1.4.1充分条件与必要条件 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过"A级基础+ B级提升"分层设计，以选择、填空、解答等多元题型构建从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，培养数学逻辑推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|充分、必要、充要条件的基础判断，单一知识点直接应用|8道题，以圆的性质、实数关系等具体情境考查概念辨析，如第1题结合圆的性质，第5题通过不等式解集强化条件关系判断| |B级|充要条件的综合证明、跨知识模块应用（集合、方程、三角形）|4道题，含古诗情境理解（第9题）、集合与充要条件结合（第10题）、代数与几何证明（第11-12题），深化逻辑推理与数学表达|

1.4.1充分条件与必要条件 A级 基础练习 1.“圆O内两条弦相等”是“圆O内两条弦所对的圆周角相等”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2026天津武清期中)已知a,b∈R,则“a=b=0”是“a+b=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的(　　) A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 4.(多选题)(2026山东济宁期中)下列是“集合P是集合Q的子集”的必要条件的有(　　) A.P∩Q=P B.P∩Q=⌀ C.P∪Q=Q D.P∪Q=P 5.已知p:|x-1|<1,q:-1<x<2,则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.“2x2-5x-3<0”的一个必要不充分条件是(　　) A.-<x<3 B.-1<x<6 C.-3<x< D.-<x<0 7.命题“x2+4x-5≠0”是命题“x≠1”的　　　　　条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)  8.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　.  B级 拔高提升 9.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”传诵至今.由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.设集合A={x|x2≥2x},B={x∈N|x-5≤7-2x}. (1)用列举法表示集合A∩B,并指出集合A∩B的子集的个数; (2)记C={x∈R|x≤a-2或x≥a+6},若“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 11． 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 12.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证: a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件. 参考答案 1.C　由圆的性质可以判断为充要条件. 2.A　如果a=b=0,则有a+b=0,即充分性成立;如果a+b=0,则有a=-b,但不能推出a=b=0,比如a=1,b=-1,满足a+b=0,即必要性不成立,所以“a=b=0”是“a+b=0”的充分不必要条件.故选A. 3.B　若a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立; 若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立. 4.AC　若P⊆Q,则P∩Q=P,P∪Q=Q,故是“集合P是集合Q的子集”的必要条件的是A,C选项.故选AC. 5.A　已知p:|x-1|<1,解不等式得0<x<2,而q:-1<x<2,∴由p能推出q,由q推不出p,则p是q成立的充分不必要条件,故选A. 6.B　2x2-5x-3<0⇔(x-3)(2x+1)<0⇔-<x<3,因为⫋{x|-1<x<6},所以-<x<6是2x2-5x-3<0的必要不充分条件.故选B. 7.充分不必要　若x2+4x-5≠0,即(x-1)(x+5)≠0,解得x≠1且x≠-5,故充分性成立;若x≠1,取x=-5,此时x2+4x-5=0,故必要性不成立,所以命题“x2+4x-5≠0”是命题“x≠1”的充分不必要条件. 8.{m|m>2}　因为q是p的必要不充分条件,即{x|-1<x<3}⫋{x|-1<x<m+1},则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是{m|m>2}. 9.B　“攻破楼兰”不一定会返回家乡,不充分;“返回家乡”一定是在攻破楼兰的前提下,必要.故选B. 10.解 (1)因为A={x|x2≥2x}={x|x≤0或x≥2},B={x∈N|x-5≤7-2x}={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4}, 所以A∩B={0,2,3,4}, 集合A∩B的子集有24=16个. (2)因为“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件, 所以C是A的真子集, 所以(两等号不能同时成立),解得-4≤a≤2,即实数a的取值范围是{a|-4≤a≤2}. 11，证明 充分性(由条件推出结论):因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一个根为1,所以a+b+c=0⇒方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 必要性(由结论推出条件):因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1⇒a+b+c=0, 从而a+b+c=0⇔方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 12，证明 先证明充分性: 由a2+b2+c2=ab+ac+bc,得2(a2+b2+c2)=2ab+2ac+2bc, 整理得(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0, 所以a=b=c,即△ABC是等边三角形. 然后证明必要性: 由△ABC是等边三角形,则a=b=c, 所以a2+b2+c2=ab+ac+bc. 综上所述,a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $