1.4.2充要条件同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦“充要条件”，采用“基础全面练+综合应用练”分层设计，通过概念辨析到逻辑证明的进阶路径，强化数学思维与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|集合、代数、实际情境中的充分/必要/充要条件判断|单选/多选/填空结合，如集合运算与充要条件的关联题，夯实概念理解| |综合应用练|集合包含关系、电路图情境、充要条件证明|含证明题（如方程根与系数关系）和实际情境题（电路图开关与灯泡关系），提升逻辑推理能力|

　　充要条件 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)已知集合M,N,则“M∩N=M”是“M∪N=N”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(5分)“(a-b)2+|b-c|=0”是“a=b=c”的　　条件. (　　)  A.充要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充分不必要 3.(5分)(2025·岳阳高一检测)“x>3”是“3(x-1)≥2x+1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(5分)(2025·濮阳高一检测)某生命科学研究所通过研究发现,当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时,可认定为轻微肥胖;当一个人的肥胖指数大于28时,可认定为严重肥胖,且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种,据上述文字叙述可以得知 (　　) A.严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B.严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C.严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D.严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 5.(5分)(多选)下列四个选项中,p是q的充要条件的有 (　　) A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在两角相等 B.p:两个三角形全等,q:两个三角形三边对应相等 C.p:xy>0,q:x>0,y>0 D.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分 6.(5分)(多选)(2025·深圳高一检测)若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则实数k的值可以是 (　　) A.-7 B.-5 C.1 D.4 7.(5分)写出两个三角形全等的两个充要条件: ①　　　　　　　　　　　　　;  ②　　　　　　　　　　　　　.  8.(5分)(2025·上海高一检测)若集合P={1,2,3,4},Q={x|0<x<5,x∈R},则“x∈P”是“x∈Q”的 　　条件.  9.(5分)设p:x≥a,q:3x-6≥0,且p是q成立的充要条件,则a的值是　　.  10.(10分)下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件. (1)p:|x|=|y|,q:x=y; (2)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形; (3)p:x=1或x=2,q:x-1=; (4)p:m>0,q:方程x2+x-m=0有实数根. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·上海高一检测)若α:{2}⊆B⊆{2,3,4},β:B={2,3,4},则α是β的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(5分)(多选)四个电路图如图所示,条件p:“开关S闭合”,条件q:“灯泡L亮”,则p是q的充分不必要条件的电路图是 (　　) 13.(5分)已知x,y为两个正整数,p:x=2且y=3,q:x+y=5,则p是q的　　条件.  14.(10分)求证:“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2”的充要条件是“4a+2b+c=0”. 15.(10分)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. (参考公式:m3+n3=(m+n)(m2-mn+n2);(m+n)3=m3+3m2n+3mn2+n3) 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)已知集合M,N,则“M∩N=M”是“M∪N=N”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.因为M∩N=M,所以M⊆N,因为M∪N=N,所以M⊆N, 所以“M∩N=M”是“M∪N=N”的充要条件. 2.(5分)“(a-b)2+|b-c|=0”是“a=b=c”的　　条件. (　　)  A.充要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充分不必要 【解析】选A.若(a-b)2+|b-c|=0,等价于,即a=b=c, 即“(a-b)2+|b-c|=0”与“a=b=c”等价, 所以“(a-b)2+|b-c|=0”是“a=b=c”的充要条件. 3.(5分)(2025·岳阳高一检测)“x>3”是“3(x-1)≥2x+1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.由题意3(x-1)≥2x+1⇔x≥4,所以“x>3”是“3(x-1)≥2x+1”的必要不充分条件. 4.(5分)(2025·濮阳高一检测)某生命科学研究所通过研究发现,当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时,可认定为轻微肥胖;当一个人的肥胖指数大于28时,可认定为严重肥胖,且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种,据上述文字叙述可以得知 (　　) A.严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B.严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C.严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D.严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 【解析】选A.由题意可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大于24,但肥胖指数大于24,不大于28时不能推出严重肥胖,因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件. 5.(5分)(多选)下列四个选项中,p是q的充要条件的有 (　　) A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在两角相等 B.p:两个三角形全等,q:两个三角形三边对应相等 C.p:xy>0,q:x>0,y>0 D.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分 【解析】选AB.三角形是等腰三角形,则两底角相等,从而存在两角相等;反之,当三角形中有两角相等时,所对的边相等,即为等腰三角形,所以“三角形是等腰三角形”是“三角形存在两角相等”的充要条件,故A符合题意; 根据全等三角形的定义,可知三边对应相等;反之,当三边对应相等时,根据边边边的判定定理,可知两个三角形全等,故“两个三角形全等”是“两个三角形三边对应相等”的充要条件,故B符合题意; 当xy>0时,可能x<0,y<0或者x>0,y>0,故“xy>0”不是“x>0,y>0”的充分条件,故C不符合题意; 正方形的对角线互相垂直且平分,但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形,不一定是正方形,故“四边形是正方形”是“四边形的对角线互相垂直且平分”的充分不必要条件,故D不符合题意. 6.(5分)(多选)(2025·深圳高一检测)若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则实数k的值可以是 (　　) A.-7 B.-5 C.1 D.4 【解析】选ACD.因为“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件,所以{x|-4<x<1}⫋{x|x<k},或{x|-4<x<1}⫋{x|x>k+2},所以k≥1或k+2≤-4,即k≥1或k≤-6. 【易错提醒】解答本题容易因思考不周到而漏掉一种情形. 7.(5分)写出两个三角形全等的两个充要条件: ①　　　　　　　　　　　　　;  ②　　　　　　　　　　　　　.  答案:①两个三角形的三边对应相等　②两个三角形的两边及其夹角对应相等(答案不唯一) 8.(5分)(2025·上海高一检测)若集合P={1,2,3,4},Q={x|0<x<5,x∈R},则“x∈P”是“x∈Q”的　充分不必要　条件.  【解析】由题意得1,2,3,4均满足大于0且小于5,故充分性成立,易得当x=时,满足x∈Q,但不满足x∈P,故必要性不成立. 9.(5分)设p:x≥a,q:3x-6≥0,且p是q成立的充要条件,则a的值是　2　.  【解析】因为3x-6≥0,解得x≥2,所以q:x≥2,又因为p:x≥a,p⇔q, 所以{x|x≥2}={x|x≥a}⇒a=2. 10.(10分)下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件. (1)p:|x|=|y|,q:x=y; 【解析】(1)因为|x|=|y|x=y,但x=y⇒|x|=|y|,所以p是q的必要不充分条件. (2)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形; 【解析】(2)因为四边形的对角线互相平分四边形是矩形;四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分,所以p是q的必要不充分条件. (3)p:x=1或x=2,q:x-1=; 【解析】(3)因为x=1或x=2⇒x-1=; x-1=⇒x=1或x=2, 所以p是q的充要条件. (4)p:m>0,q:方程x2+x-m=0有实数根. 【解析】(4)因为m>0⇒Δ=1+4m>0,即方程有实数根; 而方程x2+x-m=0有实根,即Δ=1+4m≥0m>0,所以p是q的充分不必要条件. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·上海高一检测)若α:{2}⊆B⊆{2,3,4},β:B={2,3,4},则α是β的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.因为{2}⊆B⊆{2,3,4},所以B={2},{2,3},{2,4},{2,3,4}, 故α是β的必要不充分条件. 12.(5分)(多选)四个电路图如图所示,条件p:“开关S闭合”,条件q:“灯泡L亮”,则p是q的充分不必要条件的电路图是 (　　) 【解析】选AD.A,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合,所以p⇒q,但qp,所以p是q的充分不必要条件. B,p⇔q,所以p是q的充要条件. C,开关S,S1与灯泡L串联,所以pq,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件. D,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合,所以p⇒q,但qp,所以p是q的充分不必要条件. 13.(5分)已知x,y为两个正整数,p:x=2且y=3,q:x+y=5,则p是q的　充分不必要　条件.  【解析】若x=2且y=3,则x+y=5成立; 反之当x=1,y=4时,满足x+y=5,但x=2且y=3不成立,即p⇒q,qp,故p是q的充分不必要条件. 14.(10分)求证:“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2”的充要条件是“4a+2b+c=0”. 【证明】先证明必要性: 因为方程ax2+bx+c=0有一个根为2,把x=2代入方程ax2+bx+c=0中可得4a+2b+c=0,所以必要性成立. 再证明充分性: 因为4a+2b+c=0,所以c=-4a-2b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-4a-2b=0, 即(x-2)(ax+2a+b)=0,故方程ax2+bx+c=0有一个根为2,所以充分性成立. 综上可知,“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2”的充要条件是“4a+2b+c=0”. 15.(10分)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. (参考公式:m3+n3=(m+n)(m2-mn+n2);(m+n)3=m3+3m2n+3mn2+n3) 【证明】a3+b3+ab-a2-b2=0⇔(a+b)(a2+b2-ab)-(a2+b2-ab)=0⇔(a+b-1)(a2+b2-ab)=0, 而ab≠0,所以a2+b2-ab=+>0, 所以当ab≠0时,(a+b-1)(a2+b2-ab)=0⇔a+b-1=0⇔a+b=1, 综上所述,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 学科网（北京）股份有限公司 $