3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆及其标准方程，从定义出发推导方程，区分焦点在x轴、y轴两种形式，梳理a,b,c数量关系，通过例题、练习衔接点与椭圆位置关系等知识点，搭建递进式学习支架。 其亮点在于分层训练（基础、中档、拔高）和一体化资源（思维导图、例题、培优练习），以数学思维和逻辑推理引导学生，如焦点三角形性质推导培养推理能力，助力学生巩固知识，教师高效教学。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 本节先由平面内与两定点距离和为定值（大于两定点间距）的点的轨迹引出椭圆定义，推导椭圆标准方程，区分焦点在x轴，y 轴两种形式，学习 a,b,c 的数量关系。 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括142张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 椭圆的定义 把平面内与两个定点，（当与 重合时，相应点的轨迹是圆）的距离的 和等于常数大于 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距即 ，焦距的一半称为半焦距. 椭圆定义用集合表示为：椭圆可看作点集 , . . . . . . . 4 知识剖析对定义中限制条件“常数大于 ”的理解 条件 结论 动点的轨迹是椭圆 动点的轨迹是线段 动点不存在，因此轨迹不存在 5 定义的双向运用 1.判定点的轨迹为椭圆 （三步法：1.求定点之间的距离（焦距）；2.求动点与两定点的距离之和（常数）;3. 判断常数与焦距的大小，常数大于焦距即为椭圆）:符合定义中条件的动点的轨迹为 椭圆. 2.作为性质运用:椭圆上所有的点一定满足定义的条件（即到两焦点的距离之和 为常数）. . . 6 学思用·典例详解 例1-1 (2026·河南省南阳市方城县第一高级中学开学考试)已知点， ， 则下列说法正确的是( ) C A.平面内到， 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.平面内到， 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点，的距离之和等于点到点， 的距离之和的点的轨迹是 椭圆 D.平面内到点， 的距离相等的点的轨迹是椭圆 7 【解析】选项A，，故平面内到， 两点的距离之和等于常数8的点的轨 迹是线段;选项B，动点到，两点的距离之和等于6，小于 ，故这样的 轨迹不存在;选项C，点到点， 的距离之和为 ,故选项C中的动点的轨迹是椭 圆;选项D，动点的轨迹是线段的垂直平分线.（【另解】动点与两个定点, 的 距离之和不是常数，即其轨迹不为椭圆） . . . . . . 8 知识点2 椭圆的标准方程 标准方程 图形 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 焦点坐标 , , 焦距 异同点 相同点：形状都相同，都有,,,, 的关系都满足 . 不同点：焦点位置和坐标不同,方程不同 . . . . 9 知识剖析 椭圆标准方程中“标准”的含义 椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状态下”的方程，即：①焦点<m></m>，<m></m>在坐标 轴上;②线段<m></m>的中点是坐标原点. 10 椭圆的标准方程的结构特征及如何判断焦点的位置 （1）结构特征：标准方程右边是1,左边是<m></m>与<m></m><m></m>或<m></m>与<m></m>的和,并且分母不相等. （2）判断焦点位置的方法： 标准方程中含<m></m>项的分母较大<m></m> 焦点在<m></m>轴上; 标准方程中含<m></m>项的分母较大<m></m> 焦点在<m></m>轴上. 因此要根据标准方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大 的跑”. . . . . 11 椭圆标准方程中参数<m></m>,<m></m>的几何意义 （【教材深挖】对教材第106页【思考】的剖析与挖掘） 标准方程中的两个参数<m></m>，<m></m>确定了椭圆的形状和大小,这是椭圆定形的条件.<m></m>,<m></m>, <m></m>三个量满足<m></m>,恰好是一个直角三角形的三条边长，我们把如图3.1.1-1所 示的直角三角形<m></m>称为椭圆的“特征三角形”.椭圆的特征三角形清晰地反映了参数 <m></m>,<m></m>,<m></m>的几何意义. 图3.1.1-1 12 学思用·典例详解 例2-2 已知椭圆 ，则它的焦点坐标是( ) B A.和 B.和 C.和 D.和 【解析】椭圆的方程可化为 （先化为标准方程，再判断焦点位置）， ， 焦点位于 轴. ， ， ， 焦点坐标为和 ． . . 13 例2-3 [教材改编P107例1]已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和 ，且椭圆 经过点 ，则该椭圆的标准方程是( ) B A. B. C. D. 【解析】 椭圆的焦点在 轴上， 可设它的标准方程为 ． 椭圆经过点 ， ， 又 ， ， 所求椭圆的标准方程为 ． 14 知识点3 点与椭圆的位置关系 （1）根据椭圆的定义判断点 与椭圆的位置关系，有如下结论： 点 在椭圆内部； 点 在椭圆上； 点 在椭圆外部. （2）对于点 与椭圆的位置关系，有如 下结论： （可类比点与圆的位置关系理解） 15 学思用·典例详解 例3-4 已知椭圆 ， （1）点在椭圆的内部，则实数 的取值范围是__________； 【解析】因为点在椭圆的内部，所以，解得 .故实 数的取值范围是 . （2）点 与椭圆的位置关系是_____________. 点在椭圆上 【解析】将代入椭圆方程，得，所以点 在椭圆上. 16 释疑惑 重难拓展 知识点4 椭圆方程的其他形式 1 椭圆两种标准方程的统一形式 椭圆标准方程的两种形式可以写成统一的形式：（, , （方程表示椭圆的充要条件））. 方程可变形为 ， 当，即时，表示焦点在 轴上的椭圆； 当，即时，表示焦点在 轴上的椭圆. . . . . 17 2 椭圆的一般方程 当时，方程可以变形为 ,由此可得方程 表示椭圆的充要条件是：，且,,同号， . 此时称方程（当 时，方程为标准方程的统一形式）为椭圆 的一般方程. 3 共焦点的椭圆系方程 与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为 （保证分母相减差不变） ； 与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为 . . . . . . . 18 4 椭圆的参数方程 焦点位置 标准方程 参数方程 轴 为参数, 轴 为参数, 说明若为椭圆上的点，则可设点 的坐标为 , ，把问题转化为三角函数问题进行求解. 19 学思用·典例详解 例4-5 (2026·北京市日坛中学测试)若方程 表示焦点在 坐标轴上的椭圆，则 的取值范围是_ ____________. 【解析】 将椭圆方程化为标准形式，即 ， 则（表示焦点在轴上）或（表示焦点在 轴上） 解得或，所以的取值范围为 . 20 由 （方程表示椭圆的充要条件） 解得或 ， 所以的取值范围为 . 21 例4-6 与椭圆有相同焦点，且过点 的椭圆的标准方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可设椭圆的方程为 . 又所求椭圆过点，所以将代入椭圆方程，得 ,解得 舍去 . 故所求椭圆的标准方程为 . 22 知识点5 椭圆的焦点三角形 1 焦点三角形的定义 设和是椭圆的两个焦点,为椭圆上的任意一点,当,, 三点不在同一条直 线上时,点,, 构成一个三角形,我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形,如图 3.1.1-2所示. 图3.1.1-2 23 2 与椭圆焦点三角形有关的常用结论 在椭圆中，设和是椭圆的两个焦点, 为椭圆 上的任意一点, . （1）焦点三角形的周长 . （2）在焦点三角形中， . 证明：由，可得 ，即 . 在中，由余弦定理得 ， 与上式结合整理可得 . 24 （3）.当，即为椭圆与 轴交点时，取最大值，为 . 证明：由三角形面积公式可得 . 另外， ， 当最大，即当,此时为椭圆与轴的交点，取最大值，为 . 25 （4），当且仅当点位于轴时， 最大，此时 最小. 证明：设,,在 中， 由余弦定理，得 ， 因为,且 , 所以 ， 当且仅当,即为椭圆与轴交点时取等号，此时 最小， 取得最大值. （5）椭圆上一动点到焦点的距离称为该点处的焦半径，则焦半径的最大值为 ,最小值为 . 26 （6）， . 证明：由（2）得 ， 显然当时, 取最大值2,此时取最小值，即点 为椭 圆与轴交点时，取得最小值 . 由（4）知， 最大时, 取最小值，此时取最大值 ， 即点为椭圆与轴交点时，取得最大值 . 从而 . . 由于，因此 ， 所以，且点位于轴上时最大，位于 轴上时最小. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 （7）焦点三角形的外接圆半径为 . 证明：在焦点三角形中，设外接圆半径为 ,由正弦定理得 ，所以 . 图3.1.1-3 （8）焦点三角形的内心 若为焦点三角形的内切圆半径,为焦点三角形 的内心,的平分线交于点 （如图3.1.1-3）. ①由等面积法，得 的面积 所以焦点三角形的内切圆半径 . ， 28 ②在中，根据角平分线定理得 . ③在中，根据角平分线定理得 . ④焦点三角形内切圆圆心 的轨迹是以原椭圆焦点为顶点的椭圆 （除去原焦点），其轨迹方程为.（当点位于 轴时， ，即 ） . . 29 学思用·典例详解 例5-7 (2026·河南省南阳市月考)已知椭圆的左、右焦点分别为, ， 点在椭圆上，则 的周长为( ) D A. B. C. D. 【解析】由椭圆的方程，知,， ， 所以， ， 所以，由椭圆的定义，得 ， 所以的周长 . 30 例5-8 已知是椭圆上一点，和 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则 的面积为( ) C A. B. C. D. 【解析】由椭圆，得，，则 . 31 因为点在椭圆上，所以 ①. 在 中，由余弦定理得， ， 即 ②. 由①得 ③， 得 . 由三角形面积公式得， . 由题意知， 是椭圆的焦点三角形，由焦点三角形的有关结论可知， . 