第2章 锐角的正弦、余弦、正切 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

=10. 18.解：(1)如图，△AB1C即为所求.点B1,C的坐标分别为B1(6,6),C(9,3).(2)31 1解：：AB/CD△ABEn△DCE器-品-8-号：CD/EP,÷8器 器=号(2②器=号器=是.：CD∥E球，△BEFABCD,需-= 景EF=号CD=6 20.(1)证明：.四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD..∠AEB=∠DAE.,∠B= ∠AED,△ABE△DEA.(2)解：：四边形ABCD是菱形，.AD=AB=6.由(1)知 AABEOA△DEBA,S=(5)'-(告）'-手 S△DEA 21.(1)证明：，AD平分∠BAC,AF平分∠EAD,.∠BAC=2∠BAD,∠EAD= 2∠BAD,∠BAC=∠EAD又：能-是△AEDO△ABC,(2)解：由(I)知 △AEDx∽△ABC,.∠E=∠B.∠EFA=∠BFD,..∠EAB=∠EDB..∠EAB= ∠BAD,∴∠EDB=∠BAD.又F∠B=∠B,△BDFO△BAD.昭=S,即4 -子AB=是 2.解：由题意，得∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°，∴△ABC∽△CED, =器即哈8-能DE=1.2nCE/FH,△CED△HFD.器-8器即 是g-P5DF=6mEF=DB+DF=,2m答：河的宽度EF为7,2m 23.(1)解：∠ACB=90°，AB=6√5，BC=6,∴AC=√AB2-BC=12.CE=3, ∴AE=AC-CE=9.AB/CD,心△CDEn△ABE.8-,即C0-CD =26.(2)证明：BC=6,CE=3,AC=12器=%=合器=怒又 :∠BCE=∠ACB=90°，∴△BCE∽△ACB..∠CBE=∠A.AB∥CD,∠A= ∠DCE.∴∠DCE=∠CBE.又∠D=∠D,∴.△CDE∽△BDC. 24.(1)证明：E是AB的中点，.AB=2BE.AB=2CD,.CD=BE.又AB∥CD, ∴四边形BCDE是平行四边形.∴.DE∥BC.∴△EDM△FBM.(2)解：：F是BC的 中点，.BC=2BF.由(1)知四边形BCDE是平行四边形，.DE=BC=2BF.由(1)知 △EDM△FBM,-B器=2.BM=号BD=合×12=(3)解：存在.如图， :AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD.:BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.∴∠CDB= ∠CBD.∴.CD=BC.由(I)知四边形BCDE是平行四边形，.四边形BCDE是菱形. ∴.DE=BE=AE.AD=BC,.AD=DE=AE.△ADE是等边三角形.∴∠AED= 60,:AB∥CD,∴∠CDE=∠AED=60.∴∠BDC=号∠CDE=30.:DP·BP BF.CD,B器-S器又：∠CDB=∠CBD,∴△PDCAFBP.∠PCD=∠BPR 37 ,∠BPC=∠BDC+∠PCD=∠CPF+∠BPF,∴∠CPF=∠BDC=3O°. 1 第2章综合评价 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.D8.A9.A10.A 1412.1013号42g15号 16.(1)35(2)(50V2-30) 17.解：原式=2×号+号+()°=2， 18.解：在△ABC中，：∠C=90°，a=10,b=10W3,∴c=Va+6=20,tanA= b 3.六∠A=30.∠B=90°-∠A=60 19.解：过点C作CH⊥AB于点H.在Rt△ACH中，∠A=30°，AC=4√3，.CH= AC-2,AH-AC.cos A-6.AB-10.BH-AB-AH-4.'.tan B- 令：污潢部分的内容是受 2 20.解：由题意，得∠A=∠ACE=37°，∠ADB=53°..∠CBD=∠A+∠ADB=90°. .∠ABD=180°-∠CBD=90°.在Rt△BCD中，CD=100m,∠BDC=90°-∠ADB= 37°，∴.BD=CD·cos∠BDC≈100X0.80=80(m).在Rt△ABD中，∠A=37°，∴AB =D%≈107m.答A,B两点间的距离约为107n 21.解：(1)在Rt△ABC中，AC=BC·tanB=4.(2)设BD=AD=x,则CD=BC-BD =8-x.在Rt△ADC中，AD2=AC+CD2,即x2=42+(8-x)2,解得x=5.∴.CD=8 -z=&.在R△ADC中，sn∠DAC-器-号. 22.解：延长DA,交PE于点F.由题意，得DF⊥PE,AD=BC=2m,EF=AB= 1.6m设PFm在R△PAF中，a58,AF=。号mDF=AF+AD -(停+2)m在R△PnF中，g0DF=-xm营+2=，解得 x≈1.81..PF=1.81m..PE=PF+EF≈3.4m.答：路灯顶部P到地面的距离PE 约为3.4m. 23.解：(1)过点D作DF⊥BC于点F.:AE⊥BC,∴.DF∥AE..△CDFD△CAE. ÷E是：CD=2AD,器=号：AE=9,Pg=号∴DF=6在R△BDF 9 中，n∠CBD=S-是即品=∴BD=8.(2)由1D知DF=6,BD=8,∠DFB =90°，∴BF=√BD2-DF=2√7.BD=CD,DF⊥BC,∴.CF=BF=2W7.DF∥ AE,CD=2AD,.CF=2EF.EF=CF=7..BE-BF-EF-/7.'.tan /BAE _BE_7 ΓAE9 24.解：)当∠A=90'时，AB=AC,BC=VAB+AC=EAB,∴sad90°=9 EAB=2.(20<sadA<2(3)延长AC到点D,使得AD=AB,连接BD.”sinA= AB 38 器-号设BC=3,AB=5k在R△ABC中，由勾殷定理：得AC=VAS一BC 4k,∴.CD=AD-AC=AB-AC=5k-4k=k.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD= √CD+BC=V+(3严=√0k.∴在等腰三角形ABD中，sadA=D=四 LAD 5 期中综合评价 1.C2.B3.C4.C5.C6.A7.A8.B9.D10.D 1.-3 12.△BCE△FDE(答案不唯一)13.>14.(130+90√3)15.2 16.1号 28 17.解：原式=23×+1-4×() =3+1-3=1. 18.解：(1)如图，△A1B1C即为所求.(2)A1(-2,-8),B1(-6,-2),C1(-8,-6). 19.解：DE⊥AB,∴∠DEB=∠DEA=90.在Rt△BDE中，BD=5,cosB=5, 4 ∴.BE=BD·cosB=4..DE=√BD-BE=3.:AD平分∠BAC,∠C=90, ∠DEA=90,CD=DE=3.∴BC=BD+CD=8.在Rt△ABC中，cosB=号，AB -BC cos B-10.AC-/AB-BC=6. 20.(1)证明：：∠ABE=∠ACB,∠A=∠A,∴.△ABED△ACB.(2)解：△ABE∽ △ACB,是-怎即是=音：AC=9.CE=AC-AE=5:AB/CD,△ABE ∽△cDE部能即品-台CD-号 21.(1)证明：AE⊥AD,∴∠DAE=90°=∠BAC.∴∠BAC-∠CAD=∠DAE- ∠CAD,即∠BAD=∠CAE“铝-e能=0△ABDn△ACE,(2)解： △ABDn△ACE,∴.∠B=∠ACE.:∠B+∠BCA=90°，∴∠ACE+∠BCA=90. .∠BCE=90°.在Rt△ABC中，BC=√/AC+AB=10,.DC=BC-BD=6. :AABDAACE,÷00,即告-是CE=8∴在R△DEC中，m∠EDC 瓷2 2.1证明：8%-踢-号80-号8胎8%：∠A0c=∠B0D,△A0c☑ △BOD.∠A=∠OBD.∴.AC∥BD.(2)解：小红的连衣裙会碰到地面.理由如下： EF/BD△0EFon△0BD.÷8光-8器：20E=EB,85-子÷8装 0G=30H=72cm设点0到AC的距离为么，由(I)可知△A0C0△BOD,“无= —39第2章综合评价 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出 鲜 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 2 6 7 10 默 答案 1.计算2cos30°的值为 A. 2 B.3 C.1 D.2 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=3,则tanB的值为 ( 站 A号 B号 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 3 ，BC=6,则AB的长为 ( A.4 B.6 C.8 D.10 4.某幼儿园的滑滑梯的示意图如图所示，其坡度是1：√3，高度 BC=5m,则坡面AB的长为 ( A.10m B.15m C.103m D.15√3m i1:J5 B (第4题图) (第6题图) (第8题图) 5.下列选项中，与sin13°的值相等的是 ( A.tan 77 B.cos77° C.sin77° D.cos 13 6.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosA的值为 ( 斯 A.①0 10 B.30 D.3 10 7.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且(tanB一√3)(2sinA √3)=0，则△ABC为 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.至少有一个角是60°的三角形 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB于 点E.若AC=8,CD=2,sinB=青，则DE的长为 () A.3.2 B.4 C.4.5 D.4.8 9.如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置OA1释放到 OA处时，两次位置的高度差PA=1,则秋千绳索OA的长为 ( ) A.1-cos a B.1-cos a C.I-sin a D.1-sin a 10 (第9题图) (第10题图) (第15题图) 10.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上 若∠DAE=30,tan∠EAC-专，则BD的长是 A.3-√3 B.3+√3 C.3√3 D.√ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11.在Rt△ABC中，∠C=90°.如果tanB=2,BC=2,那么AC 的长为 12.已知sin(2a+10)=司，且0<a<40,则a的度数为 1B.在R△ABC中，∠C=90,若sinA=最，则cosA的值为 14.已知一次函数y=2x一4与x轴的夹角的锐角为a,则sina 的值为 15.如图，在△ABC中，AB=BC,以点A为圆心，AC长为半径画 弧，交BC于点D,再分别以点C,D为圆心，大于CD长为半 径画弧，两弧相交于点E,作射线AE交BC于点M.若CM= 1,BD=3,则tan∠BAE的值为 16.如图①，智能机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的 机器装置，某款智能机器狗水平行走时侧面如图②所示，四边 形CDGE,四边形EFHG都是平行四边形，CE=30cm,EF= 40cm,∠EFN=30°，∠CEF=60°. (1)图②中，CD离地面的高度为cm; 8 (2)当机器狗前脚直立时，侧面如图③所示，此时E,C,D三点 刚好共线，∠EFN=30°，∠CEF=75°，则机器狗的身长 CD为 cm. N F HM F H M 图① 图② 图③ 三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤， 17.(6分)计算：2sin30°+c0s60°+c0s245°. 18.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c.已知a=10,b=10√3，求c的值与∠A,∠B的度数 19.(8分)由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了 “如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=☐，AC=4√3， 求AB的长.”这时小明去翻看了标准答案，显示AB=10.请 你帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么. 一 9 20.(9分)如图，为了测量河对岸A,B两点间的距离，数学兴趣小 组在河岸南侧选定观测点C,测得点A,B均在点C的北偏东 37°方向上，沿正东方向行走100m至观测点D,测得点A在 点D的正北方向，点B在点D的北偏西53°方向上.求A,B 两点间的距离.（结果精确到1m,参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) →东 B 37 、53 21.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,BC=8,tanB=分，点 D在BC上，且BD=AD. (1)求AC的长； (2)求sin∠DAC的值. D 22.(10分)如图，数学课外实践活动小组要测量某路灯顶部P到地 面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下表. 测量项目 测量数据 从A处测得路灯顶部P的仰角α a=58° 从D处测得路灯顶部P的仰角B B=30° 测角仪到地面的距离 AB=CD=1.6 m 两次测量时测角仪之间的水平距离 BC=2 m 10 求路灯顶部P到地面的距离PE.(结果精确到0.1m,参考数 据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，√3≈1.73) 23.(10分)如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD,AE⊥ BC,垂足为E,AE=9,sin∠CBD-. (1)求BD的长； (2)若BD=CD,求tan∠BAE的值. —11 24.(12分)【阅读材料】通过学习锐角三角函数，我们知道在直角 三角形中，锐角A的正弦值等于这个角的对边与斜边的比， 记作sinA=∠A的对边.对于锐角A的每一个确定的值， 斜边 sinA都有唯一确定的值与它对应，显然，0<sinA<1,因此建 立了直角三角形中的边与角的关系.类似地，可以在等腰三角 形中建立边角之间的联系.规定：等腰三角形中底边与腰的比 叫做顶角的正对(sad),如图①，在△ABC中，AB=AC,顶角 A的正对记作adA,此时adA-底-S如：当∠A= 60°时，sad60°=1.根据上述信息，解答下列问题： (1)求sad90°的值； (2)对于0°<∠A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 (3)如图@，在R△ABC中，已知∠C=90,sinA=写（∠A为 锐角)，求sadA的值， 图① 图② —12