第一章集合与常用逻辑用语单元素养测评卷(一）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学第一章单元素养测评卷，120分钟150分，涵盖集合运算、常用逻辑用语等核心知识，通过基础题与创新情境题（如“类”“异和型集”）梯度设计，适配新授课后单元测评，培养数学眼光与逻辑思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合交并补、命题否定、充分必要条件|单选8题新定义“类”，多选11题“异和型集”，考查数学抽象| |填空题|3题15分|集合运算、命题真假、容斥原理|14题结合班级选课实际，体现数学应用| |解答题|5题77分|集合关系、含参不等式、充要条件、新定义证明|19题乘法封闭集合证明，培养逻辑推理与数学表达|

单元素养测评卷(一)[范围:第一章] (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.命题“∀x∈Z,|x|∈N”的否定是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.∀x∉Z,|x|∈N B.∃x∈Z,|x|∈N C.∃x∈Z,|x|∉N D.∃x∉Z,|x|∉N 2.[2026·深圳南山区高一期末] 已知集合A={-2,-1,0},集合B={x||x+1|≥1},则A∩(∁RB)= (　 ) A.{-2} B.{-1} C.{-2,-1} D.{-1,0} 3.已知x,y是任意实数,则p:x+y≥8是q:x≥1且y≥7的 (　 ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列表示集合A=和B={x|(x2+5x)2=36}关系的Venn图中正确的是 (　 ) A B C D 5.[2026·山西晋中高一质检] 已知集合A={-1,1},B={x|mx+2=0},若A∩B=B,符合条件的实数m的值组成集合C,则集合C的真子集的个数是 (　 ) A.3 B.4 C.8 D.7 6.使得不等式|x+1|-x-1>0成立的一个必要不充分条件是 (　 ) A.x+2<0 B.<0 C.x<0 D.x2-4>0 7.已知⌀≠A⊆Z,对于k∈A,k-1∉A且k+1∉A,则称k为A的“孤立元”.给定集合A={x∈N*|-1<x≤5},则A的所有子集中只有一个“孤立元”的集合的个数为(　 ) A.5 B.7 C.13 D.15 8.在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4,则下列选项正确的为 (　 ) A.2025∈[3] B.-2∈[2] C.Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D.整数a,b属于同一“类”的充分不必要条件是“a-b∈[0]” 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.[2026·四川宜宾一中高一月考] 下列关系式中错误的有 (　 ) A.⌀∈{0} B.{}⊆Q C.{2}⊆{1,2} D.{0}∈Z 10.下列说法正确的是 (　 ) A.至少有一个实数x,使x2+1=0 B.“a>b>0”是“<”的充分不必要条件 C.命题p:∀x∈R,x2>0,则􀱑p:∃x∈R,x2<0 D.“集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素”是“a=”的必要不充分条件 11.我们将数集S的任意一个非空子集中的各元素之和称为S的一个子集和(若S的子集中只有一个元素,则该元素为S的一个子集和).若有限数集S中的元素均为正整数,且S的任何两个子集和均不相等,则称S为异和型集,下列结论正确的是 (　 ) A.集合M={1,2,3}的一个子集和可能为5 B.存在含有4个元素的异和型集N,其元素均小于9 C.集合M={1,2,3}为异和型集 D.任意一个含有n个元素的异和型集S,其元素之和不小于2n-1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.[2026·江苏徐州高一期末] 已知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∪B=B,则实数a的取值范围是　　　　　.  13.若命题“∃x∈R,4x2-2x+m=0”为假命题,则实数m的取值范围为　　　　.  14.高一某班共有54人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人,选择化学的有24人,选择生物的有22人,其中选择了物理和化学的有18人,选择了化学和生物的有10人,选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有　　　　人.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2026·厦门沧江中学高一质检] 已知集合A={1,4,5,8},集合B={6-m,4,m2,7,8}. (1)若m=3,求A∪B; (2)若A∪B=B,求实数m的值. 