32 例5-9 (2026·湖南省长沙市期中)已知是椭圆上的一点，, 分别是该椭 圆的左、右焦点，若的内切圆半径为，则 的值为( ) B A. B. C. D.0 图3.1.1-4 【解析】 由椭圆知，，， 根据椭圆的定义可知， ，如图3.1.1-4， 不妨设点 是椭圆在第一象限 33 内的一点，内切圆圆心为， ,则 （等面积法），所以 ． 设 ,则 ， 所以，则.由二倍角公式得 ，则 ，所以 . 则 . . . . . 34 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求椭圆的标准方程 1 待定系数法 例10 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为,,并且椭圆上一点 与两焦点的距离的和 等于10； 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，且,,所以 , ,所以椭圆的标准方程为 . 35 （2）焦点坐标分别为,，经过点 ; 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为 . 由椭圆的定义知 ,解得 . 又,所以 . 所以椭圆的标准方程为 . 36 因为所求椭圆过点，所以 . 又，可解得, , 所以椭圆的标准方程为 . 37 （3）经过两点, . 【解析】 若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为 . 由已知条件得（解方程组时可分别视, 为一个整体，不必去分母） 解得 所以所求椭圆的标准方程为 . 若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为 . . . 38 由已知条件得解得 则，与 矛盾,舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为 . 设椭圆的方程为（可避免分类讨论）,， . 分别将两点的坐标,代入椭圆方程，得解得 所以所求椭圆的标准方程为 . . . 40 利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 主要步骤可归纳为“先定位，再定量”. 需要注意的是：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在轴上和在 轴上两种情况 讨论，也可设椭圆的方程为 . 41 【学会了吗丨变式题】 1.求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距是8，且经过点 ； 【答案】由焦距是8，可得，且焦点坐标为， . 由椭圆的定义知，，所以 . 又，所以 . 故所求椭圆的标准方程为 . 42 设所求椭圆的标准方程为 ， 将点代入可得 ， 又，所以， . 故所求椭圆的标准方程为 . 43 （2）焦距为10，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26. 【答案】因为椭圆上一点到两焦点的距离之和为26， 所以，即 . 又焦距为10，所以，所以 . 因为焦点所在的坐标轴不确定（易错点）， 所以椭圆的标准方程为或 . . . 44 2 共焦点的椭圆系方程 例11 (2026·天津市第五十五中学月考)过点且与椭圆 有相同焦点 的椭圆的标准方程为_ __________. 思路点拨 由已知椭圆的焦点即知待求椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义及,, 之 间的关系求出与 的值即得;或设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求解. 45 【解析】 （定义法） 由题意得 . 因此所求椭圆的焦点坐标为, . 由椭圆定义得 ,即 ,所以 . 故所求椭圆的标准方程为 . 46 （待定系数法） 因为所求椭圆与椭圆 的焦点相同，所以其焦点 在轴上，且 . 设所求椭圆的标准方程为 ， 则 ①. 又点在所求椭圆上，所以 ②. 由①②得， , 故所求椭圆的标准方程为 . 47 （共焦点的椭圆系方程） 由条件设所求椭圆的标准方程为 （（ 是隐含条件，不能漏掉!））. 将点的坐标代入,得 解得或 （舍去）. 故所求椭圆的标准方程为 . 名师点评 利用共焦点的椭圆系方程求解简化了运算过程. . . 48 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·山西省吕梁市第一中学月考)若椭圆过点且与椭圆 有相同的 焦点，则椭圆 的标准方程为_ __________． 【解析】 （定义法） 设椭圆的左、右焦点分别为， ，则 ,，因为椭圆过点 ，所以 （对含根号的式子开方，联想完全平方公式，不妨设 ，则 ，尝试拆分为,，不可行，拆分为, ，可行， 则,） ， . . . . 49 所以，而，所以，所以椭圆 的 标准方程为 ． 因为所求椭圆与椭圆 有相同的焦点， 所以可得，因为焦点在 轴上，所以可设它的标准方程为 . 因为椭圆过点，所以有 ①， ②. 由①②解得, ， 所以所求椭圆的标准方程为 . 50 （共焦点的椭圆系方程） 因为椭圆与椭圆 共焦点，所以设椭 圆 ， 因为椭圆过点，所以，即，解得或 （舍去）， 所以椭圆的标准方程为 ． 51 题型2 与椭圆有关的轨迹问题 1 直接法 例12 [教材改编P108例3]已知的两个顶点坐标分别是和,边 , 所在直线的斜率的乘积（【思考】如果此处不是乘积，而是商，那么顶点 的轨 迹是什么？）是，求顶点 的轨迹方程. 【解析】设顶点的坐标为,则,.依题意得 ，化 简可得顶点的轨迹方程为 .（切勿遗漏） 易错警示 不少学生会误认为椭圆的焦点就是点,,这与推导出的表示焦点在 轴 上的椭圆方程矛盾，因而对求得的轨迹方程的正确性产生怀疑.要注意这里顶点 的 轨迹虽然是椭圆（不包含与轴的交点），但, 两点并不是椭圆的焦点. . . . . 52 用直接法求轨迹方程的步骤 （1）建系，建立适当的坐标系（若已有坐标系，则不需要再建）； （2）设点，设所求动点的坐标为 （注意：一定是求谁设谁）； （3）列式，根据已知条件列出动点的等量关系式； （4）化简，化简等式； （5）检验，作答，并检验轨迹上的点是否都符合题意. 注意 ①在化简过程中，要注意运算的合理性与准确性，尽可能避免“漏解”或“增解”； ②第五步的检验可以省略不写，如有特殊情况可以适当说明，如某些点虽然其坐标 满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中或 的范围予以剔除. 53 2 定义法 例13 [教材改编P115 T1]若点满足方程 ， 则动点 的轨迹方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】因动点满足关系式 ，该等式表 示点到两个定点，的距离的和为12，而 ，即 动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，即，又 ， ， 所以动点的轨迹方程为 . 54 图3.1.1-5 例14 [教材改编P115 T6]如图3.1.1-5所示，在圆 内有一点为圆 上任意一点，线 段的垂直平分线与，的连线交于点，当点在圆 上运动 时，求点 的轨迹方程. 55 图3.1.1-6 【解析】如图3.1.1-6所示,连接.由题意知点在线段 上， 从而有 . 又点在的垂直平分线上，则 ，（垂直平分 线的性质） 故 . 又,，故点的轨迹是以, 为焦点的 椭圆,且 , 故,, . 故点的轨迹方程为 . 56 利用定义法求椭圆标准方程的思路 利用椭圆定义求标准方程的问题本质上是求轨迹的问题，一般解题思路如下： 首先分析几何图形所表示的几何关系，然后判定轨迹是椭圆，对比椭圆的定义，设 出对应椭圆的标准方程，求出， 的值，最后得到标准方程． 57 【学会了吗丨变式题】 3.[教材改编P115 T10](2026·四川省成都市期中)已知圆 ，圆 ，动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心 的轨迹 方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】由已知可得圆的圆心为，半径为5，圆的圆心为 ，半径为1. 58 图D 3.1.1-1 如图D 3.1.1-1,设圆与圆的切点为，与圆 的切点为 ，则由题意得，， ， 其中 ，（关键步骤，注意结合图形梳理关系） 所以 ， 由椭圆定义可知，动圆圆心的轨迹为以， 为焦点的 椭圆，设该椭圆的方程为，则， ， 解得， ， 故动圆圆心的轨迹方程为 ． . . . . . . . . 59 3 转代法（相关点法、代入法） 例15 椭圆上有动点,点,分别是椭圆的左、右焦点,求 的重心 的轨迹方程. 【解析】设点,的坐标分别为, , 在已知椭圆的方程中,, , , 则已知椭圆的两焦点为, . 存在, . . . 60 由三角形重心坐标公式有（点为的重心，以此建立点和点 的坐标的联 系） 即 , . 点在椭圆上, , ,故的重心的轨迹方程为 . （注意检验特殊情况） . . . . 61 用转代法求轨迹方程的思路 如果动点随着另一个在已知曲线上运动的点而动,则用点坐标表示 点的坐 标,即（寻求点和点 之间的关系是关键点） 由于点在已知曲线上,因而它满足已知曲线方程，将 代入已知曲线方 程,得到关于, 的方程，即为所求的曲线方程.其过程如下： 已知方程 所求方程. 62 【学会了吗丨变式题】 图3.1.1-7 4.[教材改编P108例2](2026·重庆市育才中学校期中)如图3.1.1- 7，在曲线上任意一点向 轴作垂线段 ,为垂足，点在的延长线上，且，则点 的 轨迹方程为( ) D A. B. C. D. 63 【解析】因为点在的延长线上，且 ， 所以为的中点，设,，则 ， 由中点坐标公式得 因为点在曲线 上， 所以 ， 即点的轨迹方程为 . 64 题型3 椭圆方程的应用 1 由方程表示椭圆确定参数的取值范围 例16（1）(2026·湖南省常德市段考)若方程表示焦点在 轴上的椭圆， 则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 65 【解析】 已知方程表示焦点在 轴上的椭圆， 解得 . 的取值范围是 . 66 （2）(2026·广东省深圳市期中)若方程 表示焦点在坐标轴上的椭圆， 则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意可知 （若忽略这一不等式就会错选A.事实上,当 时,方程表示的是圆,而不是椭圆） 解得且 ， 所以实数的取值范围是 . . . 67 2 由椭圆方程求基本量 例17 已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数 的值为 ________. 