)． (2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°， ∴sin 14°<sin 70°. ∴sin 194°>cos 160°. 【反思感悟】　比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数； (2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小． 2．比较大小： (1)cos(－)与cos； (2)sin 与cos . 【解】　(1)cos(－)＝cos ＝cos(π－)＝－cos， 而cos＝－cos， ∵0<<<，∴cos >cos. ∴－cos<－cos， ∴cos(－)<cos. (2)∵cos＝sin(＋)， <<＋<π， 又y＝sin x在[，]上是减函数， ∴sin>sin(＋)＝cos， 即sin>cos. 三、正弦、余弦函数的最值(值域) 　(1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为 ． (2)已知函数f(x)＝asin(2x－)＋b(a>0)．当x∈[0，]时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值． 【答案】　(1)[－4，0] 【解析】　(1)y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2. 因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0， 所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0]． (2)∵0≤x≤， ∴－≤2x－≤， ∴－≤sin(2x－)≤1， ∴f(x)max＝a＋b＝， ∴f(x)min＝－a＋b＝－2. 由得 【反思感悟】　三角函数最值问题的常见类型及求解方法 (1)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． (2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值． 3．求下列函数的值域： (1)y＝cos(x＋)，x∈[0，]； (2)y＝cos2x－4cos x＋5. 【解】　(1)由y＝cos(x＋)，x∈[0，]可得x＋∈[，]，因为函数y＝cos x在区间[，]上单调递减，所以函数的值域为[－，]． (2)y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，则－1≤t≤1. y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1， 当t＝－1，函数取得最大值10； t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2，10]． 1.y＝2sin(3x＋)的值域是(　　) A．[－2，2] B．[0，2] C．[－2，0] D．[－1，1] 【答案】　A 【解析】　因为sin(3x＋)∈[－1，1]，所以y∈[－2，2]． 2．下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 【答案】　C 【解析】　因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，由正弦函数的单调性得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 3．函数f(x)＝sin(2x－)在[0，]上的单调递增区间是(　　) A．[0，] B．[，] C．[0，] D．[，] 【答案】　C 【解析】　令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又0≤x≤，所以f(x)在[0，]上的单调递增区间是[0，]． 4．函数f(x)＝cos(2x－)的单调递减区间是 ． 【答案】　[＋kπ，＋kπ](k∈Z) 【解析】　令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)． 5．函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是 ． 【答案】　[－，] 【解析】　∵0≤x≤，∴≤x＋≤， ∴cos ≤cos(x＋)≤cos. ∴－≤y≤，即值域为[－，]． 1．知识归纳： (1)正弦、余弦函数的最大(小)值． (2)正弦、余弦函数的单调性． (3)正弦、余弦函数的对称性． (4)比较大小． 2．方法归纳：整体思想，换元思想． 3．常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围限制． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$