01 1.4.1 充分条件与必要条件 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“充分条件与必要条件”同步练，以“基础概念→逻辑辨析→综合应用”分层递进，适配新授课知识巩固，培养数学推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|命题的概念与真假判断|单选为主，如第1题判断命题类型，夯实抽象能力| |进阶层|充分/必要条件的辨析|多选与填空结合，如第5题诗句逻辑关系，发展推理意识| |综合应用层|条件关系与集合、方程的综合|解答与情境题，如第16题猜数字游戏，提升数学应用与创新意识|

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 考点一　命题及其真假 1.下列语句是命题的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.3是偶数吗? B.三角形的内角和等于180° C.这里的景色真美啊! D.x>2 2.给出下列命题:①等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合;②在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上;③直角三角形的两个锐角互余;④有一个角等于60°的三角形是等边三角形;⑤已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为16. 其中真命题的个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.命题“如果x2-x-2≠0,那么x≠2”是　　　　命题(填“真”或“假”).  考点二　充分条件与必要条件 4.(多选题)[教材P20第1题变式] 下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.若一个三角形为直角三角形,则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半 B.若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,则这两个图形关于这点中心对称 C.若圆内一条直径平分另一条直径,则这两条直径互相垂直 D.若平面内有不在同一条直线上的三个点,则这三个点确定一个圆 5.(多选题)[2026·贵阳高一期中] 王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽,黄河入海流.欲穷千里目,更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼,才能穷千里目”的逻辑关系,则以下说法正确的是 (　 ) A.“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件 B.“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件 C.“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件 D.“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件 6.“|x+y|=|x|+|y|”是“xy>0”的　　　　条件.(填“充分”或“必要”)  7.判断下列各题中p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗? (1)p:x>1,q:x2>1; (2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; (3)已知y=ax2+bx+c(a≠0),p:Δ=b2-4ac>0,q:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点. 考点三　充分条件与必要条件的应用 8.已知p:x2-4x+3=0,q:-3≤x-1≤m,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围为 (　 ) A.m> B.m≥ C.m>-2 D.m≥-2 9.(多选题)已知条件p:x2+x-6=0;条件q:ax+1=0(a≠0).若p是q的必要条件,则实数a的值可以是 (　 ) A. B. C.- D.- 10.已知p是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,则s是q的　　　　条件,r是q的　　　　条件,p是s的　　　　条件.(填“充分”或“必要”)  11.已知集合P={x|1≤x≤2},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充分条件?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 12.对任意集合A和集合B,下列结论正确的是 (　 ) ①(A∩B)⊆(A∪B); ②(A∩B)⫋A⫋(A∪B). A.①为真命题,②为真命题 B.①为真命题,②为假命题 C.①为假命题,②为真命题 D.①为假命题,②为假命题 13.已知集合M={x|ax2-2x+1=0,a∈R},则“a=1”是“M仅有1个真子集”的 (　 ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不必要条件 14.(多选题)设计如图所示的四个电路图,条件A:开关S1闭合;条件B:灯泡L亮,则A是B的必要条件的图为 (　 ) A B C D 15.已知集合A={x|-1<x<3},非空集合B={x|-1<x<m+1},若x∈B成立的一个必要不充分条件是x∈A,则实数m的取值范围是　　　　.  16.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合A={x|0<Δx<2},B={x|-3≤x≤5},C=,然后他们三人各用一句话来正确描述“Δ”表示的数字,并让丁同学猜出该数字.以下是甲、乙、丙三位同学的描述: 甲:此数为小于5的正整数; 乙:x∈B是x∈A的必要不充分条件; 丙:x∈C是x∈A的充分不必要条件. 则“Δ”表示的数字是 (　 ) A.1或2 B.2或3 C.3或4 D.1或3 17.已知集合A={x|x3-2x2-x+2=0},非空集合B={x|2ax2-3(a2+1)x+4=0}. (1)若A∩B={2},求a的取值集合; (2)若x∈A是x∈B的必要条件,求a的取值集合. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 1.B　[解析] 对于A,命题是陈述句不是疑问句,A错误;对于B,这是陈述句,且可以判断真假,是命题,B正确;对于C,这是感叹句,不是命题,C错误;对于D,这是一个数学不等式,不能判断真假,不是命题,D错误.故选B. 2.B　[解析] 对于①,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合,故①是假命题.对于②,在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,故②是真命题.对于③,直角三角形的两个锐角互余,故③是真命题.对于④,有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,故④是假命题.对于⑤,当腰长为5时,这个等腰三角形的周长为16;当腰长为6时,这个等腰三角形的周长为17,所以这个等腰三角形的周长为16或17,故⑤是假命题.故选B. 3.真　[解析] 由x2-x-2≠0,得(x+1)(x-2)≠0,解得x≠-1且x≠2,所以命题“如果x2-x-2≠0,那么x≠2”是真命题. 4.AD　[解析] 对于A,若一个三角形为直角三角形,则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半,即p⇒q,所以p是q的充分条件,所以A正确;对于B,根据中心对称的性质可得,线段被该点总是平分时,这两个图形才关于这点中心对称,即p⇒/ q,所以B错误;对于C,圆内一条直径平分另一条直径,此时这两条直径不一定互相垂直,即p⇒/ q,所以C错误;对于D,根据圆的作法可得,若平面内有不在同一条直线上的三个点,则这三个点确定一个圆,即p⇒q,所以p是q的充分条件,所以D正确.故选AD. 5.BC　[解析] 由题意可知“只有更上一层楼,才能穷千里目”,但“仅更上一层楼,未必能穷千里目”,所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件,“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件.故A错误,B正确,C正确,D错误.故选BC. 6.必要　[解析] 由|x+y|=|x|+|y|,得x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy|,则xy=|xy|,则xy≥0,所以“|x+y|=|x|+|y|”是“xy>0”的必要条件. 7.解:(1)由x>1可以推出x2>1,因此p是q的充分条件; 由x2>1,得x<-1或x>1,因此p不是q的必要条件. (2)由(a-2)(a-3)=0,得a=2或a=3,因此p不是q的充分条件;由a=3可以推出(a-2)(a-3)=0,因此p是q的必要条件. (3)当Δ>0时,其图象与x轴有交点,因此p是q的充分条件;若函数的图象与x轴有交点,则Δ≥0,因此p不是q的必要条件. 8.B　[解析] 设集合A={x|x2-4x+3=0}={1,3},集合B=={x|-4≤x≤2m+2}.因为p是q的充分条件,所以A是B的子集,所以解得m≥.故选B. [易错提醒] 若p⇒q,则p是q的充分条件,所谓“充分”,即要使q成立,有p成立就足够了;q是p的必要条件,所谓“必要”,即q是p成立的必不可少的条件,缺其不可. 9.BC　[解析] 由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3.由ax+1=0(a≠0),解得x=-.因为p是q的必要条件,所以-=2或-=-3,解得a=-或a=.故选BC. 10.必要　必要　必要　[解析] 因为p是r的必要条件,所以r⇒p,因为s是r的充分条件,所以s⇒r,因为q是s的充分条件,所以q⇒s,所以q⇒s⇒r⇒p,所以s是q的必要条件,r是q的必要条件,p是s的必要条件. 11.解:(1)要使x∈P是x∈S的充分条件,需使P⊆S,即解得m≥1, 所以存在实数m≥1,使x∈P是x∈S的充分条件. (2)要使x∈P是x∈S的必要条件,需使S⊆P. 则有解得m=0. 综上可得,当实数m=0时,x∈P是x∈S的必要条件. [规律总结] 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,有时还需要借助数轴解决问题. 12.B　[解析] 因为(A∩B)⊆A,A⊆(A∪B),所以(A∩B)⊆(A∪B),①为真命题;当B=⌀时,A∩B=⌀,A∪B=A,②是假命题.故选B. 13.A　[解析] 若a=1,则方程ax2-2x+1=0变为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,解得x=1,∴方程有两个相等的实数根1,∴M={1}仅有一个真子集⌀,∴“a=1”能推出“M仅有1个真子集”,故充分性成立;若“M仅有1个真子集”,则“M中仅有1个元素”,当a=0时,-2x+1=0,解得x=,则M=仅有一个真子集⌀,当a=1时,x2-2x+1=(x-1)2=0,解得x=1,即M={1}仅有一个真子集⌀,∴“M仅有1个真子集”不能推出“a=1”,故必要性不成立.故选A. 14.BC　[解析] 对于A,开关S1闭合灯亮,反过来灯泡L亮,也可能是开关S2闭合,∴A不是B的必要条件;对于B,只有一个开关,灯如果要亮,开关S1必须闭合,∴A是B的必要条件;对于C,∵灯亮必须S1和S2同时闭合,∴A是B的必要条件;对于D,灯一直亮,跟开关没有关系,∴A不是B的必要条件.故选BC. 15.{m|-2<m<2}　[解析] 因为x∈B成立的一个必要不充分条件是x∈A,所以x∈A推不出x∈B,且x∈B可推出x∈A,故集合B是集合A的真子集,则m+1>-1,且m+1<3,解得-2<m<2.故实数m的取值范围是{m|-2<m<2}. 16.A　[解析] 因为“Δ”表示的数为小于5的正整数,所以A={x|0<Δx<2}=.因为x∈B是x∈A的必要不充分条件,所以A是B的真子集,又x∈C是x∈A的充分不必要条件,所以C是A的真子集,所以≤5且>,所以“Δ”表示的数字是1或2.故选A. 17.解:(1)由x3-2x2-x+2=0得(x-2)(x2-1)=0,所以x=2或x=±1,所以A={-1,1,2}, 因为A∩B={2},所以2∈B且±1∉B, 所以8a-6(a2+1)+4=0,即(3a-1)(a-1)=0,所以a=或a=1. 当a=1时,B={1,2},不符合题意; 经检验,当a=时,满足题意. 综上,a的取值集合为. (2)若x∈A是x∈B的必要条件,则B⊆A且B≠⌀, 所以B={-1}或{1}或{2}或{-1,2}或{1,2}或{-1,1}. ①由(1)可知,当B={1,2}时,a=1; ②当B={1}时,2a-3(a2+1)+4=0,解得a=-或a=1,显然a=1不成立;当a=-时,Δ=9-4×4×2×≠0,不符合题意; ③当B={2}时,由(1)可得a=或a=1,显然此时a=1不符合题意; 当a=时,显然Δ=9-4×4×2×≠0,不符合题意; ④当B={-1}时,2a+3(a2+1)+4=0,此时方程无解,不符合题意;故B={-1,2}和B={-1,1}也不成立. 综上所述,a的取值集合为{1} 学科网（北京）股份有限公司 $