4或 【解析】， . 当椭圆的焦点在 轴上时， 由椭圆的标准方程知， . 由，得，，又，故 . 当椭圆的焦点在 轴上时， . . . . 68 （本题易错之处是想当然地认为焦点在轴上，从而漏掉焦点在 轴上时的解） 由椭圆的标准方程知, . 由，得 ， 又，故 . 综上可知，实数的值为4或 . 69 由椭圆标准方程求基本量的思路 求椭圆的基本量时，若方程不是标准方程，应先化为标准方程，根据椭圆的标准方 程确定,的值，再利用关系式求出 .如果没有明确指出椭圆焦点的位 置，一般要分两种可能的情况进行讨论，避免漏解. 70 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·黑龙江省哈尔滨市期末)若椭圆的一个焦点为,则 的 值为_ ________. 或 【解析】椭圆方程可化为 . 因为椭圆的一个焦点在 轴上, 所以（根据焦点位置知,, ） 即 即的值为或 . . . 71 题型4 椭圆定义的应用 1 定义的简单应用 图3.1.1-8 例18 ［教材改编P109 T3］(2026·上海市华东师范大学第 二附属中学调研)如图3.1.1-8，椭圆 的左、右焦 点分别为，，过点的直线交椭圆于， 两点，则 的周长为_____. 【解析】由，得，则 ， 因为过点的直线交椭圆于， 两点， 所以 的周长为 . 72 2 利用椭圆定义求轨迹方程 如果平面上的动点满足条件:（定长）,且 ,为定点,那么点的轨迹是以, 为焦点的椭圆.此时,只需选择恰当的坐标系, 就可直接写出椭圆的方程. 73 题型2 已有展示，此处不再列举例题. 3 利用定义解决与焦点三角形有关的问题 例19 [多选题](2026·江西省南昌市期中)设,为椭圆的两个焦点， 为 椭圆上任一点，已知是直角三角形，且,则 的值为( ) AC A. B.3 C.2 D. 74 【解析】因为椭圆方程为,所以,,，所以 , . 因为,所以 不可能为直角.（对直角位置进行判断、讨论） 若为直角，则 , 即,解得 . 所以，所以 . . . . . 75 若为直角，则 , 即 , 解得或 （舍去）. 所以，所以 . 综上可知，的值为 或2. 名师点评 由于本题并没有说明，， 三个点哪个为直角顶点，由焦点三角形常 用结论（4）可知，，因此直角顶点可以是 ，也可以是 ， 可以通过简单分析加以排除），所以需要分类讨论. . . 76 椭圆定义在焦点三角形问题中的作用 在解决椭圆上的点与两个焦点, 的距离问题时，常利用椭圆的定义得出 .结合题设条件，在焦点三角形中灵活运用勾股定理、正弦定理、 余弦定理及整体思想即可完成相关计算. 77 【学会了吗丨变式题】 6.[多选题]设,为椭圆的左、右焦点，为 上一点且在第一象限， 若 为等腰三角形，则下列结论正确的是( ) BCD A. B. C.点的横坐标为 D. 78 【解析】设,因为椭圆，所以,, . 因为为上一点且在第一象限，为等腰三角形，所以 , ，且 . 后续思路一 在 中，由余弦定理得 ，所以 ， ，所 以，故选 . 79 后续思路二 以为圆心，为半径的圆的方程为 ，与椭圆方 程联立求解可得 所以.故选 . 4 利用定义解决最值问题 例20 (2026·吉林省长春市期中)已知,是椭圆的两个焦点，点在 上，则 的最大值为( ) C A.13 B.12 C.9 D.6 给什么得什么 由是椭圆上的一点，可知 . 差什么找什么 要求 的最大值，由基本不等式可知 9，当且仅当 时等号成 立. 81 例21 (2026·河北省石家庄外国语学校月考)已知为椭圆上一点，， 分 别是圆和上的点，则 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. 思路点拨 点为椭圆上的动点，, 分别为两个圆上的动点，三个点都是动点， 如何求得范围？这时需要研究图形的结构特征，注意到两圆的圆心分别是椭圆的左、 右焦点,,则，的最大值,最小值可用, 和圆的半径表示，结合 即可求 的取值范围. 82 图3.1.1-9 【解析】椭圆中,,则 ， 所以左焦点为，右焦点为 ，圆 的圆心为左焦点，半径为 ，圆 的圆心为右焦点,半径为 ,如图 3.1.1-9，由图可知 , , , , 由椭圆的定义可得 ， 所以 ，从而所求取值范围为 . 83 母题 致经典·结构化试题 例22 已知椭圆内有一点，,分别为椭圆的左、右焦点， 为 椭圆 上的一点，求： （1） 的最大值与最小值; 84 图3.1.1-10 【解析】由椭圆方程知, ，即焦点坐标为 , . 如图3.1.1-10，连接并延长交椭圆于点 ,（三点一线，结合 图形判断取最值时的点的位置） 则是使 取得最大值的点，于是 . ，则求的最小值，即求 的 最大值， 延长交椭圆于点,则是使取得最大值的点，即 取得 最小值的点， 于是 . . . 85 （2） 的最大值与最小值. 【解析】连接,由椭圆定义知,则 , 所以 , 如图3.1.1-10，连接并延长交椭圆于点 , 则是使取得最大值的点，即 取得最大值的点，于是 . ,延长交椭圆于点 ， 则是使取得最大值的点，即 取得最小值的点，于是 . 86 子题 情境转化 若将点的坐标变为 ,结果如何？ 图3.1.1-11 【解析】（1）当点的坐标为时，点在椭圆 外， （将的坐标代入椭圆方程，，所以点 在椭圆外） 如图3.1.1-11所示， 连接并延长交椭圆于点,则点是使 取得最 大值的点，即 . . . 87 连接,由于 , 连接交椭圆于点,则点是使取得最小值的点，即 取得最小值的点， 于是 . （2）设线段交椭圆于点，则点是使 取得最小值的点， 即 . 又,延长交椭圆于点 , 则点是使取得最大值的点，即 取得最大值的点， 于是 . 88 名师点评 设椭圆方程为,,分别为椭圆的左、右焦点， 为 椭圆上任意一点. 若 为椭圆内一定点，则 （1） ; （2） . 若 为椭圆外一定点，则 （1） ; （2） . 89 解决椭圆最值问题的常见思路 1.与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利 用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件. 2.与,为椭圆上一点，, 为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一 般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解. 90 【学会了吗丨变式题】 7.已知点是椭圆上一动点，是圆 上一动点，点 ，则 的最大值为( ) C A.4 B.5 C.6 D.7 91 图D 3.1.1-2 【解析】如图D 3.1.1-2，椭圆的两个焦点分别为 ，．由圆 ，得圆心坐标 为 ，半径为1，由椭圆的定义可知 ， ，又 ， 则 ， ,,三点共线时取等号 的最大值为6． . . 92 新考法 情境应用 图3.1.1-12 例23 新情境 影片门 圆锥曲线具有丰富的光学性 质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反 射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，如图3.1.1- 12.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得 最强的光线，灯丝与影片门 应位于椭圆的两 个焦点处．已知椭圆 ，椭圆的左、 右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆上位于第一象限的 点后反射光 线经过点，且，则 的平分线所在的直线方程为____________ _____． 93 94 图3.1.1-13 【解析】 设 ,如图3.1.1-13，则 ，解得或 （舍去）， （ 为锐角， 为正值） .（焦点三角形面积公式） 设，则，则 ，代入椭圆方 程，可得 . 又, 轴. ， 的平分线所在直线的斜率为 ， 的平分线所在的直线方程为，即 ． . . . . 95 （角平分线性质） 同方法1先求得点,， ， 则直线的方程为，直线的方程为 . 设的平分线上任意一点的坐标，则点到两直线， 的距离相等， 则，化简得或 （舍去）.（【警示】 该直线为与角平分线垂直的直线） . . 96 （光学性质） 同方法1求得点 ， 则椭圆在点处的切线方程为 ， （椭圆的切线方程，详细讲解见章末专题） 即，切线斜率为 . 由光学性质可知，角平分线所在直线为椭圆在点 处的法线（切线的垂线），其斜率 为 ， 由点斜式方程得所求方程为 ， 即 . . . 97 名师点评 由椭圆的一个焦点射向椭圆上任意一点的光波或声波，经该椭圆反射后必 经过另一个焦点，椭圆的这一独特的光学性质在现实生活中有着广泛的应用，在解 题中也经常使用. 98 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容是高考考查的重点，主要考查椭圆标准方程的求解及其应用、椭圆定义的 应用等，可以单独考查，也可以与向量、解三角形等知识综合考查，各种题型都会 出现，试题难度中档. 核心素养：数学运算（求方程、求值等），直观想象（利用图形性质解决问题等）， 逻辑推理（问题转化等）. 99 考向1 求椭圆的标准方程 例24 (2024· 新课标Ⅱ卷)已知曲线,从上任意一点向 轴作 垂线段，为垂足，则线段的中点 的轨迹方程为( ) A A. B. C. D. 100 【解析】 （代入法） 设，则，因为点在曲线 上， 所以，即 ， 所以线段的中点的轨迹方程为 . （数形结合法） 由题意可知把曲线 上所有点的纵坐标缩短至原来的一半， 横坐标不变，即可得到点 的轨迹. 曲线为半圆，则点的轨迹为椭圆轴上方部分 ，其中长半轴长为4，短半轴长为 2，所以线段的中点的轨迹方程为 . 101 命题探源 本题取材于教材第108页例2，教材中圆的方程为 ，其他与 本题完全一致，体现了高考回归考教材这一命题理念. 102 例25 (全国Ⅰ卷)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于， 两 点.若，,则 的方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】 由椭圆的两焦点为,，知椭圆的焦点在 轴上， 且.设,则, . 103 图3.1.1-14 连接,如图3.1.1-14，由椭圆定义得 ， 则，,，由此可得点在 轴上. 设为坐标原点 ， 在中，有 . 又 为等腰三角形， 所以 . 由倍角公式得 ， 解得，则 ， 故椭圆方程为 . 104 图3.1.1-15 如图3.1.1-15，作轴，交轴于点 . 由椭圆定义知，,，由 和 ， 可得,即 , , ， 所以 , , 由，解得，所以 ， 故椭圆的方程为 . 105 考向2 椭圆定义的应用 例26 (2023·全国甲卷)设，为椭圆的两个焦点，点在 上，若 ，则 ( ) B A.1 B.2 C.4 D.5 给什么 得什么 （1）由，为椭圆的两个焦点，得， . （2）由，得 . （3）由点在上及椭圆的定义知 ①. 差什么 找什么 由为直角三角形知 ，将①平 方得，所以 . 106 提分探源 利用二级结论 可快速求解本题： ，所以 . 107 变式探源(2023·全国甲卷)设为坐标原点，，为椭圆 的两个焦点, 点在上，，则 ( ) B A. B. C. D. 图3.1.1-16 【解析】 依题意,, .如 图3.1.1-16，不妨令, . 设,，在 中， , 由椭圆的定义可得 ②. 由①②，解得 . 108 设.在和中， ，由余弦定理得 ，得 , 所以 . （事实上，在求出， 后，我们还可以利用向量知识进行求解：因 为 ，所以 ，所以 ） 109 依题意,,.如图3.1.1-16，设点 的坐标为 ，利用焦点三角形面积公式知 . 因为 ， 所以 ， 故 . 又 , 故 , 又,所以 , , . 110 高考新题型专练 1.[多选题](2026·山东省菏泽第一中学期中)已知椭圆 的左、右两个焦 点分别为，，为椭圆上一动点， ，则下列说法正确的是( ) ABD A.的周长为8 B.的最大面积为 C.存在点使得 D. 的最大值为7 111 【解析】由椭圆的方程可得，，则 ，所以 ，， . A中，由题意可得 的周长为 ，所以A正确； B中，当为椭圆与轴的交点时， 的面积最大,此时最大面积 ，所以B正确； C中，因为,所以以为直径的圆与椭圆无交点，所以不存在点 使得 ，即 不成立，所以C不正确； D中，点在椭圆内，连接 , ，当且仅 当为线段的延长线与椭圆的交点时取等号，所以D正确.故选 ． 112 2.[多选题](2026·广东省部分重点中学测试)已知椭圆 的左、右焦点分别 为,，上顶点为，直线经过左焦点与交于，两点，与轴交于点 .则下 列判断正确的是( ) BC A.的周长为4 B. 为等边三角形 C.的最小值为1 D.存在点，使得 113 【解析】由椭圆可知，，，直线过点 . 对于A， 的周长为 ，A错误； 对于B，点坐标为，则，所以 为等边三 角形，B正确； 对于C，当且仅当为椭圆左顶点时，取得最小值 ，C正确； 对于D，假设存在点，令，由，得, ， 则方程组无解，即不存在点，使得 ，D错误. 故选 . 114 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.[教材改编P109 T1](2026·河北省邯郸市月考)已知，分别是椭圆 的左、右焦点，为上一点，若，则 ( ) C A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】由题意知，，则，又为 上一点，由椭圆的定义得 ，所以 ． 115 2.(2026·黑龙江省哈尔滨第十二中学月考)经过椭圆的右焦点作直线 交 椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则 的周长是( ) D A.8 B.9 C.10 D.20 图D 3.1.1-1 【解析】如图D 3.1.1-1，,分别为椭圆 的左、 右焦点， , ，的周长为 ． 116 3.(2026·江苏省泰州中学月考)化简方程 的结果 是( ) C A. B. C. D. 【解析】由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在 轴 上的椭圆，且,，所以,故化简结果为 . 117 4.[多选题](2026·福建省福州第一中学质检)对于曲线 ,下面四个命题 中是真命题的是( ) CD A.曲线 不可能是椭圆 B.“”是“曲线 是椭圆”的充分不必要条件 C.“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“ ”的必要不充分条件 D.“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“ ”的充要条件 118 【解析】对于A，当且（方程表示椭圆的充要条件： , ,）时，曲线 是椭圆，所以A是假命题； 对于B,当时，，此时曲线 是圆，所以B是假命题； 对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得 ，所以 “曲线是焦点在轴上的椭圆”是“ ”的必要不充分条件，所以C是真命题； 对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得 ,所以D 是真命题.故选 . . . 119 5.(2026·上海市华东师范大学第二附属中学调研)椭圆 的一个焦点坐标为 ，则实数 的值为___. 4 【解析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，所以，， ，因为 ，所以 . 120 6.(2026·安徽省阜阳市期中)已知,分别是椭圆的左、右焦点， 为椭 圆上一点，则 的最小值为___. 1 【解析】因为,分别为椭圆的左、右焦点， 在椭圆上运动，所以 . 所以，所以 ，当且仅当 时等号成立. 所以 ， 即 的最小值为1. 121 7.(2026·江苏省南京师范大学附属实验学校月考)求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点，焦点坐标分别为， ； 【答案】由题知，焦点在轴上，且 ， 设椭圆标准方程为，则 ， 由椭圆过点知，解得或 （舍去）． 所以椭圆的标准方程为 ． 122 （2）经过， 两点； 【答案】椭圆经过， 两点， 设所求椭圆的方程为 ， 把点，的坐标代入得解得 所以所求椭圆的标准方程为 ． 123 （3）与椭圆有相同的焦点，且经过点 . 【答案】,所以椭圆的焦点坐标为 ， 所以可设所求椭圆方程为 ， 又因为所求椭圆经过点，所以 ， 化简得，解得或 （舍去）， 故所求椭圆方程为 . 124 8.（1）已知两点,，且，求动点 的轨迹方程. 【答案】由点，，可知 . 因为 ， 所以动点在以，为焦点的椭圆上，且， ， 所以，故动点的轨迹方程是 . 125 （2）(2026·广东省惠州中学期中)已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 点在椭圆上运动.若，求点 的轨迹方程. 【答案】由椭圆方程可知，即焦点坐标为， ，设点 ，，则， ， 因为，则可得 而点在椭圆 上运动， 则，即 ， 所以点的轨迹方程为 . 126 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.(2026·湖南省长沙市期中)已知点在椭圆上，， 是椭圆 的左、右焦点，若，且的面积为，则 的最小值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】设,, ， ， 则根据题意可得 ， 又，，， . 又（【关键点】建立与 间的关系）， 当且仅当时，等号成立， 的最小值为2． . . 127 10.已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，设 为椭圆上 一动点，的外角平分线所在直线为,过点作的垂线，垂足为，当点 在椭 圆上运动时，点 的轨迹所围成的图形的面积为( ) C A. B. C. D. 128 【解析】如图D 3.1.1-2，延长，交于点，连接 ， 图D 3.1.1-2 由题意可得，直线为线段 的垂直平分线， 为的中点，且 . 又为 的中点， ,的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，的轨迹所围成的图形的面积为 ． 129 11.[多选题]已知是椭圆上一点，， 分别为其左、右焦点，且 的面积为3，则下列说法正确的是( ) CD A.点纵坐标为3 B. C.的周长为 D.的内切圆半径为 【解析】 椭圆，，，，又 为椭圆上一点，不妨 设，，，则，解得， 点纵坐标 为 ,故A错误； 130 将代入椭圆方程得，，解得，， ， , , , ，故B错误； （或由焦点三角形面积公式求的大小，设 ,则 , ,则, ） 由椭圆定义，可得的周长为 ，故C正确； 设的内切圆半径为,由，解得 ，故D正 确．故选 ． 131 12.已知,是椭圆的左、右焦点，为上一点，若点 ，则 的最小值为___；若点，则 的最小值为___. 4 【解析】如图D 3.1.1-4，由椭圆，可得， ．连 接，,则，又点， ，所以 图D 3.1.1-3 图D 3.1.1-4 ， 132 当且仅当，，三点共线且点在点， 之间时取等号． 如图D 3.3.1-4，连接,,由，可得 ，则 .因为 （当且仅当在线段 上时取等号），所以 133 13.［教材改编P113例6］(2026·吉林省长春市十一高中期中)在平面直角坐标系 内， 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是 . （1）求动点 的轨迹方程. 【答案】设,，则 ，即 ，整理得 ， 所以动点的轨迹方程为 . 134 （2）若为动点的轨迹上一点，且, ，求 的面积. 【答案】由（1）得动点的轨迹为椭圆，,, ,则 , 为其焦点，则, . 由余弦定理得 ， 即 ， 所以 ， 所以 . 135 14.已知椭圆过点,且点到椭圆 的两焦点的距离之 和为 . （1）求椭圆 的方程； 【答案】由题意可知,即 ， 又椭圆过点，所以，解得 ， 所以椭圆的方程为 . 136 （2）设，是椭圆上两点，且,不在坐标轴上，是椭圆 上的点， 且,其中为坐标原点，求证：直线与 的斜率之积为定值. 【答案】设，, , 因为，所以, ， 因为，是椭圆上的点，所以， . 又在椭圆上，所以 ， 137 所以 ， 即 ， 所以，即 ， 则直线与的斜率之积 ， 即直线与 的斜率之积为定值． 138 C 培优练丨能力提升 15.已知在曲线上， 为坐标原点， 则 的取值范围为______. 【解析】对 分析, ①当时，曲线的方程为 ,即 ,即 , 此时,所以 ， 即,解得,所以曲线在 轴右侧，为半椭圆. 139 ②当时,曲线的方程为 ， 即,即 , 此时 , 由，解得或 ， 所以曲线在轴左侧，为以 为圆心,2为半径的圆的一部分. 综上，曲线的方程为 140 图D 3.1.1-5 形状如图D 3.1.1-5所示. 表示点和点 的距离及点和点 的距离的和. 当点位于椭圆部分时,由椭圆的方程可知，点, 分别为其 左、右焦点，则 ； 当点位于圆部分时,因为圆心,半径 ，所以 ， 当点与点重合时， ， 当点与点或点重合时，因为, , 所以 , 141 此时 . 综上所述，当在曲线上时， , 故所求式子的取值范围为 . $