5.6 函数y＝Asin（ωx+φ）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质，系统梳理五点法作图、图象变换、由部分图象确定解析式三大核心题型，构建从基础操作（列表描点）到综合应用（参数求解）的学习支架，清晰呈现参数A、ω、φ对函数图象的影响及内在逻辑脉络。 该资料以“题型-典例-变式-过关验收”分层设计为特色，通过五点法作图培养学生几何直观（数学眼光），对比不同变换顺序训练逻辑推理（数学思维），由图象求解析式提升模型意识（数学语言）。典例与变式结合深化理解，过关验收巩固知识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

5.6 函数y＝Asin（ωx+φ） 内 容 导 航 题型1 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 题型2 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 题型3 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 考 点 演 练 题型1 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 解｜题｜知｜识 1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： （1）先确定周期T，在一个周期内作出图象； （2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下： x ωx+φ 0 π 2π y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0 由此可得五个关键点； （3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图． 2．振幅、周期、相位、初相 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相． 函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为． 【典例1】已知函数． （1）在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数f（x）的大致图象，要求：列表，描点，连线； （2）若方程f（x）＝a在x∈[0，π]有两个不同的实数根，求a的取值范围． 【变式1】．已知函数． （1）用“五点法”画函数f（x）在某一个周期内的图象； （2）求f（x）的单调递减区间； （3）当时，求函数f（x）的最值及取得最值时x的值． 【变式2】已知函数f（x）＝2sinx+1． （1）请用“五点法”画出函数f（x）在上的图像（先列表，再画图）； （2）求的解集． 【变式3】已知函数． （1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）； （2）求f（x）的单调递增区间． 题型2 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 解｜题｜知｜识 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 【典例1】想要得到函数的图像，只需将函数的图像（　　） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 【变式1】的图象可以由y＝sinx的图象作的变换得到（　　） A．先向左平移个单位，然后将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的，纵坐标不变 C．先将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，然后向右平移个单位 D．先将横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位 【变式2】将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列区间中，g（x）单调递减的区间是（　　） A． B． C． D． 【变式3】函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．f（0）＝1 B．该函数的解析式为 C．将函数f（x）的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．函数f（x）的减区间为 题型3 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 解｜题｜知｜识 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定． 【典例1】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】函数y＝Asin（ωx+φ）在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式3】函数的部分图象如图所示，把f（x）图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，整体再向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（　　） A．g（x）的图象关于直线对称 B．g（x）的图象关于点中心对称 C．g（x）在上单调递增 D．g（x）在上的最大值是2 过 关 验 收 1．设函数f（x）＝2cos（ωx+φ）对任意的x都有，若设函数g（x）＝3sin（ωx+φ）﹣1，则的值是　　 ． 2．已知函数． （1）用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象； （2）解不等式． 3．已知函数． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）用“五点法”画出f（x）在[0，π]上的图象． 4．设x∈R，函数的最小正周期为π，且． （1）求ω和φ的值； （2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图像； （3）若，求x的取值范围． 5．设函数（0＜ω＜3），将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，函数g（x）的图象关于y轴对称． （1）求ω的值； （2）在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数f（x）在一个周期内的图象； （3）设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 6．为了得到函数的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点向_____平移_____个单位长度．（　　） A．左； B．左； C．右； D．右； 7．为了得到函数的图象，可以把函数g（x）＝cos2x的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 8．将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 9．将函数f（x）＝cos（2x+φ）的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则φ可能的取值是（　　） A． B． C． D． 10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像是由的图像向右平移个单位得到的．若f（x）在上仅有一个零点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C．[1，2） D． 11．为了得到函数y＝3sin（2x），x∈R的图象，只需把函数y＝3sin（x），x∈R的图象上所有的点的（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 12．已知函数f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x，有下列命题： ①为函数f（x）图象的一条对称轴； ②将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）在[0，t]上的最大值为g（0），则t的最大值为； ③f（x）在[0，a]上有3个零点，则实数a的取值范围是； ④函数f（x）在上单调递减，其中错误的命题个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上单调递减，则ω的最大值为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 14．已知函数，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．则下列说法不正确的是（　　） A．函数g（x）是奇函数 B．当时，函数g（x）的值域是[﹣1，2] C．函数g（x）图象关于直线对称 D．函数g（x）在区间上单调递增 15．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位长度得到 B．f（x）在区间上单调递增 C．f（x）的图象关于直线对称 D．关于x的不等式的解集为 16．已知函数，则（　　） A．f（x）的值域为[﹣2，2] B．f（x）的图象关于点对称 C．f（x）在区间单调递减 D．f（x）的图象平移变换后可得y＝sinx的图象 17．将函数f（x）＝2sinx图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）﹣a＝0在上有两个不同的零点x1，x2，则tan（x1+x2）＝ 　 　 ． 18．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（α）＝0，则tan2α＝　 ． 19．设函数，已知f（x1）＝﹣1，f（x2）＝1，且|x1﹣x2|的最小值为．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）在区间上的最大值为 　 ． 20．已知函数． （1）求f（x）最小正周期； （2）将函数f（x）的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数y＝g（x），用五点作图法画出函数g（x）在的图象并求其在该区间上的单调递增区间． 21．已知函数． （1）填写如表，并用“五点法”画出f（x）在[0，π]上的图象； x 0 f（x） （2）将y＝f（x）的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到g（x）的图象，求g（x）的对称轴方程． 22．已知函数． （1）求f（x）在上的值域； （2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间． 23．已知函数． （1）求f（x）的对称中心坐标； （2）将y＝f（x）的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，当时，方程g（x）＝m有解，求实数m的取值范围． 24．已知函数． （1）求f（x）的最大值及对应的x的集合； （2）先将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间． 25．如图，函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象经过点和．将f（x）图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象． （1）求函数g（x）的解析式及其单调递增区间； （2）求函数在上的值域． 26．已知函数的相邻两对称轴间的距离为， （1）求f（x）的解析式； （2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图像，当时，求函数g（x）的值域． 27．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期为2π B． C．点是f（x）图象的一个对称中心 D．直线x＝2π是f（x）图象的一条对称轴 28．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则（　　） A．f（x）的最小正周期为π B． C．将曲线y＝f（x）向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 D．若f（x）在区间（﹣a，a）上单调递增，则 29．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．f（x）的图象关于直线对称 B． C．若，x1≠x2，则 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到f（x）的图象 30．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则　 　 ． 31．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：m）的最小值为 　　 ． 32．已知函数的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则　 　 ． 33．已知函数的部分图象如图所示： （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调递减区间和对称中心坐标； （3）将f（x）的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y＝g（x）在x∈[0，π]的值域． 34．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示． （1）求A，ω，φ． （2）已知函数g（x）＝f（x）+|f（x）|． ①求g（x）的分段解析式； ②若g（x）在[2π，m]上的图象与直线恰有3个公共点，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.6 函数y＝Asin（ωx+φ） 内 容 导 航 题型1 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 题型2 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 题型3 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 考 点 演 练 题型1 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 解｜题｜知｜识 1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： （1）先确定周期T，在一个周期内作出图象； （2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下： x ωx+φ 0 π 2π y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0 由此可得五个关键点； （3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图． 2．振幅、周期、相位、初相 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相． 函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为． 【典例1】已知函数． （1）在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数f（x）的大致图象，要求：列表，描点，连线； （2）若方程f（x）＝a在x∈[0，π]有两个不同的实数根，求a的取值范围． 【答案】（1）作图见解析； （2）[1，2）∪（﹣2，]． 【解答】解：（1）因为， 则列表如下： x 0 π 2π f（x） 0 2 0 ﹣2 0 所以f（x）的图象如图， （2）因为x∈[0，π]，所以， 又，结合（1）中图象，可知f（x）在[0，π]上的图象如图， 因为方程f（x）＝a在x∈[0，π]有两个不同的实数根， 所以f（x）与y＝a的图象有两个交点，故a∈[1，2）∪（﹣2，]． 【变式1】．已知函数． （1）用“五点法”画函数f（x）在某一个周期内的图象； （2）求f（x）的单调递减区间； （3）当时，求函数f（x）的最值及取得最值时x的值． 【答案】（1） （2）函数的单调递增区间为，k∈Z． （3）函数f（x）的最大值为，此时，最小值为﹣1，此时． 【解答】解：（1）列表： 0 π 2π x y 0 2 0 ﹣2 0 在坐标系中描出以上五点，用光滑的曲线连接这五点，得所要求作的函数图象如下所示： （2）由，k∈Z， 可得，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为，，k∈Z． （3）当时，， 所以当，即时，f（x）取得最大值 当，即时，f（x）取得最小值﹣1， 故函数f（x）的最大值为，此时，最小值为﹣1，此时． 【变式2】已知函数f（x）＝2sinx+1． （1）请用“五点法”画出函数f（x）在上的图像（先列表，再画图）； （2）求的解集． 【答案】（1）列表如下： x π sinx 1 0 ﹣1 2sinx+1 2 3 1 ﹣1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得f（x）在上的图像如图所示： （2）． 【解答】解：（1）列表如下： x π sinx 1 0 ﹣1 2sinx+1 2 3 1 ﹣1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得f（x）在上的图像如图所示： （2）由题意可得， 化简得， 由正弦函数的性质可知的解为，k∈Z， 令， 则， 解得，k∈Z， 故不等式的解集为． 