第06课 等式性质及不等式的性质 同步类-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-辨析-应用-证明”为逻辑主线，分层覆盖等式与不等式性质的认知、理解及综合应用，适配新授课基础巩固与能力初步提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|等式与不等式性质、比较大小方法|概念填空强化符号意识，夯实抽象能力| |理解应用|性质辨析、大小比较|18道真假判断及12道比较题，培养推理意识| |综合拓展|取值范围求解、不等式证明|9类取值范围题与12道证明题，发展逻辑推理与模型意识|

第06课 等式性质及不等式的性质 一、概念填空 1、等式及不等式的性质： 等式的性质 等式的性质： ①_______； ②_______； ③_______； 不等式的性质 性质 性质内容 对称性： ①_______； 传递性： ②_______； 可加性： ③_______； 可乘性： ④_______； _______； 不等式的推论 ①移项法则： ； ②同向不等式相加： ________； ③同向不等式相乘 ________； ④可乘方性： ________； ⑤可开方性： _____． 2、若，则： （1）真分数性质：______，即真分数越加越大，越减越小； （2）假分数性质：______，即假分数越加越小，越减越大． 3、两个实数比较大小的方法： 关系 方法 作差法 作商法 或________ 或________ 二、根据不等式性质判断命题真假： 4、根据不等式的性质判断命题真假，真命题填“真”，假命题填“假”： 命题 判断真假 （1）若，则； _______ （2）若，则； _______ （3）若，则 _______ （4）若，则 _______ （5）若，则； _______ （6）若，则； _______ （7）若，则； _______ （8）若，则； _______ （9）若，，则； _______ （10）若，，则； _______ （11）若，则； _______ （12）若，则； _______ （13）若，则； _______ （14）若， _______ （15）若， _______ （16）若， _______ （17）若， _______ （18）若，则； _______ （19）若，则； _______ （20）若，则； _______ 三、比较大小： 5、用不等号“>”或“<”填空： （1）如果,,那么______； （2）如果,,那么____； （3）如果,那么____； （4）如果,那么____； （5）______； （6）______； （7）______（）； （8）______（）； 6、用作差法或作商法判断大小，用不等号“>”或“<”填空： （1）________； （2）已知，设，，则________； （3）设，则________； （4）设，，则______； （5）设,，则______； （6）若，设，，则______； （7）设，为实数，则______； （8）若，则_______； （9）若，则_______； （10）若，，设，，则______； （11）已知，则______； （12）设，则______； 四、根据不等式求取值范围： 7、根据不等式求取值范围（一）： （1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，则的取值范围为___________． （3）已知，则的范围为___________． （4）已知，，则的取值范围是________． （5）已知，则的取值范围为______． （6）已知，则的取值范围是___________ 8、根据不等式求取值范围（二）： （1）已知，，则a的取值范围为______； （2）已知，，则的取值范围为______； （3）已知，则的取值范围为______； （4）已知，，则的范围是_________； （5）已知满足，则的范围是______； （6）已知，，，则的取值范围是_____． 9、根据不等式求取值范围（三）： （1）设，的取值范围是________；的取值范围是________； （2）已知，，的取值范围为______________. （3）已知，则的取值范围为______ （4）已知，，则的取值范围是________． （5）已知，，则的取值范围是______. （6）已知，，则的取值范围是________. （7）已知，则的取值范围为_____________． （8）已知，则的取值范围为__________. （9）已知，则的取值范围是_____． （10）已知，则的取值范围是_________． 五、根据不等式的性质证明： 10、证明不等式： （1）已知，，，证明：； （2）已知，证明：； （3）已知，若，证明：； （4）已知，求证：； （5）已知 ，求证：； （6）已知正实数满足不等式组，证明：； （7）已知，，，证明：； （8）已知，，，证明：； （9）已知，，，若，证明； （10）已知，求证：； （11）已知，求证： ； （12）已知，求证：； 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06课 等式性质及不等式的性质 一、概念填空 1、等式及不等式的性质： 等式的性质 等式的性质： ①_______； ②_______； ③_______； 不等式的性质 性质 性质内容 对称性： ①_______； 传递性： ②_______； 可加性： ③_______； 可乘性： ④_______； _______； 不等式的推论 ①移项法则： ； ②同向不等式相加： ________； ③同向不等式相乘 ________； ④可乘方性： ________； ⑤可开方性： _____． 【答案】 等式的性质：①；②；③ 不等式的性质：①；②；③；④，； 不等式的推论：②；③；④；⑤ 2、若，则： （1）真分数性质：______，即真分数越加越大，越减越小； （2）假分数性质：______，即假分数越加越小，越减越大． 【答案】 （1）；； （2）；； 3、两个实数比较大小的方法： 关系 方法 作差法 作商法 或________ 或________ 【答案】； 二、根据不等式性质判断命题真假： 4、根据不等式的性质判断命题真假，真命题填“真”，假命题填“假”： 命题 判断真假 （1）若，则； _______ （2）若，则； _______ （3）若，则 _______ （4）若，则 _______ （5）若，则； _______ （6）若，则； _______ （7）若，则； _______ （8）若，则； _______ （9）若，，则； _______ （10）若，，则； _______ （11）若，则； _______ （12）若，则； _______ （13）若，则； _______ （14）若， _______ （15）若， _______ （16）若， _______ （17）若， _______ （18）若，则； _______ （19）若，则； _______ （20）若，则； _______ 【答案】 （1）假 （2）真 （3）假 （4）真 （5）假 （6）真 （7）假 （8）假 （9）真 （10）假 （11）真 （12）假 （13）假 （14）真 （15）真 （16）真 （17）假 （18）真 （19）假 （20）真 【解析】 （1），当时，，故假命题； （2），当，则，即，则，故真命题； （3），当时，，故假命题； （4），因为，所以，故真命题； （5），当，则，则，故假命题； （6），当，则且，故，故真命题； （7），当，则，故，即，故假命题； （8），，故假命题； （9），因为，，所以，即，故真命题； （10），当，则，故假命题； （11），由，即，所以，故真命题； （12），当时，不等式无意义，当时，由，可得，故假命题； （13），由，根据不等式的性质，可得，故假命题； （14），因为，所以，则，故真命题； （15），因为，所以，则，故真命题； （16），因为，所以，则，故真命题； （17），因为，所以，则，故假命题； （18），若，则，所以，所以，故真命题； （19），当，满足，但，故假命题； （20），若，则，故真命题； 三、比较大小： 5、用不等号“>”或“<”填空： （1）如果,,那么______； （2）如果,,那么____； （3）如果,那么____； （4）如果,那么____； （5）______； （6）______； （7）______（）； （8）______（）； 【答案】 （1）> （2）< （3）< （4）< （5）> （6）< （7）< （8）> 【解析】 （1）,.,； （2）,.,,； （3）,,,,； ,即； （4）,所以,.于是,即,即. ,； （5）由，得； （6）由，得； （7）由，，得； （8）由，得； 6、用作差法或作商法判断大小，用不等号“>”或“<”填空： （1）________； （2）已知，设，，则________； （3）设，则________； （4）设，，则______； （5）设,，则______； （6）若，设，，则______； （7）若，为实数，则______； （8）若，则_______； （9）若，则_______； （10）若，，设，，则______； （11）已知，则______； （12）设，则______； 【答案】 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 【解析】 （1）分母有理化有， 所以，所以． （2）方法1：因为，所以. 所以. 因为，所以，即； 方法2：因为， 又， 所以 , 所以； （3）因为，所以； （4）令，则，， ，所以； （5）因为, 所以，所以； （6）因为，， 则， 且，则， 可得，即； （7）因为， 所以. （8）因为－＝＝≤0，所以≤； （9）， ，. 两数作商， ； （10）． 因为，，所以，，， 所以，所以； （11）， 因为，所以，，即， 所以，即． （12）， 因为，所以，则上式大于0，故 四、根据不等式求取值范围： 7、根据不等式求取值范围（一）： （1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，则的取值范围为___________． （3）已知，则的范围为___________． （4）已知，，则的取值范围是________． （5）已知，则的取值范围为______． （6）已知，则的取值范围是___________ 【答案】 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 （1）因为，，所以； （2）因为，则， 所以,即； （3）因为，所以， 又，所以； （4）因为，则； 又，则， 两式相加，则； （5）因为，所以，， 根据同向不等式可加性得； （6）因为，所以， 又因为，所以； 8、根据不等式求取值范围（二）： （1）已知，，则a的取值范围为______； （2）已知，，则的取值范围为______； （3）已知，则的取值范围为______； （4）已知，，则的范围是_________； （5）已知满足，则的范围是______； （6）已知，，，则的取值范围是_____． 【答案】 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 （1）因为，，两式相加得，即； （2）设， 所以，解得，所以， 因为 所以， 相加得，即； （3）设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即； （4）由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以； （5）因为， 且，则，可得； （6）设， 所以，解得，故， 因为，，所以， 由不等式的基本性质可得，即； 9、根据不等式求取值范围（三）： （1）设，的取值范围是________；的取值范围是________； （2）已知，，的取值范围为______________. （3）已知，则的取值范围为______ （4）已知，，则的取值范围是________． （5）已知，，则的取值范围是______. （6）已知，，则的取值范围是________. （7）已知，则的取值范围为_____________． （8）已知，则的取值范围为__________. （9）已知，则的取值范围是_____． （10）已知，则的取值范围是_________． 【答案】 （1）； （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 【解析】 （1）由，，知. 由，得；又，所以； （2）因为，所以， 因为，所以，所以. （3）由题意，则，又，故； （4）因为，所以，又因为， 所以，即． （5）因为，所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则； （6）由，则，而，故， 所以，的取值范围是； （7）因为，所以. 因为，所以， 当，所以，即； 当时，； 当时，，综上，； （8）因为， 所以，所以； （9）因为，所以， 所以； （10）由，可得， 则，所以的取值范围是； 五、根据不等式的性质证明： 10、证明不等式： （1）已知，，，证明：； （2）已知，证明：； （3）已知，若，证明：； （4）已知，求证：； （5）已知 ，求证：； （6）已知正实数满足不等式组，证明：； （7）已知，，，证明：； （8）已知，，，证明：； （9）已知，，，若，证明； （10）已知，求证：； （11）已知，求证： ； （12）已知，求证：； 【答案】 （1）已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，； （2）因为，所以； （3）由可得， 即， 因，，则有， 故得：， 由可得，由可得，于是有． （4）， 因为，所以，又，所以， 所以； （5），且，所以且，即； （6）由不等式组及均为正实数，得， 则，即，所以； （7）由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以； （8）证明：∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （9）证明：. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. （10）证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此； （11）由题意可知：， 即，两侧同除，则，证毕； （12）证明：因，则由 ， （当且仅当时等号成立）； 又因， 则；同理可证， 故可得（当且仅当时等号成立）. 故原不等式得证． 试卷第14页，共17页 试卷第13页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $