集合与常用逻辑用语章末测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦集合与常用逻辑用语，整合多地区名校月考/期末真题，覆盖集合表示、逻辑否定、充要条件等核心知识点，适配高一单元复习，助力提升抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|集合表示（题1）、命题否定（题2）|基础巩固，结合真题情境| |多选题|3|集合元素判断（题9）、新定义集合（题10）|能力提升，多选项辨析| |填空题|3|全称命题参数范围（题12）、充要条件辨析（题13）|创新应用，定义新运算| |解答题|5|集合运算（题16）、充要条件证明（题19）|综合探究，逻辑推理与运算结合|

集合与常用逻辑用语章末测试 一、选择题 1．【2025·湖北武汉高一期末】下列表示正确的是(　　) A．{所有实数}＝R　　 B．整数集＝{Z} C．∅＝{∅} D．1∈{有理数} 【答案】D 【解析】选项A不正确，因为符号“{　}”已包含“所有”“全体”的含义，因此不用再加“所有”；选项B不正确，Z表示整数集，不能加花括号；显然选项C不正确，选项D正确． 2．【2026·天津南开高一月考】命题：“∀x∈R，x2－3x＋4<0”的否定是(　　) A．∃x∉R，x2－3x＋4≥0 B．∀x∈R，x2－3x＋4≥0 C．∃x∈R，x2－3x＋4≥0 D．∀x∉R，x2－3x＋4≥0 【答案】C 【解析】因为命题“∀x∈R，x2－3x＋4<0”为全称量词命题，所以“∀x∈R，x2－3x＋4<0”的否定为“∃x∈R，x2－3x＋4≥0”，故选C. 3．【2026·四川成都高一月考】已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A，x－y∈A}，则集合B中元素的个数是(　　) A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】集合B中的元素有(0，0)，(1，0)，(2，0)，(1，1)，共4个，故选C. 4．【2026·上海徐汇高一期中】下列各式中，正确的个数是:①；②；③； ④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对①，集合与集合之间不能用符号，故①不正确； 对②，由于集合两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正确； 对③，空集是任何集合的子集，故③正确； 对④，空集是不含任何元素的集合，而是含有1个元素的集合，故④不正确； 对⑤，集合是数集，含有2个元素，集合是点集，只含1个元素，故⑤不正确； 对⑥，元素与集合只能用或符号, 故⑥不正确. 5.【2026·四川成都高一月考】设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集M－P＝{x|x∈M且x∉P}，则M－(M－P)等于(　　) A．P B．M C．M∩P D．M∪P 【答案】C 【解析】由题意，作出Venn图，如图所示：可得M－(M－P)= M∩P，故选C. 6. 【2026·天津南开高一月考】“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件． 7．【2026·上海徐汇高一期中】若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为(　　) A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7} C．{a|a≤7} D．∅ 【答案】C 【解析】当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B； 当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅， 要使A⊆B，需有解得2≤a≤7. 综上可知，a≤7. 8．【2025·湖北武汉高一期末】设集合M＝{x|x>2}，N＝{x|x<3}，那么“x∈M且x∈N”是“x∈(M∩N)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当x∈M且x∈N成立时，根据集合的交集定义可知x∈(M∩N)；当x∈(M∩N)成立时，根据集合的交集定义可知x∈M且x∈N，故“x∈M且x∈N”是“x∈(M∩N)”的充要条件，故选C. 2、 多选题 9．【2026·福建福州高一联考】已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是(　　) A．0∈A　　　 B．1.5∉A C．－1∉A D．6∈A 【答案】ABC 【解析】∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}， ∴6∉A，故选ABC. 10.【2025·北京海淀高一期末】已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为(　　) A．2 B．－2 C．－3 D．1 【答案】AC 【解析】因为2∈M， 所以3x2＋3x－4＝2或x2＋x－4＝2. 若3x2＋3x－4＝2，则x＝－2或x＝1.当x＝－2或x＝1时，x2＋x－4＝－2，不满足集合中元素的互异性，所以舍去． 若x2＋x－4＝2，则x＝－3或x＝2. 当x＝－3或x＝2时，3x2＋3x－4＝14，满足集合中元素的互异性． 综上所述，x＝－3或x＝2，故选AC. 11．【2026·福建福州高一联考】可以作为“－2<m<0”的一个必要不充分条件的是(　　) A．－2<m<2 B．－2<m<－1 C．m<4 D．－2<m<0 【答案】AC 【解析】因为{m|－2<m<0}{m|－2<m<2}，{m|－2<m<－1}{m|－2<m<0}，{m|－2<m<0}{m|m<4}，所以可以作为“－2<m<0”的一个必要不充分条件的是－2<m<2或m<4. 3、 填空题 12．【2026·上海徐汇高一期中】命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________． 【答案】{a|a≤1}　 【解析】命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1. 13.【2025·湖北武汉高一期末】对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ③“a<5”是“a<3”的必要条件； ④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件． 其中真命题的序号为________． 【答案】③④ 【解析】对于①，因为“”时成立， 时， 不一定成立，所以“”是“”的的充分不必要条件，故①错，对于②， 时， ; ， 时， ，所以“”是“”的的既不充分也不必要条件，故②错，对于③，因为“ ”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，③正确；对于④“是无理数”是“ 是无理数”的充要条件，④正确，故答案为③④． 14．【2026·天津南开高一月考】定义集合A※B＝{(x－y，xy)|x∈A，y∈B}，其中集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则A※B中元素个数为 ． 【答案】4 【解析】x∈A，y∈B， 当x＝1，y＝2时，x－y＝－1，xy＝2，(x－y，xy)＝(－1，2)； 当x＝1，y＝4时，x－y＝－3，xy＝4，(x－y，xy)＝(－3，4)； 当x＝3，y＝2时，x－y＝1，xy＝6，(x－y，xy)＝(1，6)； 当x＝3，y＝4时，x－y＝－1，xy＝12，(x－y，xy)＝(－1，12). 所以A※B中元素个数为4. 4、 解答题 15．【2026·福建福州高一联考】选择适当的方法表示下列集合． (1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合； (2)大于2且小于6的有理数； (3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． 【解析】 (1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}． (2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}． (3)用描述法表示该集合为 M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}； 16.【2025·北京海淀高一期末】已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}． (1)当m＝－1时，求A∪B； (2)若A⊆B，求实数m的取值范围． 【解析】 (1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x＜3}． (2)由A⊆B，知解得m≤－2， 即实数m的取值范围为{m|m≤－2}． 17.【2026·黑龙江哈尔滨高一期末】已知全集U＝{x∈N|x(x2－4x－5)<0}，集合A＝{1，2，m2}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}． (1)若a2＋1∈∁UB且a∈U，求实数a的值； (2)设集合C＝A∩()，若C的真子集共有3个，求实数m的值． 【解析】 (1)因为U＝{x∈N|x(x2－4x－5)<0}＝{x∈N|0<x<5}＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{1，4}，所以＝{2，3}． 若a2＋1∈，则a2＋1＝2或a2＋1＝3，解得a＝±1或±. 又a∈U，所以a＝1. (2)A＝{1，2，m2}，＝{2，3}， 当m2≠3时，C＝{2}，此时集合C共有1个真子集，不符合题意； 当m2＝3，即m＝±时，C＝{2，3}，此时集合C共有3个真子集，符合题意． 综上所述，m＝±. 18.【2026·四川成都高一月考】已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅. (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． 【解析】 (1)∵x∈A是x∈B的充分条件， ∴A⊆B. ∴ 解得a的取值范围为≤a≤2. (2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅， ∴a＞0. 若A∩B＝∅，∴a≥4或3a≤2，所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4. 19．【2026·黑龙江哈尔滨高一期末】求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【解析】 证明：（1）先证充分性： 因为， 所以方程的判别式，且两根积为， 所以方程有两个同号且不相等的实根； （2）再证必要性： 若方程有两个同号且不相等的实根， 设两根为， 则有，解得， 综合（1）（2）可知，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是，命题得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合与常用逻辑用语章末测试 一、选择题 1．【2025·湖北武汉高一期末】下列表示正确的是(　　) A．{所有实数}＝R　　 B．整数集＝{Z} C．∅＝{∅} D．1∈{有理数} 2．【2026·天津南开高一月考】命题：“∀x∈R，x2－3x＋4<0”的否定是(　　) A．∃x∉R，x2－3x＋4≥0 B．∀x∈R，x2－3x＋4≥0 C．∃x∈R，x2－3x＋4≥0 D．∀x∉R，x2－3x＋4≥0 3．【2026·四川成都高一月考】已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A，x－y∈A}，则集合B中元素的个数是(　　) A．6 B．3 C．4 D．5 4．【2026·上海徐汇高一期中】下列各式中，正确的个数是:①；②；③； ④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 5.【2026·四川成都高一月考】设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集M－P＝{x|x∈M且x∉P}，则M－(M－P)等于(　　) A．P B．M C．M∩P D．M∪P 6. 【2026·天津南开高一月考】“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7．【2026·上海徐汇高一期中】若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为(　　) A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7} C．{a|a≤7} D．∅ 8．【2025·湖北武汉高一期末】设集合M＝{x|x>2}，N＝{x|x<3}，那么“x∈M且x∈N”是“x∈(M∩N)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、 多选题 9．【2026·福建福州高一联考】已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是(　　) A．0∈A　　　 B．1.5∉A C．－1∉A D．6∈A 10.【2025·北京海淀高一期末】已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为(　　) A．2 B．－2 C．－3 D．1 11．【2026·福建福州高一联考】可以作为“－2<m<0”的一个必要不充分条件的是(　　) A．－2<m<2 B．－2<m<－1 C．m<4 D．－2<m<0 3、 填空题 12．【2026·上海徐汇高一期中】命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________． 13.【2025·湖北武汉高一期末】对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ③“a<5”是“a<3”的必要条件； ④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件． 其中真命题的序号为________． 14．【2026·天津南开高一月考】定义集合A※B＝{(x－y，xy)|x∈A，y∈B}，其中集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则A※B中元素个数为 ． 4、 解答题 15．【2026·福建福州高一联考】选择适当的方法表示下列集合． (1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合； (2)大于2且小于6的有理数； (3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． 16.【2025·北京海淀高一期末】已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}． (1)当m＝－1时，求A∪B； (2)若A⊆B，求实数m的取值范围． 17.【2026·黑龙江哈尔滨高一期末】已知全集U＝{x∈N|x(x2－4x－5)<0}，集合A＝{1，2，m2}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}． (1)若a2＋1∈∁UB且a∈U，求实数a的值； (2)设集合C＝A∩()，若C的真子集共有3个，求实数m的值． 18.【2026·四川成都高一月考】已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅. (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． 19．【2026·黑龙江哈尔滨高一期末】求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 学科网（北京）股份有限公司 $