【变式3】已知函数． （1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）； （2）求f（x）的单调递增区间． 【答案】（1）函数的图象见解答． （2）函数f（x）的单调递增区间为． 【解答】解：（1）不妨求解函数f（x）在一个周期[0，2π]的图象， 列表， 0 π 2π x y 0 3 0 ﹣3 0 函数f（x）在一个周期内的图象如图所示： （2）：令，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为． 题型2 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 解｜题｜知｜识 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 【典例1】想要得到函数的图像，只需将函数的图像（　　） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 【答案】C 【解答】解：由题意得， 为了得到f（x）的图象，可以将的图象作如下2种变换： ①将g（x）的图象向右平移个单位，得到y＝sin[（x）]＝sin（x）的图象， 然后将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin（2x）的图象； ②将g（x）图象上各点的横坐标变为原来的倍，得到y＝sin（2x）的图象， 然后将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝sin[2（x））＝sin（2x）的图象． 对照各个选项，可知C项符合题意． 故选：C． 【变式1】的图象可以由y＝sinx的图象作的变换得到（　　） A．先向左平移个单位，然后将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的，纵坐标不变 C．先将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，然后向右平移个单位 D．先将横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位 【答案】B 【解答】解：的图象可以由y＝sinx的图象先向右平移个单位可得y＝sin（x），然后将横坐标变为原来的的变换得到． 故选：B． 【变式2】将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列区间中，g（x）单调递减的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数， 令，得， 则g（x）的单调递减区间为． 对于A：当k＝0时，，A正确． 对于BCD：无k∈Z满足条件，故BCD错误． 故选：A． 【变式3】函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．f（0）＝1 B．该函数的解析式为 C．将函数f（x）的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D．函数f（x）的减区间为 【答案】C 【解答】解：对于AB，由图象，得A＝2，，解得， 则， 因为，则，k∈Z， 即，因为0＜φ＜π，所以， 则，故B错误； ，故A错误， 对于C，将f（x）的图象向右平移个单位，即为奇函数，故C正确； 对于D，令， 解得， 即f（x）的减区间为，故D错误． 故选：C． 题型3 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 解｜题｜知｜识 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定． 【典例1】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，f（x）的最大值为A＝2， 周期T＝2（），所以，解得ω＝4， 因为f（）＝0，且（，0）在f（x）的递减区间，所以4φ＝π+2kπ（k∈Z）， 结合|φ|＜π，取k＝0，可得φ，所以． 故选：D． 【变式1】若函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知， T＝2×[（）]，所以ω3， 由函数的图象得Asin（φ）＝0，且， 解得． 故选：C． 【变式2】函数y＝Asin（ωx+φ）在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由图可知，函数y＝Asin（ωx+φ）过点（），， y过点（），，符合题意； 对于B，y不过点（），故B错误； 对于C，不过点（），故C错误； 对于D，y＝2sin（2x）不过点（），故D错误． 故选：A． 【变式3】函数的部分图象如图所示，把f（x）图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，整体再向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（　　） A．g（x）的图象关于直线对称 B．g（x）的图象关于点中心对称 C．g（x）在上单调递增 D．g（x）在上的最大值是2 【答案】D 【解答】解：由函数的部分图象可得A＝2， 可得函数f（x）的最小正周期， 解得ω＝1， 因为，解得， 所以， 把f（x）图象上所有点的纵坐标保持不变横坐标缩短到原来的，得到函数， 把图象整体向右平移个单位长度得， 当时，可得g（）＝2sin±2，故A错； 当时，可得g（）＝2sin2≠0，故不是g（x）图象的对称中心，故B错： 易知g（x）在上单调递增，在上单调递减，故C错； 当时，可得g（x）取得最大值2，故D正确． 故选：D． 过 关 验 收 1．设函数f（x）＝2cos（ωx+φ）对任意的x都有，若设函数g（x）＝3sin（ωx+φ）﹣1，则的值是　　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：∵函数f（x）＝2cos（ωx+φ）对任意的x都有， ∴x是函数f（x）的一条对称轴， ∴cos（ω+φ）＝±1， 即ω+φ＝kπ，k∈Z， ∴φ＝kπω，k∈Z； ∴函数g（x）＝3sin（ωx+φ）﹣1＝3sin（ωx+kπω）﹣1，k∈Z； ∴3sin（ω+kπω）＝3sinkπ﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 2．已知函数． （1）用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象； （2）解不等式． 【答案】（1）图象见详解； （2）． 【解答】解：（1）列表： 0 π 2π x f（x） 0 1 0 ﹣1 0 又当x＝0时，，当x＝π时，， 描点作图，如图所示： （2）因为， 所以，k∈Z， 解得，k∈Z， 故不等式的解集为． 3．已知函数． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）用“五点法”画出f（x）在[0，π]上的图象． 【答案】（1）． （2）图象见解析． 【解答】解：（1）令， ， 解得， 则f（x）的单调递增区间是． （2）列表如下： π 2π x 0 π f（x） 0 1 ﹣1 ﹣3 ﹣1 0 则f（x）在[0，π]上的图象如图所示： 4．设x∈R，函数的最小正周期为π，且． （1）求ω和φ的值； （2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图像； （3）若，求x的取值范围． 【答案】（1）ω＝2， （2）作图见解析 （3） 【解答】解：（1）∵函数f（x）的最小正周期， ∴ω＝2． ∵， 且， ∴． （2）根据（1）知，列表如下： x 0 π 0 π f（x） 1 0 ﹣1 0 f（x）在[0，π]上的图像如图所示： （3）∵，即， ∴， 则， 即． ∴x的取值范围是 5．设函数（0＜ω＜3），将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，函数g（x）的图象关于y轴对称． （1）求ω的值； （2）在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数f（x）在一个周期内的图象； （3）设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）ω＝2； （2）图象见解答过程； （3）（﹣2，﹣1]． 【解答】解：（1）f（x）＝sin（ωx）+2cos（ωx） ＝sinωxcoscoxsin2（cosωxcossinωxsin） sinωxcosωx sin（ωx）， 所以f（x）sin（ωx），将该函数的图象向左平移个单位后得到函数g（x）， 则g（x）sin[ω（x）]sin（ωx）， 该函数的图象关于 y 轴对称，可知该函数为偶函数， 故 kπ，k∈Z，解得ω＝2+6k，k∈Z， 因为 0＜ω＜3， 所以得到ω＝2． （2）由（1）可得函数 f（x）sin（2x）， 列表： x 2x 0 π 2π y 0 0 0 作图如下： （3）由 （1）得到msin（x）cos（2x）（m+1）＝0， 化简得msin（x）+1﹣2sin2（x）+m+1＝0， 令t＝sin（x），x∈[，0]，则t∈[﹣1，]， 关于t的方程﹣2t2+mt+m+2＝0，即（t+1）（2t﹣m﹣2）＝0， 解得t1＝﹣1，t2， 当 t1＝﹣1 时，由 sin（x）＝﹣1，x∈[，0]，可得x， 要使原方程在[，0]上有两个不相等的实数根， 则0， 解得﹣2＜m≤﹣1， 故实数m的取值范围为（﹣2，﹣1]． 6．为了得到函数的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点向_____平移_____个单位长度．（　　） A．左； B．左； C．右； D．右； 【答案】C 【解答】解：把函数y＝sin2x的图像上所有的点向右平移个单位长度可得，． 故选：C． 7．为了得到函数的图象，可以把函数g（x）＝cos2x的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【解答】解：将g（x）＝cos2x的图象向右平移个单位长度得到f（x）． 故选：C． 8．将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题可得g（x）＝cos[2（x）]＝sin2x， 令2kπ2x≤2kπ，解得kπx≤kπ，k∈Z， 即函数g（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）． 结合选项可得只有A符合． 故选：A． 9．将函数f（x）＝cos（2x+φ）的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则φ可能的取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点中心对称， 所以f（x）的图象关于点（，0）对称，可得2φkπ（k∈Z），解得φkπ（k∈Z）， 取k＝0，可得φ的一个值等于，C项符合题意，其它各项均不正确． 故选：C． 10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像是由的图像向右平移个单位得到的．若f（x）在上仅有一个零点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C．[1，2） D． 【答案】A 【解答】解：由平移得， 令f（x）＝0，则（）， 当时，令，则， sint＝0的零点为t＝kπ（），需此区间内仅有一个kπ， 取k＝1，解不等式组，得， 所以ω的取值范围是． 故选：A． 11．为了得到函数y＝3sin（2x），x∈R的图象，只需把函数y＝3sin（x），x∈R的图象上所有的点的（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到 故选：B． 12．已知函数f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x，有下列命题： ①为函数f（x）图象的一条对称轴； ②将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）在[0，t]上的最大值为g（0），则t的最大值为； ③f（x）在[0，a]上有3个零点，则实数a的取值范围是； ④函数f（x）在上单调递减，其中错误的命题个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：由f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x＝（cos2x﹣sin2x）（cos2x+sin2x）+sin2x ． 对于①，， 则为函数f（x）图象的一条对称轴，故①正确； 对于②，， 当x∈[0，t]时，， 由于g（x）在[0，t]上的最大值为g（0），所以，则， 所以t的最大值为，故②正确； 对于③，当x∈[0，a]时，， 因为f（x）在[0，a]上有3个零点， 所以，解得，故③错误； 对于④，当时，， 因为y＝sinx在上单调递减， 所以函数f（x）在上单调递减，故④正确． 故选：A． 13．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上单调递减，则ω的最大值为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后得到， 当时，． 因为g（x）在区间上单调递减， 所以，所以0＜ω≤5，即ω的最大值为5． 故选：B． 14．已知函数，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．则下列说法不正确的是（　　） A．函数g（x）是奇函数 B．当时，函数g（x）的值域是[﹣1，2] C．函数g（x）图象关于直线对称 D．函数g（x）在区间上单调递增 【答案】ACD 【解答】解：对于A，函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到g（x）， 所以函数g（x）是偶函数，故A不正确； 对于B，当时，，所以函数g（x）的值域为[﹣1，2]，故B正确； 对于C，函数g（x）的图象关于点对称，故C不正确； 对于D，函数g（x）在区间上单调递减，故D不正确． 故选：ACD． 15．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位长度得到 B．f（x）在区间上单调递增 C．f（x）的图象关于直线对称 D．关于x的不等式的解集为 【答案】ABC 【解答】解：由函数的部分图象得A＝2， 可得f（0）＝2sinφ＝1，即， 而， 则， 可得， 又2sin（ω）＝0， 则， 解得， 因为f（x）的最小正周期，由图象知， 则，可得ω＝2， 可得， 对于A，y＝2sin2x图象向左平移个单位得到的图象，A正确； 对于B，当时，可得，可得函数f（x）在上单调递增，B正确； 对于C，由于，可得f（x）的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由，得，则， 解得，D错误． 故选：ABC． 16．已知函数，则（　　） A．f（x）的值域为[﹣2，2] B．f（x）的图象关于点对称 C．f（x）在区间单调递减 D．f（x）的图象平移变换后可得y＝sinx的图象 【答案】AC 【解答】解：根据正弦函数的性质，可知sin（2x）∈[﹣1，1]， 所以f（x）＝2sin（2x）∈[﹣2，2]，故A选项正确； 当x时，f（x）＝2sin（）≠0， 所以f（x）的图象不关于（，0）对称，故B选项错误； 当时，， 结合正弦函数的单调性，可知f（x）在区间单调递减，故C选项正确； 因为的周期T，与函数y＝sinx的周期不同， 所以f（x）的图象平移变换后，不可能得到y＝sinx的图象，故D选项错误． 故选：AC． 17．将函数f（x）＝2sinx图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）﹣a＝0在上有两个不同的零点x1，x2，则tan（x1+x2）＝ 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：先将函数f（x）＝2sinx图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到y＝2sin2x的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象， 因为，所以， 令，则， 原问题等价于关于t的方程2sint﹣a＝0在上有两个不等的实数根t1，t2， 由正弦函数的对称性知，t1+t2＝2π， 所以，即， 所以． 故答案为：． 18．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（α）＝0，则tan2α＝　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得， 将f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，可得f（2x）的图象， 所以，可得， 即，所以，即， 所以 ． 故答案为：． 19．设函数，已知f（x1）＝﹣1，f（x2）＝1，且|x1﹣x2|的最小值为．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）在区间上的最大值为 　 ． 【答案】． 【解答】解：函数，f（x1）＝﹣1为函数最小值，f（x2）＝1为函数最大值， 因为|x1﹣x2|的最小值为， 则T，ω＝4，f（x）＝cos（4x）， 将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）， 得到g（x）＝2cos（4x）， 当x∈时，4x∈[]， 故， 故函数的最大值为． 故答案为：． 20．已知函数． （1）求f（x）最小正周期； （2）将函数f（x）的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数y＝g（x），用五点作图法画出函数g（x）在的图象并求其在该区间上的单调递增区间． 【答案】（1）π； （2）单调递增区间为，图象如图所示： 【解答】解：（1）由题意得， 可得f（x）的最小正周期为； （2）将f（x）的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变， 可得函数的图象，然后将所得图象向右平移个单位长度， 可得到函数， 根据“五点作图法”，列表如下： x 0 0 π g（x） 0 2 0 ﹣2 将（0，），（，0），（，2），（，0），（，0），（，）描成平滑的曲线， 可得函数g（x）在的图象，如下图所示： 观察图象，可得g（x）在上的单调递增区间为． 21．已知函数． （1）填写如表，并用“五点法”画出f（x）在[0，π]上的图象； x 0 f（x） （2）将y＝f（x）的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到g（x）的图象，求g（x）的对称轴方程． 【答案】（1）答案见解析， （2）x，k∈Z． 【解答】解：（1）由题意可得表格如下： π 2π x 0 π f（x） 0 0 可得图象如下图所示： （2）将y＝f（x）的图象向上平移1个单位得到的图象，再将横坐标缩短为原来的可得到的图象，再向右平移个单位可得的图象， 即． 令4xkπ，解得x， 所以g（x）的对称轴方程是x，k∈Z． 22．已知函数． （1）求f（x）在上的值域； （2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间． 【答案】（1）f（x）∈[1，2]； （2），k∈Z． 【解答】解：（1）由题意可得f（x）， 因为，则， 所以， 故f（x）∈[1，2]； （2）将f（x）的图象向右平移个单位长度， 可得， 再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍， 得到的图象， 由，k∈Z，可得，k∈Z， 所以g（x）的单调递减区间为，k∈Z． 23．已知函数． （1）求f（x）的对称中心坐标； （2）将y＝f（x）的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，当时，方程g（x）＝m有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题意得f（x）sin2x+22 sin2x+cos2x+3＝2sin（2x）+3， 根据，解得， 所以f（x）图象的对称中心为； （2）由（1）可得， 将f（x）图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍， 可得y＝f（）＝2sin（x）+3的图象， 然后将所得图象向右平移个单位，可得g（x）＝2sinx+3的图象， 当时，，可得， 因此，若方程g（x）＝m有解，则实数m的取值范围为． 24．已知函数． （1）求f（x）的最大值及对应的x的集合； （2）先将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间． 【答案】（1）f（x）max＝2，相应x的取值集合为； （2），k∈Z． 【解答】解：（1）由题意得，可得f（x）最大值为2， 当f（x）取最小值时，，k∈Z，解得，k∈Z， 所以f（x）取得最大值时，相应x的集合为； （2）将函数f（x）的图象向右平移， 可得，的图象， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，可得的图象， 令，解得，k∈Z， 可得g（x）的递增区间为，k∈Z． 25．如图，函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象经过点和．将f（x）图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象． （1）求函数g（x）的解析式及其单调递增区间； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1）[，]，k∈Z； （2）[﹣2，1]． 【解答】解：（1）由题意可得，T＝2（）＝2π， 故ω＝1， 由五点作图可得，则，f（x）＝sin（x）， 将f（x）图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度， 得到函数g（x）＝2sin（2x）， 令，k∈Z， 则x，k∈Z， 故g（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z； （2）2sin（2x）﹣2sin2x sin2x﹣cos2x﹣2sin2x sin2x﹣cos2x ＝﹣2sin（2x）， 当x时，， 所以sin（2x）≤1， 所以g（x）在上的值域为[﹣2，1]． 26．已知函数的相邻两对称轴间的距离为， （1）求f（x）的解析式； （2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图像，当时，求函数g（x）的值域． 【答案】（1）f（x）＝2sin2x； （2）． 【解答】解：（1）函数， 整理得：， 由于相邻两对称轴间的距离为， 故函数的周期为π， 故ω＝2， 所以f（x）＝2sin2x； （2）函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图像， 由于， 故， 所以． 27．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期为2π B． C．点是f（x）图象的一个对称中心 D．直线x＝2π是f（x）图象的一条对称轴 【答案】C 【解答】解：由图像可以看出，T＝4π⇒，选项A错误．φ，φ．故函数解析式f（x）＝2sin（x），选项B错误．，，当k＝2时，，故选项C正确．，，无论k取何值，x都不可能为2π，故选项D错误． 故选：C． 28．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则（　　） A．f（x）的最小正周期为π B． C．将曲线y＝f（x）向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 D．若f（x）在区间（﹣a，a）上单调递增，则 【答案】AD 【解答】解：由于，故ω＝2，则Tπ，故A正确； 由于A＝2，则f（x）＝2cos（2x+φ），故，即，k∈Z， 所以，k∈Z， 而，故，故B错误； 由于， 故将曲线y＝f（x）向右平移个单位长度后得到的图象， 该图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误； 当时，，当时，， 由于y＝cosx在（﹣π，0）上单调递增，在（0，π）上单调递减， 故在上单调递增，在上单调递减， 故由f（x）在区间（﹣a，a）上单调递增，得，故D正确． 故选：AD． 29．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．f（x）的图象关于直线对称 B． C．若，x1≠x2，则 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到f（x）的图象 【答案】ABD 【解答】解：由图知，最小正周期Tπ， 所以ω2， 由图知，函数f（x）的图象过点（，A）， 所以， 所以，即， 又，所以， 所以， 由，得A＝2， 所以， 选项A，因为， 所以f（x）的图象关于直线对称，故选项A正确； 选项B，，故选项B正确； 选项C，令f（x）＝2sin（2x），则， 所以或， 解得或， 因为，x1≠x2， 所以，故选项C错误； 选项D，将函数的图象向左平移个单位长度可得f（x），故选项D正确． 故选：ABD． 30．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，过点B作x轴的垂线，垂足为C， 因为在直角△ABC中，，，|AC|2+|BC|2＝10， 解得|BC|＝1，|AC|＝3，f（x）的最大值为A＝1， 因为， 所以f（x）的周期T＝4， 可得， 可得， 因为，可得， 又|φ|＜π， 所以，解得， 由于f（x）是周期为4的函数， 所以是周期为12的周期函数， 可得， 因为，，， ，，，， 可得． 故答案为：． 31．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：m）的最小值为 　　 ． 【答案】2． 【解答】解：根据函数y＝4sin（x+φ）+k的图象知，这段时间水深最大值为4+k＝10， 解得k＝6，所以这段时间水深的最小值为﹣4+6＝2． 故答案为：2． 32．已知函数的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为函数f（x）＝3sin（ωx+φ）的最小正周期为π，所以； 又因为函数f（x）图象关于直线对称，可得， 可得，且，所以，所以， 所以． 故答案为：． 33．已知函数的部分图象如图所示： （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调递减区间和对称中心坐标； （3）将f（x）的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y＝g（x）在x∈[0，π]的值域． 【答案】（1）f（x）＝2sin（2x）﹣1． （2）函数的对称中心为（kπ，﹣1），k∈Z．f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z． （3）函数y＝g（x）在x∈[0，π]的值域为（，2]． 【解答】解：（1）根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象， 由图可知，，解得T＝π，可得ω＝2， 由于2A＝1﹣（﹣3）＝4，可得：A＝2，由2b＝1+（﹣3）＝﹣2，可得：b＝﹣1， 将（，1）代入y＝2sin（2x+φ）﹣1，可得：1＝2sin（2φ）﹣1，可得sin（2φ）＝1， 可得：2φ＝2kπ，k∈Z，解得：φ＝2kπ，k∈Z， 由于|φ|，则φ， 可得f（x）＝2sin（2x）﹣1． （2）令2xkπ，求得xkπ，k∈Z，故函数的对称中心为（kπ，﹣1），k∈Z． 令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，可得f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z． （3）将f（x）的图象向右平移个单位，可得y＝2sin[2（x）]﹣1＝2sin（2x）﹣1的图象； 再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sin（x）﹣1的图象； 最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）＝2sin（x） 的图象， 因为x∈[0，π]，可得x∈[，]， 可得sin（x）∈[，1]，可得g（x）∈（，2]，即函数y＝g（x）在x∈[0，π]的值域为（，2]． 34．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示． （1）求A，ω，φ． （2）已知函数g（x）＝f（x）+|f（x）|． ①求g（x）的分段解析式； ②若g（x）在[2π，m]上的图象与直线恰有3个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1）A＝4，，； （2）①； ②[6π，7π）． 【解答】解：（1）由f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝4，T＝2×（）＝4π，所以ω． 由f（x）的图象过点（，4），所以φ2kπ（k∈Z），解得φ2kπ（k∈Z）， 因为|φ|＜π，所以φ． （2）①当f（x）＝4sin（x）≥0时，g（x）＝2f（x）＝8sin（x）， 此时2kπxπ+2kπ（k∈Z），解得4kπ≤x4kπ（k∈Z）． 当f（x）＝4sin（x）＜0时，g（x）＝f（x）﹣f（x）＝0， 此时﹣π+2kπx2kπ（k∈Z），解得4kπ＜x4kπ（k∈Z）． 所以． ②由x∈[2π，m]，得． 由，得， 即或， 因为g（x）在[2π，m]上的图象与直线恰有3个公共点， 所以， 解得6π≤m＜7π，即m的取值范围是[6π，7π）． 学科网（北京）股份有限公司 $