第2章 锐角的正弦、余弦、正切 单元测试 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

**基本信息** 湘教版2024九年级上第2章锐角三角函数单元卷，以科技（神舟发射）、文化（赵爽弦图）等真实情境为载体，覆盖三角函数定义、特殊角值及解直角三角形应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|特殊角三角函数值（1-3题）、仰角应用（4题）、格点图形正切（6题）|结合神舟发射考仰角（4题），赵爽弦图渗透文化（12题）| |填空题|5题|网格正弦（13题）、坡度计算（14题）、三角形边角关系（15题）|港口航行距离（16题）体现实际应用| |解答题|5题|三角函数计算（18题）、四边形综合（19题）、斜坡工程（21题）、消防救援动态问题（22题）|分层设计，从基础计算到含参数动态应用（22题），符合核心素养要求|

湘教版（2024）九年级上 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=5，则sin∠A=（　　） A． B． C． D．1 3．已知，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点B时，位于海平面C处的雷达测得AC的水平距离为m千米，仰角为α，则此时火箭距海平面的高度AB为（　　） A．千米 B．mtanα千米 C．千米 D．msinα千米 5．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，，则BC的长为（　　） A．5 B．12 C．13 D．15 6．如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC=（　　） A． B． C． D． 7．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC=90米，则河流的宽度CD=（　　） A．160米 B．米 C．米 D．米 8．如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了10米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB的长为（　　） A．10cosα米 B．10sinα米 C．10cotα米 D．10tanα米 9．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平长度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m,又量得竿底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的坡度为（　　） A． B．3 C． D．4 10．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为边BC上的中线，点E在AD上，且DE=2AE．若BC=8，AB=5，则cos∠ACE的值为（　　） A． B． C． D． 12．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则cos∠DGE等于（　　）​ A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为 ______． 14．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是，水平宽米，则坡面AB的长度是______米． 15．如图，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3；则AC的长为 ______． 16．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16n mile的速度沿北偏西50°方向航行，“海天”号以每小时20n mile的速度沿北偏东40°方向航行，它们离开港口半小时后分别位于R、Q处，此时两艘轮船相距______n mile. 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，点D是AB边上一点，连接CD并延长至E，使DE=2CD，点F在CB的延长线上，且，连接EF．若EC=EF，，则CE的长为______． 三．解答题（共5小题） 18．计算： （1）sin30°+cos60°-tan45°； （2）sin245°-3tan30°+|1-tan60°|． 19．如图，某学校有一块四边形草坪ABCD，∠ABC=90°，AB：BC：CD：AD=2：2：3：1，AB=4m,为方便师生行走，现要修一条小路AC． （1）求小路AC的长（结果保留根号）． （2）求∠BAD的度数． 20．生态公园是以生态学和生态文化为核心理念，融合传统城市公园与主题公园特征的新型城市公园形态．如图，某生态公园有A，B，C三个停车场，AB=424米，∠A=54°，． （1）求点B到AC的距离． （2）求AC的长． （sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1） 21．如图，已知斜坡AB长为60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE． （1）若修建的斜坡BE的坡角为45°，求平台DE的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物GH距离A处30米远（即AG为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果保留根号） 22．随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中AC可伸缩，已知套管OA=4米，且套管OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得∠ABD=53°，∠COD=37°． （1）求此时液压杆AB的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC′=27°，过点C′作∠C′G⊥OD，垂足为G，过点C作CE⊥OD，垂足为E，CH⊥C′G，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即C′H=3米），求AC伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） 湘教版（2024）九年级上 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、A 3、A 4、B 5、C 6、A 7、B 8、D 9、B 10、A 11、B 12、D  二．填空题（共5小题） 13、； 14、8； 15、； 16、2； 17、；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）原式=+-1 =1-1 =0； （2）原式=（）2-3×+-1 =-+-1 =-． 19、解：（1）∵AB：BC=2：2，∠ABC=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC=4m, ∴AC2=AB2+BC2=4m, ∴小路AC的长为4m； （2）∵AB：BC：CD：AD=2：2：3：1，AB=4m, ∴AD=2m,BC=4m,CD=6m, ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC=4m,∠BAC=45°， AC2+AD2=（4）2+22=36（m），CD2=62=36（m）， ∴AC2+AD2=CD2， ∴△ACD为直角三角形， ∴∠CAD=90°， ∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°， ∴∠BAD的度数为135°． 20、解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D． 在Rt△ABD中， ∵sinA=， ∴BD=sinA•AB =sin54°•AB ≈0.81×424 =343.44 ≈343.4（米）． （2）在Rt△ABD中， ∵cosA=， ∴AD=cosA•AB =cos54°•AB ≈0.59×424 =250.16（米）． 在Rt△CBD中， ∵tanC=， ∴CD= = =BD ≈×343.44 =429.3（米）． ∴AC=AD+CD =250.16+429.3 =679.46 ≈679.5（米）． 21、解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角为45°， ∴∠BEF=45°， ∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30米， ∴，米， ∴（米）， ∴平台DE的长为 米； （2）过点D作DP⊥AC，垂足为P． 在Rt△DPA中，米， ∴米， ∴在矩形DPGM中，MG=DP=15米，DM=PG=PA+AG=15+30（米）， 在Rt△DMH中，（米）， 则GH=HM+MG=15+10+15=30+10（米）， 答：建筑物GH的高度为（30+10）米． 22、解：（1）过点A作AE⊥BD， 在Rt△AEO中，OA=4米，∠COD=37°， ∴（米）， 在Rt△AEB中，∠ABD=53°， ∴（米）； （2）由题意，得：GH=CE， 在Rt△COE中，∠COD=37°， ∴米， ∴GH=CE=0.6OC米， ∵OC′=OC，∠COC′=27°， ∴∠C′OG=37°+27°=64°， 在Rt△C′OG中，∠C′OG=64°， ∴C′G=OC′•sin64°≈0.9OC′米， ∵C′H=C′G-GH=0.9OC′-0.6OC=0.3OC=3米， ∴OC=10米， ∴AC=OC-OA=6米， 故：AC伸长到的最大长度为6米． 学科网（北京）股份有限公司 $