5.2.1 三角函数的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以“定义-符号-单位圆-特殊值”为主线构建三角函数概念知识体系，通过表格呈现任意角三角函数定义及特殊角值，用规律口诀梳理三角函数值符号，结合单位圆深化定义理解，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，题型覆盖“定义求值-参数求解-符号判断”，如已知终边上点坐标求三角函数值、由三角函数值反求参数等，通过具体问题培养数学抽象与逻辑推理素养。基础题巩固概念，综合题提升应用，附易错点提醒，助力学生自主复习，也为教师实施精准分层教学提供支持。

5.2.1 三角函数的概念 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 任意角的正弦、余弦、正切的定义 前提 如图，对于任意角 来说，设 是 终边上异于原点的任意一点， 定义 正弦 称 为角 的正弦，记作 ，即 余弦 称 为角 的余弦，记作 ，即 正切 当角 的终边不在 轴上时，称 为角 的正切， 记作 ，即 . 三角函数 角 的正弦、余弦、正切都称为 的三角函数 知识点 2：三角函数值的符号 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 注意：（1）正切函数 在 没有意义。 （2）三角函数值的大小与点 在角 终边上的位置无关，只由角 的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关。 （3）终边相同的角的同名三角函数值相等。 知识点 3: 单位圆与三角函数 定义： 一般地，在平面直角坐标系中，点的坐标满足 组成的集合称为单位圆。 即圆心在原点，半径为 1 的圆。 如果角 的终边与单位圆的交点为 ，根据三角函数定义 ，因为 在单位圆上，所以 ，所以 ，这也是三角函数的等价定义。 知识点 4: 特殊角的三角函数值 弧度 0 0 1 0 1 1 0 无 -1 0 -1 0 -1 0 无 题型一 利用三角函数定义求值 （1） 已知点坐标求三角函数值（2）由终边或终边上的点求三角函数值 1．若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 2．已知角的终边过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，点到原点的距离， 所以． 3．已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角终边过点, 根据,其中, 可得. . 4．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，所以，所以. 5．如果角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的终边过点， 所以，由三角函数的定义可知. （ 多选）6．直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 【答案】AB 【分析】先由终边上点的坐标求出点到原点的距离，再分别代入正切、正弦、余弦的定义公式计算，同时根据点的坐标符号判断角所在的象限，逐一验证选项的正误. 【详解】因为角终边过点，所以点到原点的距离： ， 所以选项A： ，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：因为点在第三象限，所以是第三象限角，故D错误. （ 多选）7．下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．若角的终边上有一点，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】BC 【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义可判断C选项；由终边角的概念即可判断D选项． 【详解】解：对于A选项，因为且为第二象限角， 故是第二象限角，A错； 对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对； 对于D选项，角的终边在第二象限，即， 不妨取，则角不一定为钝角，D错． （ 多选）8．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为角的终边经过点， ， 所以， ， ， 所以AC错误，BD正确. 题型二 已知三角函数值求参数 1．角的终边经过点且，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由三角函数的定义得， 平方化简得，解得（正根舍去）. 2．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义求解. 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 3．已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】根据题意可得：，且坐标为负数，所以， 所以 . 又，所以. 4．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义可得，故要想求的值需要先求出的值，可由求出的值，进一步求出. 【详解】因为是第二象限角，所以，即． 又，解得（舍去）， 所以． 故选：. 5．若角的终边上有一点，且，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】由任意角的三角函数定义即可求解. 【详解】由题意得， 即，解得或（舍去）， 故选：C. 6．已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】角的终边过点且， 所以且，解得. 故选：B. 7．已知角的终边经过点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义列方程求解. 【详解】由三角函数的定义，， 平方化简得，解得（负根舍去）. 故选：D 8．已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限， 又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以， 即，解得. 9．已知角的终边过点，且，则________，________ 【答案】 【详解】由三角函数的定义， ， ． 10．角的终边经过点，且，则_____________，_____________． 【答案】 0或 或1 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参数及正弦值即可. 【详解】由题意，得，解得或， 当时，；当时，． 故答案为：0或；或1. 题型三 判断三角函数值的正负 1．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由，， 根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 2．若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角是第二象限的角，则，，，. 3．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 【答案】B 【分析】由三角函数式的符号确定角的范围或象限. 【详解】当角的终边不在坐标轴上时，， 所以，所以只需， 又因为，要使， 所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 4．已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】由象限角的三角函数符号可知， ，角的终边在第二或第四象限， ，角的终边在第一或第二象限， 综上可知当时，角的终边所在的象限为第二象限. 5．若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】B 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 6．角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设结合任意角三角函数定义可得答案. 【详解】因为，所以点位于第二象限，α是第二象限角， 则，，， 所以，，，则B正确，CD错误； 又，当且仅当时，， 即时，不一定成立，则Ａ错误． （ 多选）7．角为第三象限角的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角函数值在各象限的符号即可判断． 【详解】若，则角为第二、三象限角； 若，则角为第三、四象限角； 若，则角为第一、四象限角； 若，则角为第一、三象限角； 由题可知，满足角为第三象限角的必要不充分条件是ABD． （ 多选）8．下列结论中正确的是（    ） A．若，则为第一象限角 B．若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 C．在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 D．函数的零点是和 【答案】BC 【分析】结合三角函数定义检验选项A，结合象限角的定义检验选项B，结合扇形面积公式检验选项C，结合函数零点定义检验选项D． 【详解】对于A，若，则为第一象限或第三象限角，故A错误； 对于B，若是第二象限角，则，， 所以，， 则为第一象限或第三象限角，故B正确； 对于C，半径为，圆心角为的扇形面积，故C正确； 对于D，函数的零点是和2，故D错误． 课时精练 1．已知角的终边经过点，则（   ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由正切函数的定义计算即可. 【详解】由题意，得. 故选：B. 2．已知角终边上一点坐标为，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角终边上一点坐标为，则， 所以. 3．已知角的终边经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可得，故， 故选：C 4．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知角的终边不在坐标轴上， 当为第一象限角时，函数； 当为第二象限角时，函数； 当为第三象限角时，函数； 当为第四象限角时，函数． 所以函数的值域为． 5．如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在单位圆中作出角的正弦线、余弦线、正切线即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中作出角的正弦线、余弦线、正切线，， 由图知，即． 故选：D. （ 多选）6．下列结论正确的有（   ） A．是第三象限角 B．若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C．若，为第二象限角，且，则 D．与值域相同. 【答案】AB 【分析】根据终边相同的角可判断A项；利用扇形的弧长面积公式判断B项；举反例可判断C项；确定内层函数的值域，再结合外层三角函数的单调性分别求出两个函数的值域，可判断D项. 【详解】对于A，因，即与的终边相同，故是第三象限角，即A正确； 对于B，依题意，该扇形的弧长为，面积为，故B正确； 对于C ，举反例：取，，二者都是第二象限角，满足， 但，不满足，C错误； 对于D ，求值域：对：，因此，值域包含负数； 对：，因此，值域全为正数， 二者值域不同，D错误. （ 多选）7．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ） A．扇形的周长为定值6，则该扇形的面积最大值为 B．若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 C．若在单调递减，则 D．设角为锐角（单位为弧度），则 【答案】ABD 【分析】选项A：由扇形的弧长公式、面积公式，结合二次函数性质求解即可；选项B：求出的范围即可判断所在象限；选项C：利用对数复合函数的单调性，结合单调区间求参数范围；选项D：利用单位圆确定所代表的长度，即可比较大小. 【详解】选项A：设扇形的弧长为，圆心角为，半径为，则，所以， 所以扇形面积， 所以当时，该扇形的面积取最大值，为，故A正确. 选项B：若是第三象限角，则，， 所以，，此时为第二象限或第四象限角，故B正确. 选项C：， 当时，，所以在上递增，在上递减； 当时，，所以在上递减，在上递增； 而在单调递减，则且，解得，故C错误. 选项D：如图，在单位圆中，，，， 显然，当角为锐角时，，故D正确. 8．的值为______． 【答案】 【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，化简求值. 【详解】由题意得． 9．已知 是第二象限角，，则 ______． 【答案】 【详解】根据公式 ，可以得到：， 已知 ，代入计算：， 又因为 是第二象限角，在第二象限中余弦值为负，因此：． $5.2.1三角函数的概念 【基础回顾】 知识点1：任意角的正弦、余弦、正切的定义 如图，对于任意角Q来说，设 P(x.y) 前 P(x,y是a终边上异于原点的任意 提 一点，r=x2+y 定 正弦 称Y为角a的正弦，记作sina,即sina=Y r 义 余弦 称X为角&的余弦，记作c0sa,即cosa=X 正切 当角Q的终边不在y轴上时，称兰 为角a的正切，记作 X tana，即tana=y 三角函数 角0的正弦、余弦、正切都称为Q的三角函数 知识点2：三角函数值的符号 sin a cos a tan a 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 注意：(1)正切函数ama=士在a=受+ka,k∈Z没有意义。 X (2)三角函数值的大小与点Px,y在角Q终边上的位置无关，只由角Q的终边位置决定，即三角函数值 的大小只与角有关。 1 (3)终边相同的角的同名三角函数值相等。 知识点3：单位圆与三角函数 定义：一般地，在平面直角坐标系中，点的坐标满足x+y=1组成的集合称为单位圆。即圆心在原点，半 径为1的圆。 如果角&的终边与单位圆的交点为Px,y,根据三角函数定义sinc= y ,因为Px,y在单位 x+y 圆上，所以7+y=1,所以5na=y,cosa=X,anc=大，这包是三角商数的等价定义。 知识点4：特殊角的三角函数值 弧度 sina cosa tang 0 0 π 1-2 3 3 2 3 V2 1 4 2 e 3 1 3 3 2 1 0 无 2 2π 3 -3 2 3π 2 -1 2 2 5n 1 3 3 6 2 2 3 π 0 -1 0 0 无 2 题型一利用三角函数定义求值 (1)已知点坐标求三角函数值(2)由终边或终边上的点求三角函数值 2 1.若点P-1,3为角a终边上一点，则sina=() A.2 B 3 3 C.2 D.- 2 2.已知角c的终边过点P4a,-3aa>0,则sina的值是() 3 A.5 3 4 B. C.5 21 3. 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P 2’2 则sin0=() V2 3 B.2 C.3 6 D. 4.已知角a的终边过点-4,3，则sinc() 3-5 B. C.4 D 5.如果角的终边过点P 1 3 2’2 则c0s0=() 1 3 3 A.2 B.- 2 c.3 D.- 3 (多选)6.直角坐标系Oy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 P-1,-3,则() A.tana=3 B.sin=- 3V10 10 10 C.cosa= 10 D.Q是第四象限角 (多选)7.下列结论正确的是() A. 7 6是第三象限角 π B.若圆心角为的扇形的弧长为L,则该扇形的面积为2 C.若角c的终边上有一点P-3,4,则cos=- D.若角a的终边在第二象限，则角a是钝角 (多选)8.已知角的终边经过点1，-2，则() A.sina= 5 B.tana=-2 2R/5 5 C.cosa=- 5 D.sina+cosa=- 题型二已知三角函数值求参数 1.角a的终边经过点Pa,3且cosa=- 5,则实数a的值为() A.4 B.-4 C.±4 D.3 2.已知c是第二象限角，点Px,2为其终边上一点，且c0s=2 ,则x等于() A.-2 B.2 C.-3 D.3 3.已知角a的终边经过点Pm,-6,且cosa=- 5,则m=() A.8或-8 B.-8 C.8 D.-4 4.设c是第二象限角，Px,4为其终边上的一点，且c0sx= 5x,则tanc等于() 3 B. 3 C.- 4 D.3 5.若角a的终边上有一点P-3,m,且sinc=-手，则m=() 4 A.4 B.±4 C.-4 D.- 6.已知角a的终边过点A(-3,m且sinc=号，则m=() A.3 B.4 C.±3 D.±4 7.己知角C的终边经过点P-x,-6,且Cosc=- 5,则实数x的值为() A.10 B.-8 C.±8 D.8 8.已知角a终边上一点P(2,m),若sina= 5 5, 则实数m的值为 12 9.己知角a的终边过点P(5,a),且tana= 5,则a= sina+cosa= X 10.角a的终边经过点P(x,4,且cos0=行则x= 、 sina= 题型三判断三角函数值的正负 1.已知sin0<0,tan0<0,则角的终边位于() 4 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若角Q是第二象限的角，则() A.sina>0 B.cosa>0 C.tana>0 D.cota>0 3.若角的终边不在坐标轴上，且满足 cossin<0,则角a为（） sin cos a) A.第一象限角或第二象限角 B.第二象限角或第三象限角 C.第三象限角或第四象限角 D.第二象限角或第四象限角 4.己知tana<0,sinc>0,则角a的终边所在的象限为第()象限. A.一 B.二 C.三 D.四 5.若sin0tan9<0,则θ为() A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第二或第四象限角 D.第三或第四 象限角 6.角a的终边经过点P-1,mlm>0,则下列结论正确的是() A.sina+cosa<0 B.sina-cosa>0 C.sinacosa>0 D. sina>0 tana (多选)7.角日为第三象限角的必要不充分条件是() A.sinθtanθ<0B.cosθtanθ<0 sine>0 C.tan D.sinθcos0>0 (多选)8.下列结论中正确的是() A.若sina·cosa>0,则a为第一象限角 B。若α是第二象限角，则气为第一象限或第三象限角 c.在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30的扇形，则该扇形面积为4 D.函数y=x2-x-2的零点是-1,0和2,0 课时精练 1.已知角c的终边经过点P-1,2,则tana=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 2.已知角c终边上一点P坐标为5，-12，则cosa值为() A品 5 B.13 c贵 D.13 3.已知角9的终边经过点P(-3,y,且tan9= 3,则y的值是() 4 B.4 C.-4 D.4 4.函数y= sin x cos x tan x 的值域是() sinx cosx tanx A.{-1,1,3 B.{1,3 c.{-1,3 D.R 5.如果好<0号那么下列各式中正确的是《) A.cosθ<tan0<sin0 B.sinθ<cos0<tan0 C.tan0<sin0<cos0 D.cos0<sin0<tan0 (多选)6.下列结论正确的有() A.-120°是第三象限角 B.若扇形的圆心角为2ad,半径为3，则弧长为6，面积为9 C.若a,B为第二象限角，且sina>sinβ，则tana>tan阝 D.sin cosx与cos sin(x值域相同. (多选)7.给出下列四个选项中，其中正确的选项有() 9 A.扇形的周长为定值6，则该扇形的面积最大值为 B。若α是第三象限角，则号为第二象限或第四象限角 C.若fx=log。x2+2ax+2a-1在-oo,-2单调递减，则a∈1,2 D.设角c为锐角（单位为弧度），则tanc>a>sina sin60° 8. an300的值为 9,已知a是第二象限角，5ina=22 ,则cosa= 6