16.(15分)已知集合A={x|-5≤2x-3≤5},B={x|m+2≤x<4m-1},m∈R. (1)若m=,求A∪B,∁R(A∩B); (2)若B⫋A,求m的取值范围. 17.(15分)已知命题p:关于x的方程x2-2ax+a2+a-1=0有实数根,命题q:m-1≤a≤m+1. (1)若命题p是真命题,求实数a的取值范围; (2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 18.(17分)已知p:∀-1≤x≤2,x+2-a≥0,q:∃x∈R,x2+(2a+4)x+a2=0. (1)若p的否定为假命题,求实数a的取值范围; (2)若q的否定和p均为真命题,求实数a的取值范围. 19.(17分)设数集I={a1,a2,…,an}(n≥2,n∈N)满足:①ai∈Z;②任意a,b∈I且a≠b,有a×b∈I,则称数集I对于乘法封闭. (1)判断集合A={1,2,4},B={0,1,5}是否对于乘法封闭,并说明理由; (2)证明:集合S={x|x=3k,k∈N}对于乘法封闭; (3)求所有对于乘法封闭的三元素集T. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(一) 1.C　[解析] 命题“∀x∈Z,|x|∈N”的否定是“∃x∈Z,|x|∉N”.故选C. 2.B　[解析] 由|x+1|≥1,解得x≥0或x≤-2,则B={x|x≥0或x≤-2},所以∁RB={x|-2<x<0},所以A∩(∁RB)={-1}.故选B. 3.C　[解析] 由x+y≥8推不出x≥1且y≥7,由x≥1且y≥7可推出x+y≥8,所以p:x+y≥8是q:x≥1且y≥7的必要不充分条件.故选C. 4.A　[解析] A=={1,2,3,6},由(x2+5x)2=36,得x2+5x=6或x2+5x=-6,解得x1=1,x2=-6,x3=-2,x4=-3,所以B={x|(x2+5x)2=36}={-6,-3,-2,1},所以A∩B={1},故Venn图中正确的是A.故选A. 5.D　[解析] ∵A∩B=B,∴B⊆A.当m=0时,B=⌀,B⊆A;当m≠0时,B≠⌀,B=.令-=1,解得m=-2;令-=-1,解得m=2.综上,C={0,2,-2},所以集合C的真子集的个数是23-1=7.故选D. 6.C　[解析] 由|x+1|-x-1>0,可得|x+1|>x+1,所以x+1<0,解得x<-1,即|x+1|-x-1>0成立的充要条件为x<-1.对于A,由x+2<0,得x<-2,是|x+1|-x-1>0成立的充分不必要条件;对于B,由<0,得x<-1,是|x+1|-x-1>0成立的充要条件;对于C,x<0是|x+1|-x-1>0成立的必要不充分条件;对于D,由x2-4>0,得x<-2或x>2,是|x+1|-x-1>0成立的既不充分也不必要条件.故选C. 7.C　[解析] 已知集合A={1,2,3,4,5},“孤立元”为1的集合为{1},{1,3,4},{1,4,5},{1,3,4,5};“孤立元”为2的集合为{2},{2,4,5};“孤立元”为3的集合为{3};“孤立元”为4的集合为{4},{1,2,4};“孤立元”为5的集合为{5},{1,2,5},{2,3,5},{1,2,3,5}.综上,满足题意的集合有13个.故选C. 8.C　[解析] 对于A,2025=405×5∈[0],故A错误;对于B,-2=-1×5+3∈[3],故B错误;对于C,每个整数除以5后的余数只有0,1,2,3,4,没有其他余数,所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故C正确;对于D,若a,b∈[m],m=0,1,2,3,4,则a=5n1+m,n1∈Z,b=5n2+m,n2∈Z,所以a-b=5(n1-n2)∈[0],若a-b∈[0],则a-b=5p,p∈Z,不妨设a∈[t],t=0,1,2,3,4,则a=5n3+t,n3∈Z,所以b=5(n3-p)+t,n3-t∈Z,所以a,b除以5后余数相同,所以a,b属于同一“类”,所以整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”,故D错误.故选C. 9.ABD　[解析] 对于A,⌀⊆{0},故A中关系式错误;对于B,是无理数,故B中关系式错误;对于C,因为2∈{1,2},所以{2}⊆{1,2},故C中关系式正确;对于D,因为0∈Z,所以{0}⊆Z,故D中关系式错误.故选ABD. 10.BD　[解析] 对于A,在实数范围内,x2≥0,x2+1>0,A错误.对于B,由a>b>0,得<,充分性成立;若<,取a=-1,b=-2,此时0>a>b,必要性不成立,因此“a>b>0”是“<”的充分不必要条件,B正确.对于C,命题p:∀x∈R,x2>0,则􀱑p:∃x∈R,x2≤0,C错误.对于D,若集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素,当a=0时,x=-1,则a=0;当a≠0时,得Δ=1-4a=0,解得a=,则a=,反之,若a=,则集合A中只有一个元素,因此“集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素”是“a=”的必要不充分条件,D正确.故选BD. 11.ABD　[解析] 因为M的子集{2,3}中的各元素之和为5,所以集合M的一个子集和可能为5,A正确.M的子集{3}和{1,2}中的各元素之和均为3,所以M不是异和型集,C错误.假设1,2∈N,则N的第3个元素大于3,当4∈N时,N的第4个元素大于7,所以存在N={1,2,4,8},其元素均小于9,B正确.设S={x1,x2,…,xn},则S的非空子集有(2n-1)个,由异和型集的定义知,S的(2n-1)个子集和是两两互异的整数,其中最小者至少为1,最大者x1+x2+…+xn不小于2n-1,D正确.故选ABD. 12.{a|a<-4或a>5}　[解析] ∵A∪B=B,∴A⊆B,∴a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5,∴实数a的取值范围是{a|a<-4或a>5}. 13.m>　[解析] 因为“∃x∈R,4x2-2x+m=0”为假命题,所以“∀x∈R,4x2-2x+m≠0”为真命题,即方程4x2-2x+m=0没有实数根,所以4-16m<0,解得m>,所以实数m的取值范围为m>. 14.44　[解析] 把全班54人看成集合U,选择物理的人组成集合A,选择化学的人组成集合B,选择生物的人组成集合C.由题意知card(U)=54,card(A)=32,card(B)=24,card(C)=22,且card(A∩B)=18,card(B∩C)=10,card(C∩A)=16,则card(A∩B∩C)≤10. 由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C),可得card(A∪B∪C)=32+24+22-18-10-16+card(A∩B∩C)≤34+10=44,当且仅当card(A∩B∩C)=10时,card(A∪B∪C)=44.验证:此时各区域人数如图所示,满足题意所有条件. 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有44人. 15.解:(1)当m=3时,集合B={6-m,4,m2,7,8}={3,4,7,8,9},因为A={1,4,5,8},所以A∪B={1,3,4,5,7,8,9}. (2)因为A∪B=B,所以A⊆B. 当时,解得m=1; 当时,方程组无解. 综上可得,实数m的值为1. 16.解:(1)由题意得,A={x|-5≤2x-3≤5}={x|-1≤x≤4}. 若m=,则B=, 故A∪B={x|-1≤x<5}, 又A∩B=, 所以∁R(A∩B)=. (2)当B=⌀时,m+2≥4m-1,解得m≤1. 当B≠⌀时,由B⫋A,得解得1<m≤. 综上,m的取值范围是m≤. 17.解:(1)若命题p为真命题,则Δ=4a2-4(a2+a-1)≥0,解得a≤1,故实数a的取值范围为a≤1. (2)p:a≤1,q:m-1≤a≤m+1,若p是q的必要不充分条件,则m+1≤1,解得m≤0. 故m的取值范围为m≤0. 18.解:(1)若p的否定为假命题,则p为真命题,即当-1≤x≤2时,(x+2-a)min≥0, 当-1≤x≤2时,(x+2-a)min=1-a,所以1-a≥0,解得a≤1, 所以若p的否定为假命题,则实数a的取值范围为a≤1. (2)若q的否定为真命题,则q为假命题, 故Δ=(2a+4)2-4a2=16a+16<0,解得a<-1, 由(1)可知,当p为真命题时,实数a的取值范围为a≤1, 所以当q的否定和p均为真命题时,实数a的取值范围为a<-1. 19.解:(1)对于集合A={1,2,4},当a=2,b=4时,a×b=8∉A,所以集合A不对于乘法封闭;对于集合B={0,1,5},其元素均为整数,满足条件①; 又因为0×1=0∈B,0×5=0∈B,1×5=5∈B,满足条件②,所以集合B对于乘法封闭. (2)证明:对于集合S={x|x=3k,k∈N},因为任意k∈N,3k∈Z,所以满足条件①;又因为任意k1,k2∈N且k1≠k2,×=∈S,所以满足条件②.故集合S对于乘法封闭. (3)集合T={0,1,a},a∈Z对于乘法封闭. 证明:对于三元素集T={a,b,c},不失一般性,不妨设|a|≥|b|≥|c|, 当|c|≥2时,|a×b|>|a|,不符合题意,所以|c|≤1; 当|b|≥2时,|a×b|>|a|,不符合题意,所以|b|≤1. 所以b,c只能取0,-1,1中的两个不同数. 不妨设T1={0,1,a1},T2={0,-1,a2},T3={1,-1,a3}, 对于集合T1={0,1,a1},因为其元素均为整数,所以满足条件①, 又因为0×1=0∈T1,0×a1=0∈T1,1×a1=a1∈T1,所以满足条件②,所以集合T1={0,1,a1}对于乘法封闭. 对于集合T2={0,-1,a2},当|a2|≥2时,-1×a2∉T2,所以集合T2={0,-1,a2}不对于乘法封闭. 对于集合T3={1,-1,a3},当|a3|≥2时,-1×a3∉T3,所以集合T3={1,-1,a3}不对于乘法封闭. 综上,所有对于乘法封闭的三元素集T={0,1,a},a∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $