第19讲 三角恒等变换与函数y=Asin(ωx+φ)及应用 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角恒等变换、函数y=Asin(ωx+φ)及应用核心知识点，从两角和差公式推导二倍角、降幂公式，通过辅助角公式实现同频三角函数合成，结合图象变换理解振幅、周期、初相参数意义，最终应用于周期现象建模，构建完整知识支架。 该资料以目标导向设计预习与分层题型训练，通过易错清单和方法总结培养数学思维（推理能力）与数学语言（公式表达），如辅助角公式应用提升符号意识，简谐运动建模体现数学眼光。课中助力教师高效授课，课后检测卷与总结墙帮助学生查漏补缺。

第 19 讲 5.5 三角恒等变换 · 5.6 函数 y=Asin(ωx+φ) · 5.7 应用 ▶ 预习目标 ● 1．掌握二倍角公式：、。 ● 2．会用辅助角公式 化简。 ● 3．理解 中参数意义：振幅 、周期 、初相 。 ● 4．会由图象求解析式，会解决简单的三角函数应用问题。 ▶ 知识回顾 由两角和差公式可推出倍角、降幂、辅助角等恒等变形；由 通过振幅、周期、相位变换得到 ，这正是描述简谐运动、振动与波动的数学模型。 ▶ 新知导图 倍角 、 辅助角 图象参数 振幅 、、初相 应用 由关键点求 ；周期现象建模 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 二倍角公式 ；；。降幂公式：、。 ◆ 知识点 02 辅助角公式 ，其中 、。专用于把同频正弦余弦合成一个正弦，便于求最值与周期。 ◆ 知识点 03 函数 y=A·sin(ωx+φ) 的图象与性质 振幅 （决定峰值），周期 ，初相 。由 变换：先相位（）、再周期（ 横向伸缩）、再振幅（ 纵向伸缩）。已知图象求解析式时，用最高点/零点/周期定 。 ◆ 理解提示 用倍角公式注意“统一角”；辅助角合成后振幅为 ，周期为 （自变量 系数 时）。由图求 可代入一个已知点反解并检验象限。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 即 也可用倍角表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 ，取 得 。 【变式 1-1】 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【变式 1-2】 用 表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 降幂/倍角：。 【变式 1-3】 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 【例 2】 化简 可化为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【变式 2-1】 的振幅（最大值）为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，振幅 ，最大值为 。 【变式 2-2】 化简 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【变式 2-3】 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 ，振幅 ，最大值 。 【例 3】 函数 的振幅与周期分别为（ ） A．振幅 ，周期 B．振幅 ，周期 C．振幅 ，周期 D．振幅 ，周期 【答案】 A 【详解】 振幅 ；周期 。 【变式 3-1】 函数 的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【变式 3-2】 函数 的振幅为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 振幅 。 【变式 3-3】 函数 由 经（ ）得到 A．向右平移 B．向左平移 C．向上平移 D．周期变为 倍 【答案】 A 【详解】 表示图象向右平移 个单位。 【例 4】 简谐运动 的周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【变式 4-1】 若 的周期为 且振幅为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 周期 ；振幅 。 【变式 4-2】 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 振幅 ，最大值 。 【变式 4-3】 由 得到 ，可先（ ） A．向左平移 再横坐标缩为 B．横坐标缩为 再左移 C．向左平移 再横坐标缩为 D．向上平移 【答案】 A 【详解】 ：先把 左移 得 ，再横坐标缩为 （即 ）得 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的公式是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 倍角公式 。 2． 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 3． 函数 的振幅为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 振幅 。 4． 的周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 5． 化简 后其周期（自变量系数 ）为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，自变量 系数为 ，周期 。 6． 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 7． 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 振幅 ，最大值 。 8． 的周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 9． 辅助角 可化为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 10． 函数 由 （ ） A．右移 B．左移 C．上移 D．周期变 倍 【答案】 A 【详解】 表示右移 。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 。 12． 函数 的初相是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 中初相为 。 13． 简谐运动 的振幅与周期（ ） A．振幅 ，周期 B．振幅 ，周期 C．振幅 ，周期 D．振幅 ，周期 【答案】 A 【详解】 振幅 ；周期 。 14． 函数 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由和角公式 ，得 。 15． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 振幅 ，正弦部分 ，故值域 。 ▶ 易错清单 ● 1．倍角公式：； 有三种等价形式，按已知条件选最方便的。 ● 2．辅助角合成后振幅为 ，不是 ；周期为 （自变量系数 时）。 ● 3．图象变换顺序不同结果不同：先相位后周期，与先周期后相位平移量不同。 ● 4．由图求解析式用最高点/零点/周期定 ，再代点求 并验象限。 ▶ 方法总结墙 （1）倍角：统一角、降幂、求值的桥梁。（2）辅助角：同频正弦余弦合成一个，便于求最值周期。（3）参数： 中振幅 、周期 |、初相 。（4）应用：周期现象用正弦型函数建模，由数据定参数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 19 讲 5.5 三角恒等变换 · 5.6 函数 y=Asin(ωx+φ) · 5.7 应用 ▶ 预习目标 ● 1．掌握二倍角公式：、。 ● 2．会用辅助角公式 化简。 ● 3．理解 中参数意义：振幅 、周期 、初相 。 ● 4．会由图象求解析式，会解决简单的三角函数应用问题。 ▶ 知识回顾 由两角和差公式可推出倍角、降幂、辅助角等恒等变形；由 通过振幅、周期、相位变换得到 ，这正是描述简谐运动、振动与波动的数学模型。 ▶ 新知导图 倍角 、 辅助角 图象参数 振幅 、、初相 应用 由关键点求 ；周期现象建模 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 二倍角公式 ；；。降幂公式：、。 ◆ 知识点 02 辅助角公式 ，其中 、。专用于把同频正弦余弦合成一个正弦，便于求最值与周期。 ◆ 知识点 03 函数 y=A·sin(ωx+φ) 的图象与性质 振幅 （决定峰值），周期 ，初相 。由 变换：先相位（）、再周期（ 横向伸缩）、再振幅（ 纵向伸缩）。已知图象求解析式时，用最高点/零点/周期定 。 ◆ 理解提示 用倍角公式注意“统一角”；辅助角合成后振幅为 ，周期为 （自变量 系数 时）。由图求 可代入一个已知点反解并检验象限。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 即 也可用倍角表示为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 用 表示为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【例 2】 化简 可化为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 的振幅（最大值）为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 化简 为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【例 3】 函数 的振幅与周期分别为（ ） A．振幅 ，周期 B．振幅 ，周期 C．振幅 ，周期 D．振幅 ，周期 【变式 3-1】 函数 的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】 函数 的振幅为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】 函数 由 经（ ）得到 A．向右平移 B．向左平移 C．向上平移 D．周期变为 倍 【例 4】 简谐运动 的周期为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 若 的周期为 且振幅为 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式 4-3】 由 得到 ，可先（ ） A．向左平移 再横坐标缩为 B．横坐标缩为 再左移 C．向左平移 再横坐标缩为 D．向上平移 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的公式是（ ） A． B． C． D． 2． 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 3． 函数 的振幅为（ ） A． B． C． D． 4． 的周期为（ ） A． B． C． D． 5． 化简 后其周期（自变量系数 ）为（ ） A． B． C． D． 6． 已知 ，则 为（ ） A． B． C． D． 7． 函数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 8． 的周期是（ ） A． B． C． D． 9． 辅助角 可化为（ ） A． B． C． D． 10． 函数 由 （ ） A．右移 B．左移 C．上移 D．周期变 倍 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 12． 函数 的初相是（ ） A． B． C． D． 13． 简谐运动 的振幅与周期（ ） A．振幅 ，周期 B．振幅 ，周期 C．振幅 ，周期 D．振幅 ，周期 14． 函数 等于（ ） A． B． C． D． 15． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D． ▶ 易错清单 ● 1．倍角公式：； 有三种等价形式，按已知条件选最方便的。 ● 2．辅助角合成后振幅为 ，不是 ；周期为 （自变量系数 时）。 ● 3．图象变换顺序不同结果不同：先相位后周期，与先周期后相位平移量不同。 ● 4．由图求解析式用最高点/零点/周期定 ，再代点求 并验象限。 ▶ 方法总结墙 （1）倍角：统一角、降幂、求值的桥梁。（2）辅助角：同频正弦余弦合成一个，便于求最值周期。（3）参数： 中振幅 、周期 |、初相 。（4）应用：周期现象用正弦型函数建模，由数据定参数。 学科网（北京）股份有限公司 $