2.1 等式性质与不等式性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本节同步练聚焦不等式性质，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念表示到实际应用的递进，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等关系表示、性质辨析|选择1直接用不等式表示速度与间距关系，考查数学抽象| |提升层|比较大小、性质推理|解答5通过作差法比较代数式大小，培养推理能力| |拓展层|实际应用、创新探究|应用题15货厢安排问题，体现模型意识与应用能力|

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 考点一　用不等式(组)表示不等关系 1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v(单位:km/h)的最大值为120,同一车道上的车间距d(单位:m)大于100,用不等式表示为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.v≤120且d>100 B.v≤120或d>100 C.v≤120 D.d>100 2.[2026·合肥八中高一期中] 某人元旦回家共225 km,准备先坐动车再转汽车,从动车转汽车耗时10 min,转汽车时离家还有30 km,已知动车的平均速度为300 km/h,汽车的平均速度为x km/h,若从坐动车开始能在1小时内到家,则x应该满足的不等式为 (　 ) A.+<1 B.+10<60 C.++10<60 D.++<1 考点二　比较两个数(代数式)的大小 3.[教材P40第2题变式] 若a=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,则下列结论正确的是 (　 ) A.a>b B.a<b C.a≥b D.a,b大小不确定 4.设a=,b=3-,则a　　　　b(填“>”或“<”).  5.(1)已知0<a<1,0<b<1,比较ab与a+b-1的大小; (2)设a>b>0,比较与的大小. 考点三　不等式性质的应用 6.[2026·济南高一期中] 已知a<b,则下列不等式变形正确的是 (　 ) A.a-3>b-3 B.3a>3b C.-a<-b D.a+3<b+3 7.“a>0,b>0,ab<1”是“a<”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(多选题)已知a,b,c,d均为实数,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab>0,->0,则bc-ad>0 C.若<<0,则< D.若ab<0,bc>ad,则->0 9.已知实数a,b满足-6<a<-3,5<b<7,则3a-2b的取值范围为　　　　　　　.  10.证明下列不等式: (1)已知a>b>c>d,求证:<; (2)[教材P43第7题] 已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证>. 11.已知a>b≥2,则 (　 ) A.b2<3b-a B.a3+b3>a2b+ab2 C.ab≤a+b D.+>+ 12.(多选题)若a>|b|≠0,c>0,则 (　 ) A.a2>b2 B.ac>bc C.< D.a+>b+ 13.在一间窗户面积a小于地板面积b的房子里,窗户与地板的面积同时增加m,则采光条件可变好.根据这个事实可以提炼出一个不等式,常常称为“阳光不等式”,它就是　　　　　　　.  14.已知-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1. (1)求x的取值范围; (2)求x-2y的取值范围. 15.[教材P43第12题] 火车站有某公司待运的甲种货物1530 t,乙种货物1150 t.现计划用A,B两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢,25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢. (1)据此安排A,B两种货厢的节数,共有几种方案? (2)若每节A型货厢的运费是0.5万元,每节B型货厢的运费是0.8万元,哪种方案的运费较少? 16.(多选题)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,则下列说法正确的是 (　 ) A.以,,为边长的三角形一定存在 B.以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在 C.以,,为边长的三角形一定存在 D.以ab,bc,ca为边长的三角形一定存在 17.设max{a,b,c}表示a,b,c中最大的数,设0<a<b<c<1,且a+b≤1,则max{b-a,c-b,1-c}的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 1.A　[解析] 因为该高速公路要求行驶的车辆的速度v(单位:km/h)的最大值为120,所以v≤120;因为同一车道上的车间距d(单位:m)大于100,所以d>100.因为两个规则都必须遵守,所以v≤120且d>100,故选A. 2.D　[解析] 由题知,汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时,即++<1.故选D. 3.B　[解析] 因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,所以a<b.故选B. 4.>　[解析] 由题得===>=1,即>1.又b>0,∴a>b. 5.解:(1)ab-a-b+1=(a-1)(b-1), 因为0<a<1,0<b<1,所以a-1<0,b-1<0, 所以(a-1)(b-1)>0,所以ab>a+b-1. (2)因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,则=>0,>0,所以==1+>1,故>. 6.D　[解析] 对于A,由a<b,得a-3<b-3,故A错误;对于B,由a<b,得3a<3b,故B错误;对于C,由a<b,可得-a>-b,故C错误;对于D,由a<b,得a+3<b+3,故D正确.故选D. 7.A　[解析] 若a>0,b>0,ab<1,则由不等式的性质可得a<,充分性成立.取a=-1,b=1,满足a<,但不满足a>0,必要性不成立.所以“a>0,b>0,ab<1”是“a<”的充分不必要条件.故选A. 8.BC　[解析] 对于A,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但ac=-2=bd,故A错误;对于B,由ab>0,-=>0,得bc-ad>0,故B正确;对于C,由<<0,得a<0,b<0,则<0<,故C正确;对于D,由ab<0,bc>ad,得-=<0,故D错误.故选BC. 9.-32<3a-2b<-19　[解析] 因为-6<a<-3,5<b<7,所以-18<3a<-9,-14<-2b<-10,所以-32<3a-2b<-19. 10.证明:(1)∵a>b>c>d,∴a>b,-d>-c, ∴a-d>b-c>0,则<. (2)∵a>b>0,c<d<0,e<0,∴-c>-d>0, ∴a-c>b-d>0,又b-a<0,c-d<0, ∴-===>0,∴>. 11.B　[解析] 对于A,取a=3,b=2,则b2=4>3b-a=3,故A错误;对于B,因为a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b)>0,所以a3+b3>a2b+ab2,故B正确;对于C,取a=4,b=2,则ab=8>a+b=6,故C错误;对于D,+--=≥0,当b=2时,可取等号,则+≥+,故D错误.故选B. 12.AB　[解析] 由a>|b|>0,得a2>b2,A正确;由a>|b|>0,且c>0,得ac>|b|c≥bc,B正确;当b<0时,>,C错误;当a=1,b=-时,a+=1-2=-1,b+=-+1=,D错误.故选AB. 13.>(0<a<b,m>0)　[解析] -==.因为0<a<b,m>0,所以b-a>0,m(b-a)>0,b(b+m)>0,因此>0,所以->0,即>(0<a<b,m>0). 14.解:(1)因为-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1, 所以-3≤2x≤3,所以-≤x≤. (2)设x-2y=a(x+y)+b(x-y),则x-2y=(a+b)x+(a-b)y, 所以解得 所以-1≤a(x+y)≤,-3≤b(x-y)≤, 所以-4≤x-2y≤2. 15.解:(1)设安排A,B两种货厢的节数分别为x,y, 则解得∴或或 故共有三种方案: 方案一,安排A型货厢28节,B型货厢22节;方案二,安排A型货厢29节,B型货厢21节;方案三,安排A型货厢30节,B型货厢20节. (2)方案一的运费为28×0.5+22×0.8=31.6(万元). 方案二的运费为29×0.5+21×0.8=31.3(万元). 方案三的运费为30×0.5+20×0.8=31(万元).易知安排A型货厢30节,B型货厢20节时,运费最少,为31万元. 16.AC　[解析] 由△ABC的三边长分别为a,b,c,不妨设a≥b≥c,则b+c>a.对于A,因为(+)2-()2=b+c-a+2>0,所以+>,因此以,,为边长的三角形一定存在,故A正确;对于B,b2+c2-a2=(b+c)2-2bc-a2>0不一定成立,因此以a2,b2,c2为边长的三角形不一定存在,故B不正确;对于C,+-=c>0,因此以,,为边长的三角形一定存在,故C正确;对于D,取a=5,b=4,c=2,则ca+bc<ab,因此以ab,bc,ca为边长的三角形不一定存在,故D不正确.故选AC. 17.　[解析] 令b-a=m,c-b=n,1-c=p,其中m,n,p>0,所以因为a+b≤1,所以1-n-p+1-m-n-p≤1,即m+2n+2p≥1,设M=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},则故5M≥m+2n+2p≥1,则M≥,当且仅当m+2n+2p=1且max{m,n,p}=时等号成立,如取m=n=p=,即a=,b=,c=时可满足等号成立,所以max{b-a,c-b,1-c}的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $