3.1.1 第2课时 椭圆及其标准方程的应用 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆定义应用与轨迹问题，从椭圆定义出发，通过焦点三角形周长、面积及角度问题实例，结合跟踪训练巩固，再过渡到动圆关系、斜率之积等轨迹问题，搭建从定义到应用的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动，融合数学思维与数学眼光，如例2用余弦定理和椭圆定义推导焦点三角形面积公式培养推理能力，例3通过动圆外切内切转化为椭圆轨迹发展几何直观。讲练结合且小结清晰，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

椭圆及其标准方程的应用 第三章　3.1.1　第2课时 学习目标 1.能根据定义解决与焦点三角形有关的问题.(重点) 2.能用自己的语言解释椭圆与圆的关系.(难点). 3.了解椭圆的第二、第三定义及简单应用.(难点) 内容索引 01 02 与椭圆有关的轨迹 椭圆定义的应用(焦点三角形) 04 随堂演练 03 课时对点练 01 椭圆定义的应用(焦点三角形) 　已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则△ABC的周长为　　 . 例1 角度1　周长问题 4 解析： 由题意，得a=.设直线BC过椭圆的焦点F2，则|AB|+|BF2|=2a=2，|AC|+|CF2|=2a=2，所以△ABC的周长为|AB|+|BF2|+|CF2|+|AC|=4. 5 (1)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a+2c. (2)A，B为椭圆上的两点，焦点为F1，F2，其中F1在AB上，则△ABF2的周长为4a. 反思感悟 6 　如图，椭圆C：+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则△PF1F2的周长是　　　　. 跟踪训练1 4+2 7 解析： 因为M，O，N分别为PF1，F1F2，PF2的中点，所以MO∥PN，|MO|=|PN|，则四边形OMPN是平行四边形，由四边形OMPN的周长为4可知，|PM|+|PN|=2， 则|PF1|+|PF2|=2(|PM|+|PN|)=4， 即2a=4，所以a=2，则c==， 于是△PF1F2的周长是2a+2c=4+2. 8 　已知P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积. 例2 角度2　面积及角度问题 方法一　由已知得a=2，b=， 所以c===3， 从而|F1F2|=2c=6，在△F1PF2中， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4， 解： 9 　已知P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积. 例2 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|. ② 由①②得|PF1|·|PF2|=4. 所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=. 方法二　设|PF1|=m，|PF2|=n， ∠F1PF2=θ(0°<θ<180°)，则m+n=2a，又|F1F2|=2c，b2=a2-c2， 则cos θ===-1， 解： 10 　已知P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积. 例2 所以mn=， 从而=mnsin θ=b2·=b2·=b2tan，由已知得b2=3，θ= 60°， 故=3×tan 30°=. 解： 11 已知△PF1F2的顶点P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求∠F1PF2的最大值. 延伸探究 由已知得，a=2，b=， 设|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ(0°<θ<180°)， 则 所以cos θ=-1≥-1=-1=-， 当且仅当m=n=2时，取等号， 又0°<θ<180°，则0°<θ≤120°，故∠F1PF2的最大值为120°. 解： 12 (1)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，使用|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，无需单独求解. (2)焦点三角形的面积=b2tan(∠F1PF2=θ). (3)焦点三角形中，当点P位于椭圆与坐标轴(非焦点所在的坐标轴)的交点时，∠F1PF2最大. 反思感悟 13 02 与椭圆有关的轨迹 　(1)一动圆与圆C1：x2+y2+4x=0外切，同时与圆C2：x2+y2-4x-60=0内切，则动圆圆心的轨迹方程是 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 例3 √ 15 解析： 圆C1：x2+y2+4x=0可化为(x+2)2+y2=4，圆心C1(-2，0)，半径r1=2， 圆C2：x2+y2-4x-60=0可化为(x-2)2+y2=64，圆心C2(2，0)，半径r2=8， ∴|C1C2|==4. 设动圆圆心为点P，半径为r， ∵动圆P与圆C1外切， ∴|PC1|=r1+r=2+r， 又动圆P与圆C2内切， ∴|PC2|=r2-r=8-r， 16 解析： ∴|PC1|+|PC2|=(2+r)+(8-r)=10>|C1C2|， ∴点P的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且2a=10，c=2， ∴a=5，b=， ∴点P的轨迹方程为+=1. 17 (2)(课本例3)如图，设A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之 积是-，求点M的轨迹方程. 解： 设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(-5，0)， 所以直线AM的斜率kAM=(x≠-5). 同理，直线BM的斜率kBM=(x≠5). 由已知，有×=-(x≠±5)， 化简，得点M的轨迹方程为+=1(x≠±5). 点M的轨迹是除去(-5，0)，(5，0)两点的椭圆. 例3 18 解： 如图，设d是点M到直线l：x=的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合 P=. 由此得=. 将上式两边平方，并化简， 得9x2+25y2=225，即+=1. 所以点M的轨迹方程是+=1. (3)(课本例6改编)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程. 例3 19 (1)椭圆的第二定义：如图，+=1(a>b>0)上的 点P到F2(c，0)(或F1(-c，0))的距离与到定直线l： x=(c2=a2-b2)的距离之比为常数. (2)椭圆的第三定义：如图，已知椭圆+=1 (a>b>0)，A(-a，0)，B(a，0)，P为椭圆上异于A，B的任一点，则点P与A，B连线的斜率之积 为定值-，即kPA·kPB=-. 反思感悟 20 　(1)已知点M是圆C：x2+y2-2y-31=0上的动点，A(0，-1)，线段AM的垂直平分线与线段CM交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是 A.x2+y2=2 B.+=1 C.+=1 D.+=1 跟踪训练2 √ 21 解析： 圆C：x2+(y-1)2=32的圆心C(0，1)，半径r=4， 由题意可知|QM|=|QA|，又点M是圆上的点，则|CM|=4， 且|CM|=|CQ|+|QM|，则|QC|+|QA|=4>2， 由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，其中a=2，c=1，b=， 则点Q的轨迹方程为+=1. 22 (2)椭圆+=1的左焦点为F1，P为椭圆上任一点，点P到直线l：x=-4的距离为d，则=　　 . 23 解析： 方法一　依题意知F1(-1，0)，设P(x0，y0)，∴+=1， ∴=3-， ∴=====. 方法二　F1(-1，0)，x=-4=-， 根据椭圆的第二定义知 ==. 24 (3)已知椭圆+=1，A(0，-2)，B(0，2)，P为椭圆上异于A，B的 任一点，则kPA·kPB=　　　. - 解析： 由椭圆的第三定义知kPA·kPB=-=-. 25 课堂小结 1.知识清单： (1)椭圆定义的应用(焦点三角形). (2)与椭圆有关的轨迹问题. 2.方法归纳：数形结合、方程思想. 3.常见误区：求轨迹方程要注意完备性. 26 03 随堂演练 1 2 3 4 1.已知椭圆+=1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 解析： 设椭圆的右焦点为F2，O为坐标原点.由题意知|PO|=|MF2|，|PF1|=|MF1|.又|MF1|+|MF2|=2a，所以|PO|+|PF1|=a>c=|F1O|，故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆. √ 2.已知椭圆+=1(a>)的两焦点分别为F1，F2.若椭圆上有一点P，使∠F1PF2=120°，则△PF1F2的面积为 A. B. C. D.2 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 解析： 设|PF1|=m，|PF2|=n，由点P在椭圆上，得m+n=2a， ① 在△PF1F2中，|F1F2|=2c，由余弦定理，得m2+n2-2mncos 120°=4c2，即m2+n2+mn=4c2. ② 由①式两边平方再减去②式，得mn=4a2-4c2=4b2=8，所以△PF1F2的面积为mnsin 120°=×8×=2. 1 2 3 4 3.(多选)已知P是椭圆+y2=1上的一点，F1，F2是其两个焦点，则∠F1PF2的大小可能为 A. B. C. D. √ √ √ 解析： 当点P位于y轴上时，∠F1PF2最大，此时|PF1|=2，|PF2|=2，而|F1F2|=2c= 2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2=-，故∠F1PF2的最大值为，所以∠F1PF2的大小可能为，，. 1 2 3 4 4.设椭圆+=1(b2<4)与x轴的两个交点分别为A(-2，0)，B(2，0)，对椭圆上任意一点P(不同于A，B)，若kPA·kPB=-，则椭圆的方程为　　 　　. 解析： 由椭圆的第三定义得，kPA·kPB=-=-，又a2=4，所以b2=3，所以椭圆的方程为+=1. +=1 04 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C C A CD 题号 9 11 12 13 15 16 答案 C BD C B 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)方法一　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4+11b2-16=0， 故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5， 故椭圆M的标准方程为+y2=1. 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则2a=+ =2， 所以a=，因为c=2，所以b2=a2-c2=1. 故椭圆M的标准方程为+y2=1. 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)， 则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1， 解得y0=±.又+=1， 所以=，x0=±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由已知得|PN|=|PA|，M(-3，0)，故|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=8>|MN|， 所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆， 设点P的轨迹方程为+=1(a>b>0)，则2a=8，a=4，c=3，b2=7， 所以点P的轨迹C的方程为+=1. 14. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)不妨设|MQ|=m，由椭圆的定义可得|QN|=2a-m=8-m，又|MN|=2c=6， 则在△MNQ中，由余弦定理可得cos∠QMN==， 解得m=. 故△QMN的面积S=×m×2c×sin∠QMN=××6×=. 14. 13 14 15 16 1.设F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若|AB|=4，△ABF2的周长为16，则AF2的长为 A.7 B.5 C.3 D.1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 由|AF1|=3|BF1|，|AB|=4，得|AF1|=3. 因为△ABF2的周长为16，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16， 所以|AF1|+|AF2|=2a=8，所以|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. 16 √ 2.已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△PF1F2的面积为3，则∠F1PF2的大小为 A.60° B.30° C.45° D.90° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 方法一　由对称性不妨设点P在第一象限， ∴=|F1F2|·yP=3， 又|F1F2|=2，∴yP=，∴xP=， 又F1(-，0)，F2(，0)， ∴|PF1|=6，|PF2|=2， ∴cos∠F1PF2==，又0°<∠F1PF2<180°， ∴∠F1PF2=60°. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 方法二　设∠F1PF2=θ， =b2tan =9tan =3， ∴tan =， 又0°<θ<180°， ∴=30°， ∴θ=60°. 16 3.若△ABC的两个顶点的坐标分别为A(-3，0)，B(3，0)，△ABC的周长为18.则顶点C的轨迹方程是 A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0) C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意，得|CA|+|CB|=12>|AB|， 所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点，c=3且a=6的椭圆，则b2=a2-c2=27. 又因为A，B，C三点不共线，所以顶点C的轨迹方程为+=1(y≠0). 16 4.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆位于第二象限内的一点，|PF2|=，则点P到直线x=的距离为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 方法一　设P(x0，y0)，∵F2(3，0)， ∴|PF2|==. ① 又+=1， ② 由①②得3-50x0-177=0， ∴x0=-3或x0=. 又x0<0， ∴x0=-3，∴d=+3=. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 方法二　∵a=5，b=4，c=3， ∴=， ∴由椭圆的第二定义得==， ∴d=|PF2|=. 16 5.已知椭圆的两焦点坐标分别为F1(-，0)，F2(，0)，P是椭圆上一点，若PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=8，则该椭圆的方程是 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设|PF1|=m，|PF2|=n，m>0，n>0， 因为PF1⊥PF2，|F1F2|=2，所以m2+n2==20. 因为|PF1|·|PF2|=mn=8， 所以(m+n)2=m2+n2+2mn=20+2×8=36， 因为m>0，n>0，所以m+n=6，即2a=6，a=3， 所以b2=a2-c2=4， 所以椭圆的方程为+=1. 16 6.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点，若MF1的中点为(0，1)，且△MF1F2的周长为8+4，则C的标准方程为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 因为△MF1F2的周长为8+4，所以2a+2c=8+4，则a+c=4+2， 又F1(-c，0)，MF1的中点为(0，1)，所以点M的坐标为(c，2)， 故+=1，则=2， 结合a2=b2+c2，a+c=4+2，解得a=4，b=c=2， 所以椭圆C的标准方程为+=1. 13 14 15 16 7.(多选)已知P是椭圆E：+=1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是 A.点P的纵坐标为3 B.∠F1PF2> C.△F1PF2的周长为4(+1) D.△F1PF2的内切圆半径为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由已知得a=2，b=2，c=2， F1(-2，0)，F2(2，0). 设P(m，n)， 则=·2c·|n|=3， 解得n=±，故A错误； 由+=1，解得m2=. 不妨设m>0，n>0，则P， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∴|PF1|2=+=+2，|PF2|2=+=-2， ∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=×2-16=>0， ∴cos∠F1PF2=>0， ∴∠F1PF2<，故B错误； △F1PF2的周长=2a+2c=4(+1)，故C正确； 设△F1PF2的内切圆半径为r， 则×4(+1)r=3，∴r=，故D正确. 16 8.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上的点P满足|PF1| =2|PF2|，则∠F1PF2的大小为　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 椭圆+=1中，a=3，b=2，c==，|F1F2|=2c=2. 由题意得 解得|PF1|=4，|PF2|=2， 所以+=42+22=20=， 所以△F1PF2是直角三角形，且∠F1PF2=. 16 9.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，且∠F1PF2 =90°，则点P到x轴的距离为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设点P(m，n)，由椭圆+y2=1，得F1(-，0)，F2(，0)，则=(--m，-n)，=(-m，-n).由∠F1PF2=90°，得·=(--m)(-m)+ n2=m2+n2-3=0.因为点P(m，n)在椭圆上，所以+n2=1，即m2=4(1-n2)，故m2+n2-3=4(1-n2)+n2-3=0，解得n2=，n=±，故点P到x轴的距离为. 16 10.已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法一　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4+11b2-16=0， 故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5， 故椭圆M的标准方程为+y2=1. 解： 13 14 15 16 10.已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则2a=+=2， 所以a=，因为c=2，所以b2=a2-c2=1. 故椭圆M的标准方程为+y2=1. 解： 13 14 15 16 10.已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点. (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)， 则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1， 解得y0=±. 又+=1， 所以=，x0=±， 解： 13 14 15 16 10.已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点. (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. 解： 13 14 15 16 11.设P为椭圆C：+=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|=3∶4，那么△GPF1的面积为 A.24 B.12 C.8 D.6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵P为椭圆C：+=1上一点，|PF1|∶|PF2|=3∶4，|PF1|+|PF2|=2a=14， ∴|PF1|=6，|PF2|=8， 又∵|F1F2|=2c=2=10，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， ∴△PF1F2是直角三角形，=|PF1|·|PF2|=24， ∵△PF1F2的重心为点G，∴=3， ∴△GPF1的面积为8. 16 12.(多选)已知椭圆C：+=1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A是椭圆上一点，若|OF1|=|OA|，△OAF1的面积为2，则|AF1|的值可以为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为|OA|=|OF1|=|OF2|=|F1F2|，所以∠F1AF2=. 设|AF1|=m，|AF2|=n，则=2=mn=4. 由椭圆的定义，得m+n=2a=6， 所以解得 或所以|AF1|=2或|AF1|=4. 16 13.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由椭圆的方程得a=5，b=4，c=3. 则△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在 椭圆+=1上， ∴|BC|+|AB|=2a=10， ∴由正弦定理可知==. 13 14 15 16 14.已知圆M：(x+3)2+y2=64的圆心为M，定点N(3，0)，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P. (1)求动点P的轨迹C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由已知得|PN|=|PA|，M(-3，0)，故|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=8>|MN|， 所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆， 设点P的轨迹方程为+=1(a>b>0)，则2a=8，a=4，c=3，b2=7， 所以点P的轨迹C的方程为+=1. 解： 16 14.已知圆M：(x+3)2+y2=64的圆心为M，定点N(3，0)，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P. (2)若点Q是曲线C上一点，且∠QMN=60°，求△QMN的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 不妨设|MQ|=m，由椭圆的定义可得|QN|=2a-m=8-m，又|MN|=2c=6， 则在△MNQ中，由余弦定理可得cos∠QMN==， 解得m=. 故△QMN的面积S=×m×2c×sin∠QMN=××6×=. 解： 16 15.已知椭圆Γ：+=1(0<n<9)，点M与Γ的焦点不重合，若M关于Γ的两个焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点Q在Γ上，则点N到A，B两点的距离之和为 A.6 B.8 C.12 D.16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 设椭圆Γ的左、右焦点分别为F1，F2，如图所示. 因为线段MN的中点为Q，点F2为MB的中点， 所以|QF2|=|BN|，同理可得|QF1|=|AN|. 因为点Q在椭圆Γ上，所以|QF1|+|QF2|=2a=6， 所以|AN|+|BN|=2(|QF1|+|QF2|)=12， 即点N到A，B两点的距离之和为12. 16.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上任意一点，N为圆E：(x-5)2+(y-4)2=1上任意一点，则|MN|-|MF1|的最小值为 A.2-1 B.4-5 C.4+5 D.2+1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 如图，M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4， 又因为N为圆E：(x-5)2+(y-4)2=1上任意一点， |MN|-|MF1|=|MN|-(4-|MF2|)=|MN|+|MF2|-4≥|EF2|-5， 当且仅当M，N，E，F2四点共线且M，N在E，F2之间时等号成立. 由题意知，F2(1，0)，E(5，4)，则|EF2|==4， 所以|MN|-|MF1|的最小值为4-5. THANKS 本课结束 $