第2章 锐角的正弦、余弦、正切（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 湘教版九年级锐角三角函数单元培优卷，120分钟120分，25题覆盖单选、填空、解答，知识全面且梯度分明，通过真实情境与创新问题考查数学眼光、思维及语言能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|锐角三角函数定义（1题）、仰角俯角（3题）、正方体展开图（7题）|结合深圳开学考等真题，考查几何直观与空间观念| |填空题|6/18|坡度计算（13题）、菱形面积（14题）、赵爽弦图（15题）|融入文化传承与实际应用，体现数据意识| |解答题|9/72|测量古塔高度（21题）、手机支架问题（24题）、折纸探究（25题）|分层设计，从基础计算到创新探究，如25题以折纸活动发展推理能力与创新意识|

第2章 锐角的正弦、余弦、正切·培优卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 5．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·安徽·阶段检测）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，实线部分是一个正方体展开图，点，，，，均在的边上，则的值为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 9．（2026·吉林·模拟预测）图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 10．正方形的边长为8，点E、F分别在边、上，将正方形沿折叠，使点A落在处，点B落在处，交于G．下列结论错误的是（     ） A．当为中点时，则 B．当时，则 C．连接，则 D．当（点不与、重合）在上移动时，周长随着位置变化而变化 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若为锐角，，则_____________. 12．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 13．（25-26九年级下·辽宁朝阳·期中）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 14．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是______． 15．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是100，小正方形面积是20，则____________． 16．（2026·广东清远·二模）如图1，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图2的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），车辆在正下方通过，其中，，，米，那么该地下车库的车辆限高的高度为________米． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 18．（6分）（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AE平分∠BAC，BE=5，cosB=0.8，求AD的长． 20．（8分）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 21．（8分）（24-25八年级下·山东·期末）在一次数学实践活动中，小刚同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内． (1)求点到地面的距离． (2)求古塔的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 22．（9分）（24-25九年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 23．（9分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，过点A作分别交，于点E，F，过点E作交于点G． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 24．（10分）（25-26九年级上·江西南昌·期末）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． （参考数据：） (1)如图2，当三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 25．（10分）数学上的对称通常是指轴对称、中心对称，以及对称的思想方法．某数学兴趣小组进行折纸活动，来感受图形中的对称思想．如图1，将正方形纸片对折后展开，得到折痕；如图2，将纸片再次折叠，使点落在折痕上，记作点；如图3，连接，得到． (1)请判断：是　 　三角形； 【问题提出】 兴趣小组成员想要进一步找到正方形中最大的等边三角形． 【问题探究】 如图4，小颖认为正方形中最大等边三角形的顶点一定落在正方形的边上，她将图4的沿进行平移，使点与点重合（如图5），再将绕点旋转，使与对角线垂直，延长分别交于点和（如图6），连接，便可得到如图7的最大等边三角形．设正方形的边长为． (2)小丽利用对称的思想，即关于直线对称，从而求得，则　 　．（，，） (3)若不知道角的三角函数值，请你换一种方法求的长． 【问题解决】 (4)如图8，已知正六边形中最大的等边三角形边长为，则该正六边形的边长为　 　． 【拓广应用】 (5)纸的长为，宽为，现要在纸中剪一个最大等边三角形．请你在图9中画出示意图（不需尺规作图），并求该最大等边三角形的边长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 锐角的正弦、余弦、正切·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵在中，，a、b、c分别是、、的对边， 如图： 根据锐角三角函数定义： 对选项A，，不正确， 对选项B，，不正确， 对选项C，，正确， 对选项D，，不正确． 2．在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： ∵ ，，， ∴ 由勾股定理得 ， ∵ ， ∴ ． 3．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正切值求出，再求出即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 5．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 6．（25-26九年级下·安徽·阶段检测）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 7．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，实线部分是一个正方体展开图，点，，，，均在的边上，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 先设过点与垂直的线段与的交点为，过点作与交于点，设与的交点为点，设每个小正方形的边长为，再根据勾股定理求出和，然后证明，最后根据等角的三角函数值相同求解即可． 【详解】解：如图，设过点与垂直的线段与的交点为，过点作与交于点，设与的交点为点，设每个小正方形的边长为， ∵中，，，， ∴根据勾股定理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，即求的长，求得∠BAC＝30°，进而解即可求解． 【详解】如图，    ∵底部是边长为120m的正方形， ∴BC＝×120＝60m， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴AB＝＝120m， ∴AC＝＝m． 答：这个金字塔原来有米高． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 9．（2026·吉林·模拟预测）图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 10．正方形的边长为8，点E、F分别在边、上，将正方形沿折叠，使点A落在处，点B落在处，交于G．下列结论错误的是（     ） A．当为中点时，则 B．当时，则 C．连接，则 D．当（点不与、重合）在上移动时，周长随着位置变化而变化 【答案】D 【分析】当为中点时，设，则，根据勾股定理列出方程求解，即可判断A选项；当时，设，，，根据求出a的值，进一步求得，即可判断B选项；过点E作于点M，连接交于点N，交于点Q，证明，即可判断C选项；过点A作于点H，连接，，先证，可得，，再证，可得，从而将转化为，即可判断D选项． 【详解】解：A、∵正方形的边长为8，为中点， ∴，，， 由折叠可得， ∴设，则， ∵在中，， ∴，解得， ∴，， ∴在中，．故A选项正确． B、当时，设，，，则， ∵， ∴，解得， ∴， ∴．故B选项正确． C、过点E作于点M，连接交于点N，交于点Q， ∴， ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 由翻折可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴．故C选项正确； D、过点A作于点H，连接，，则， 由折叠可得，， ∵ ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴当在上移动时，周长不变．故D选项错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若为锐角，，则_____________. 【答案】   【详解】∵，tan60o=, ∴=, 又∵为锐角, ∴a=． 故答案是． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 13．（25-26九年级下·辽宁朝阳·期中）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再由正切函数定义求解即可． 【详解】解：在中，，，则由勾股定理可得， ． 14．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是______． 【答案】80 【分析】本题考查了锐角三角函数、菱形的性质，掌握正弦的定义是解题的关键．先画出符合题意的菱形，作交于点，利用正弦的定义求出，再利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，菱形的边长为10，，作交于点， 在中，， ， 菱形的面积． 故答案为：80． 15．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是100，小正方形面积是20，则____________． 【答案】 【分析】设，由题意得，，，根据两个正方形的面积和勾股定理可得，，，据此可求出，解直角三角形得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，设， 由题意得，，， ∵大正方形的面积是100，小正方形面积是20， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 16．（2026·广东清远·二模）如图1，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图2的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），车辆在正下方通过，其中，，，米，那么该地下车库的车辆限高的高度为________米． 【答案】 【分析】过点作，过点作交于点，由、，结合，推得．在中，利用三角函数求得，进而即可得到限高的高度． 【详解】解：如图，过点作，过点作交于点， 则， ， ， ， 在中，，，米， （米）， 米， （米）． 答：该地下车库的车辆限高为米． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 18．（6分）（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）根据三角函数定义求出，根据特殊角的三角函数值，求出结果即可； （2）过点A作于点E，根据三角函数求值，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点E，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AE平分∠BAC，BE=5，cosB=0.8，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）证AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出结论； （2）先由锐角三角函数定义求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得EC=EF=3，最后由平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=∠CAD=90°， ∴AD∥CE， ∵AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：∵EF⊥AB， ∴∠BFE=90°， ∵cosB==，BE=5， ∴BF=BE=×5=4， ∴EF===3， ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE=90°， ∴EC=EF=3， 由（1）得：四边形AECD是平行四边形， ∴AD=EC=3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键． 20．（8分）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． 21．（8分）（24-25八年级下·山东·期末）在一次数学实践活动中，小刚同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内． (1)求点到地面的距离． (2)求古塔的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】(1)点到地面的距离为 (2)古塔的高度为 【分析】本题考查解三角形的实际应用． （1）利用坡度比，设，，在中，由勾股定理列方程求解得到和，即可解答； （2）作于点，则四边形是矩形，在中，由三角函数定义求出，数形结合，由代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，斜坡的斜面坡度，， 设，， 由勾股定理可得， 即，解得（负值已舍）， ，， 点到地面的距离为． （2）解：如图所示：作于点， 则四边形是矩形， ， ， 在中，，， 则，即， 解得， ， 答：古塔的高度为． 22．（9分）（24-25九年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴的长为6； （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 23．（9分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，过点A作分别交，于点E，F，过点E作交于点G． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由菱形的性质得，，，则，由，得，因为，所以，而，可证明，则； （2）连接，由，，推导出，由，得，由，求得，则，可证明，则，所以，由，求得，则，即可由，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，对角线交于点O， ∴， ∴， ∵交于点G， ∴， ∵分别交于点E，F， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 24．（10分）（25-26九年级上·江西南昌·期末）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． （参考数据：） (1)如图2，当三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点D作交于点，过点C作，交于点K，交于点H，则，，得，由得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作，垂足为E， ， ， 在中，， ， ， ， 端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作交于点，过点C作，交于点K，交于点H， 由题意得，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 25．（10分）数学上的对称通常是指轴对称、中心对称，以及对称的思想方法．某数学兴趣小组进行折纸活动，来感受图形中的对称思想．如图1，将正方形纸片对折后展开，得到折痕；如图2，将纸片再次折叠，使点落在折痕上，记作点；如图3，连接，得到． (1)请判断：是　 　三角形； 【问题提出】 兴趣小组成员想要进一步找到正方形中最大的等边三角形． 【问题探究】 如图4，小颖认为正方形中最大等边三角形的顶点一定落在正方形的边上，她将图4的沿进行平移，使点与点重合（如图5），再将绕点旋转，使与对角线垂直，延长分别交于点和（如图6），连接，便可得到如图7的最大等边三角形．设正方形的边长为． (2)小丽利用对称的思想，即关于直线对称，从而求得，则　 　．（，，） (3)若不知道角的三角函数值，请你换一种方法求的长． 【问题解决】 (4)如图8，已知正六边形中最大的等边三角形边长为，则该正六边形的边长为　 　． 【拓广应用】 (5)纸的长为，宽为，现要在纸中剪一个最大等边三角形．请你在图9中画出示意图（不需尺规作图），并求该最大等边三角形的边长． 【答案】(1)等边； (2)； (3)； (4)； (5)最大等边三角形的边长是． 【分析】（1）由折叠的性质可知：进而得到，再利用等边三角形的判定即可解答； （2）根据余弦的定义得到，进而解得的值； （3）根据等腰直角三角形的性质及勾股定理即可解答； （4）画出图形，由锐角三角函数列出算式即可得到正六边形的边长； （5）画出图形，由锐角三角函数列出算式即可得到最大等边三角形的边长； 【详解】（1）解：如图： 由折叠可知， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 故答案为：等边； （2）解：如图： 在中，， ∴即， 解得 故答案为： （3）解：如图： ∵关于直线对称， ∴，是等腰直角三角形， 设，则， 在中， ∴， 解得或（小于，舍去）， ∴ （4）解：如图： 是正六边形中最大边长的等边三角形，过作于， ∵， ∴由对称性可得， ∵， ∴， 在中， ， ∴即， 解得， ∴正六边形的边长为， 故答案为： （5）解：如图： 即为最大等边三角形，过作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴即， 解得 ∴最大等边三角形的边长是． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，翻转变换，锐角三角函数，勾股定理，等边三角形，掌握翻折的性质并灵活应用是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $