1.4.2　充要条件同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以考点分层设计，覆盖充要条件判断、证明及应用，通过基础辨析到综合应用的梯度设置，培养数学推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |考点一（判断）|绝对值与平方关系、坐标方程、文学情境中的条件辨析|结合《游褒禅山记》情境，用数学眼光分析现实语言，强化概念理解| |考点二（证明）|三角形高与等腰三角形的充要性、代数等式的条件推导|通过规范证明过程，发展逻辑推理能力，衔接教材变式题| |考点三（应用）|集合关系、参数范围、函数图像、方程根的综合问题|设置多选题与开放填空题，结合集合、函数知识，提升数学语言表达与综合应用能力|

1.4.2　充要条件 考点一　充要条件的判断 1.[2026·重庆十八中高一月考] 已知a,b∈R,则“|a|>|b|”是“a2>b2”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 2.[2026·张家界高一期中] 已知a,b∈R,则“(a-2)2+(b-2)2=0”是“ab=4”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.王安石在《游褒禅山记》中说过一段话:“而世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析,“有志”是“能至”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件 考点二　充要条件的证明 4.证明:“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件. 5.[教材P23第5题变式] 已知a,b是实数,判断:a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的什么条件(请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”回答),并证明你的结论. 考点三　充分条件、必要条件、充要条件的应用 6.集合A={-1,1,3,5},集合B={a,1,3,5},若“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则a= (　 ) A.0 B.-1 C.3 D.5 7.(多选题)若“x<m或x>m+2”是“-1<x<4”的必要不充分条件,则实数m的值可以是 (　 ) A.-5 B.-3 C.3 D.5 8.“集合A={x|ax2-3x+2=0}中至多含有一个元素”的一个充分不必要条件是　　　　.  9.已知集合A={x|x≤1-a或x>1+a},B={x|x<-1或x≥2}. (1)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求实数a的取值范围; (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 10.已知x,y∈R,则(x-1)(y-1)≠0的充要条件是 (　 ) A.x≠1 B.y≠1 C.x≠1且y≠1 D.x≠1或y≠1 11.已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不等实根,则“x1>-1且x2>1”是“x1+x2>0且x1x2>-1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(多选题)[2026·广东佛山高一检测] 下列说法正确的是 (　 ) A.“x>”是“x>1”的充分不必要条件 B.“m≠0”是“mn≠0”的充分条件 C.“a2+b2+c2=ab+bc+ac”是“a=b=c”的充要条件 D.“A∩B≠⌀”是“A⊆B”的必要不充分条件 13.“等式(x-1)2+(y+2)2=0成立”是“等式(x-1)(y+2)=0成立”的　　　　　　条件.  14.一次函数y=(k-1)x+2k+1的图象经过第一、二、四象限的充要条件是　　　　.  15.(多选题)[2026·苏州实验中学高一调研] 有限集合S中元素的个数记作card(S),设A,B都为有限集合,则下列说法正确的是 (　 ) A.A∩B=⌀的充要条件是card(A∪B)=card(A)+card(B) B.A⊆B的必要不充分条件是card(A)<card(B)+1 C.A⊆B的充分不必要条件是card(A)≤card(B)-1 D.A=B的充要条件是card(A)=card(B) 16.[2026·云南昭通高一期中] 已知m∈Z,关于x的一元二次方程x2-4x+4m=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0,证明:m=1是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　充要条件 1.D　[解析] 由|a|>|b|,可得a2>b2,故充分性成立;由a2>b2,得|a|2>|b|2,即|a|>|b|,故必要性成立.所以“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件.故选D. 2.A　[解析] 因为(a-2)2+(b-2)2=0,所以a=2且b=2,所以ab=4,充分性成立;当ab=4时,取a=8,b=,则(a-2)2+(b-2)2≠0,必要性不成立.综上,“(a-2)2+(b-2)2=0”是“ab=4”的充分不必要条件.故选A. 3.D　[解析] 由题意知,“有志”不一定“能至”,但“能至”一定“有志”,所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.故选D. 4.证明:在△ABC中,设AC边上的高为h1,AB边上的高为h2,则S△ABC=AC·h1=AB·h2, 因为h1=h2,所以AC=AB, 所以△ABC为等腰三角形,充分性成立. 若△ABC为等腰三角形,设AB=AC,AC边上的高为h1,AB边上的高为h2, 因为S△ABC=AC·h1=AB·h2, 所以h1=h2,必要性成立. 综上,“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件. 5.解:“a2-b2=1”是“a4-b4-2b2=1”的充要条件,证明如下: 由a4-b4-2b2=1,得a4=b4+2b2+1=(b2+1)2,则(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0. 因为a2+b2+1>0,所以a2-b2=1,必要性成立; 由a2-b2=1,可得(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0, 即a4-b4-2b2=1,充分性成立. 故“a2-b2=1”是“a4-b4-2b2=1”的充要条件. [易错提醒] 对于充要条件的证明,一定要清晰区分充分性与必要性的证明方向.当p⇒q时,p是q的充分条件;当q⇒p时,p是q的必要条件. 6.B　[解析] 因为“x∈A”是“x∈B”的充要条件,所以A=B,又A={-1,1,3,5},B={a,1,3,5},所以a=-1.故选B. 7.ABD　[解析] 因为“x<m或x>m+2”是“-1<x<4”的必要不充分条件,所以m≥4或m+2≤-1,解得m≥4或m≤-3,结合选项,实数m的值可以是-5,-3和5.故选ABD. 8.a≥(答案不唯一)　[解析] 对于ax2-3x+2=0,当a=0时,-3x+2=0,解得x=,此时A=,满足题意;当a≠0时,要使得集合A中至多含有一个元素,则Δ=(-3)2-4a×2≤0,解得a≥.综上可得,实数a的取值范围为{0}∪,所以集合A中至多含有一个元素的一个充分不必要条件为a≥(答案不唯一). 9.解:(1)因为“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,所以A是B的非空真子集,所以解得a>2,所以实数a的取值范围为a>2. (2)因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,所以B是A的真子集. ①当1-a≥1+a,即a≤0时,A=R,符合题意; ②当1-a<1+a,即a>0时,解得0<a<1. 综上可得,实数a的取值范围为a<1. [规律总结] 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤:(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系;(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 10.C　[解析] (x-1)(y-1)≠0等价于即x≠1且y≠1.故选C. 11.D　[解析] 取x1=->-1,x2=4>1,而x1+x2=>0,x1x2=-2<-1,所以由“x1>-1且x2>1”不能推出“x1+x2>0且x1x2>-1”;取x1=1>-1,x2=<1,满足x1+x2=>0且x1x2=>-1,所以由“x1+x2>0且x1x2>-1”不能推出“x1>-1且x2>1”.故“x1>-1且x2>1”是“x1+x2>0且x1x2>-1”的既不充分也不必要条件.故选D. 12.AC　[解析] 对于A,若x>,则x>1,故充分性成立,若x>1,取x=1.2,则x<,故必要性不成立,所以“x>”是“x>1”的充分不必要条件,故A正确;对于B,若m≠0,但n=0,则mn=0,故充分性不成立,若mn≠0,则m≠0,故必要性成立,所以“m≠0”是“mn≠0”的必要不充分条件,故B错误;对于C,若a2+b2+c2=ab+bc+ac,则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,所以a=b=c,故充分性成立,若a=b=c,则a2+b2+c2=ab+bc+ac,故必要性成立,所以“a2+b2+c2=ab+bc+ac”是“a=b=c”的充要条件,故C正确;对于D,若A∩B≠⌀,则当A={1,2},B={2,3}时,A∩B={2},但A⊈B,故充分性不成立,若A⊆B,则当A=⌀时,A∩B=⌀,故必要性不成立,所以“A∩B≠⌀”是“A⊆B”的既不充分也不必要条件,故D错误.故选AC. 13.充分不必要　[解析] 当等式(x-1)2+(y+2)2=0成立时,x=1且y=-2,此时等式(x-1)(y+2)=0成立,故充分性成立;当等式(x-1)(y+2)=0成立时,x=1或y=-2,此时等式(x-1)2+(y+2)2=0不一定成立,故必要性不成立.所以“等式(x-1)2+(y+2)2=0成立”是“等式(x-1)(y+2)=0成立”的充分不必要条件. 14.-<k<1　[解析] 因为一次函数y=(k-1)x+2k+1的图象经过第一、二、四象限,所以解得-<k<1,所以一次函数y=(k-1)x+2k+1的图象经过第一、二、四象限的充要条件是-<k<1. 15.AB　[解析] 对于A,因为A∩B=⌀等价于card(A∩B)=0,card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),所以card(A∩B)=0等价于card(A∪B)=card(A)+card(B),故A∩B=⌀的充要条件是card(A∪B)=card(A)+card(B),故A正确;对于B,card(A)<card(B)+1只是说明集合A和集合B元素个数的关系,不能得到A⊆B,若A⊆B,则集合A中的元素都是集合B中的元素,则card(A)≤card(B)⇒card(A)<card(B)+1,故A⊆B的必要不充分条件是card(A)<card(B)+1,故B正确;对于C,card(A)≤card(B)-1只是说明集合A和集合B元素个数的关系,不能得到A⊆B,如A={0,1},B={2,3,4,5},则card(A)=2,card(B)=4,满足card(A)≤card(B)-1,但是集合A,B没有包含关系,故card(A)≤card(B)-1推不出A⊆B,即充分性不成立,故C错误;对于D,若A=B,则集合A中的元素与集合B中的元素完全相同,则A=B⇒card(A)=card(B),但两个集合的元素个数相同,并不意味着它们的元素相同,如A={0,1},B={2,3},则card(A)=2,card(B)=2,显然A≠B,故D错误.故选AB. 16.证明:将m=1代入方程x2-4x+4m=0,得x2-4x+4=0,即(x-2)2=0,解得x=2,为整数根; 将m=1代入方程x2-4mx+4m2-4m-5=0, 得x2-4x-5=0,即(x-5)(x+1)=0,解得x=5或-1,为整数根. 故m=1是两个方程的根都是整数的充分条件. 若方程x2-4x+4m=0有实根, 则Δ=16-16m≥0,即m≤1, 若方程x2-4mx+4m2-4m-5=0有实根,则Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,即16m+20≥0,解得m≥-, 所以上述两个方程都有实根等价于-≤m≤1. 因为m∈Z,所以m=-1,0,1. 当m=-1时,方程x2-4x+4m=0可化为x2-4x-4=0,无整数根; 当m=0时,方程x2-4mx+4m2-4m-5=0可化为x2-5=0,无整数根; 当m=1时,上述两个方程都有整数根. 故上述两个方程都有整数根的必要条件是m=1. 综上所述,两个方程的根都是整数的充要条件是m=1. 学科网（北京）股份有限公司 $