1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕全称量词与存在量词命题的否定，通过基础概念辨析、综合应用深化的三阶分层设计，构建从单一到综合的知识巩固路径，适配新授课概念理解与初步应用需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|全称/存在量词命题的否定（单一知识点）|以选择填空直接考查否定形式（如第1、4题），夯实概念理解| |综合辨析|否定真假判断与多考点结合（中档综合）|通过多选题（第5题）和教材变式（第6题），深化逻辑推理| |应用拓展|含参数问题与跨知识应用（高阶综合）|结合方程、集合（第7、9、16题），培养数学思维与问题解决能力|

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 考点一　全称量词命题的否定 1.[2026·湖南长郡中学高一月考] 命题“∀x∈R,|x|+1≥1”的否定为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.∀x∈R,|x|+1<1 B.∀x∈R,|x|+1≤1 C.∃x∈R,|x|+1≥1 D.∃x∈R,|x|+1<1 2.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一,哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”,则该猜想的否定为 (　 ) A.每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B.存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C.每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D.存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和 3.命题“∀x∈R,|x|+1-x≠0”的否定为　　　　　　　　,所得命题为　　　　(填“真”或“假”)命题.  考点二　存在量词命题的否定 4.已知命题p:∃t∈N,∈N,则它的否定为 (　 ) A.∃t∈N,∉N B.∃t∉N,∉N C.∀t∉N,∉N D.∀t∈N,∉N 5.(多选题)已知命题p:∀x∈N,x2>0,命题q:∃x∈R,x3<x2,则 (　 ) A.p的否定是真命题 B.q是假命题 C.q的否定和p都是真命题 D.q的否定和p都是假命题 6.[教材P32第4题变式] 写出下列命题p的否定,并判断其真假. (1)p:∃x∈R,x2=1. (2)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根. (3)p:有的三角形的三条边相等. (4)p:等腰梯形的对角线垂直. 考点三　全称量词命题和存在量词命题的否定的应用 7.已知“∀x∈R,|x|-1+m>0”是假命题,则实数m的取值范围是 (　 ) A.{m|m≥1} B.{m|m>-1} C.{m|m<1} D.{m|m≤1} 8.已知p:∃x∈R,mx2-4x+2=0为假命题,则实数m的取值范围是　　　　.  9.已知p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,q:∃x∈R,x2+2ax+2a+a2=0. (1)若¬p为真命题,求实数a的取值范围; (2)若p和¬q均为真命题,求实数a的取值范围. 10.“∃a,b>0,a+≥2和b+≥2都不成立”的否定为 (　 ) A.∀a,b>0,a+<2和b+<2至少有一个成立 B.∀a,b>0,a+≥2和b+≥2都不成立 C.∃a,b>0,a+>2和b+>2都不成立 D.∀a,b>0,a+≥2和b+≥2至少有一个成立 11.已知p:∀x∈R,x2+4x+a≠0,若p是假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.{a|0<a<4} B.{a|a<0} C.{a|a≤4} D.{a|a≥4} 12.已知“∀≤x1≤5,∃+m≤x2≤4,x1≥x2”为假命题,则实数m的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 13.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为假命题的是 (　 ) A.存在两个全等三角形的面积相等 B.∃x<5,|x|>10 C.两个相等的圆周角所对的弦长相等 D.∃x>0,方程-3=有解 14.设p:∀x≥1,x2-x+1-m>0,q:∀x∈R,4x2+(4m-2)x+m2≠0. (1)若q为真命题,求实数m的取值范围; (2)若p为假命题,q为真命题,求实数m的取值范围. 15.已知集合P1={x|x2+ax+1>0},P2={x|x2+ax+2>0},Q1={x|x2+x+b>0}, Q2={x|x2+2x+b>0},其中a,b∈R,则下列说法正确的是 (　 ) A.对任意a∈R,P1是P2的子集,对任意b∈R,Q1不是Q2的子集 B.对任意a∈R,P1是P2的子集,存在b∈R,使得Q1是Q2的子集 C.存在a∈R,使得P1不是P2的子集,对任意b∈R,Q1是Q2的子集 D.存在a∈R,使得P1不是P2的子集,存在b∈R,使得Q1是Q2的子集 16.已知全集U=R,集合A={x||x-3|≥2},B={x|a+1<x<2a-1}. (1)若A∩B=B,求实数a的取值范围; (2)若∀x∈A,x∉B,求实数a的取值范围; (3)若B≠⌀,且“∃x∈B,x∉A”为真命题,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1.D　[解析] 命题“∀x∈R,|x|+1≥1”的否定为“∃x∈R,|x|+1<1”.故选D. 2.D　[解析] 根据全称量词命题的否定为存在量词命题,哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.故选D. 3.∃x∈R,|x|+1-x=0　假　[解析] “∀x∈R,|x|+1-x≠0”的否定为“∃x∈R,|x|+1-x=0”,所得命题为假命题,理由如下:若x≥0,则x+1-x=0,即1=0,显然无解;若x<0,则-x+1-x=0,解得x=>0,不符合要求.综上,不存在x∈R,使得|x|+1-x=0,故命题“∃x∈R,|x|+1-x=0”为假命题. 4.D　[解析] 命题p:∃t∈N,∈N为存在量词命题,其否定为“∀t∈N,∉N”.故选D. 5.AD　[解析] 对于命题p:∀x∈N,x2>0,当x=0时,x2=0,故命题p为假命题,所以p的否定为真命题.对于命题q:∃x∈R,x3<x2,当x=-1时,-1<1,故命题q为真命题,所以q的否定为假命题.故选AD. 6.解:(1)因为p:∃x∈R,x2=1,所以¬p:∀x∈R,x2≠1. 当x=±1时,x2=1,所以¬p为假命题. (2)因为p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根,所以¬p:存在一个实数m,方程x2+mx-1=0没有实数根.若方程没有实数根,则Δ=m2+4<0,此时不等式无解,所以¬p为假命题. (3)因为p:有的三角形的三条边相等,所以¬p:所有三角形的三条边不都相等,因为正三角形的三条边相等,所以¬p为假命题. (4)因为p:等腰梯形的对角线垂直,所以¬p:存在一个等腰梯形,它的对角线互相不垂直,因为p为假命题,所以¬p为真命题. [规律总结] (1)对全称量词命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词;②对原命题的结论进行否定. (2)判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判定一个全称量词命题是假命题,只要举出集合M中的一个特殊值x,使p(x)不成立即可. 7.D　[解析] 因为“∀x∈R,|x|-1+m>0”是假命题,所以“∃x∈R,|x|-1+m≤0”是真命题,所以m≤(1-|x|)max,因为|x|≥0,所以1-|x|≤1,所以(1-|x|)max=1,所以m≤1,所以实数m的取值范围是{m|m≤1}.故选D. 8.{m|m>2}　[解析] 由p:∃x∈R,mx2-4x+2=0为假命题,可得∀x∈R,mx2-4x+2≠0为真命题,即mx2-4x+2≠0对于任意x∈R恒成立,则解得m>2,所以实数m的取值范围为{m|m>2}. 9.解:(1)根据题意知,当1≤x≤2时,1≤x2≤4,∵􀱑p:∃x∈{x|1≤x≤2},x2-a<0为真命题,∴a>1. 故实数a的取值范围是{a|a>1}. (2)由(1)知,当p为真命题时,a≤1. 当q为真命题时,Δ=4a2-4(2a+a2)≥0,解得a≤0,∴当􀱑q为真命题时,a>0. 由解得0<a≤1,故实数a的取值范围为{a|0<a≤1}. 10.D　[解析] “∃a,b>0,a+≥2和b+≥2都不成立”的否定为“∀a,b>0,a+≥2和b+≥2至少有一个成立”.故选D. 11.C　[解析] 因为p:∀x∈R,x2+4x+a≠0是假命题,所以∃x∈R,x2+4x+a=0是真命题,所以Δ=16-4a≥0,解得a≤4,所以实数a的取值范围是{a|a≤4}.故选C. 12.D　[解析] 因为“∀≤x1≤5,∃+m≤x2≤4,x1≥x2”为假命题,所以“∃≤x1≤5,∀+m≤x2≤4,x1<x2”为真命题,所以x1的最小值小于x2的最小值,所以解得<m≤,所以实数m的取值范围是 .故选D. 13.AB　[解析] 对于A,原命题是存在量词命题且为真命题,所以原命题的否定为全称量词命题且为假命题,故A正确;对于B,原命题是存在量词命题且为真命题,所以原命题的否定是全称量词命题且为假命题,故B正确;对于C,原命题是全称量词命题且为假命题,所以原命题的否定是存在量词命题且为真命题,故C错误;对于D,原命题是存在量词命题,因为方程-3=无解,所以原命题为假命题,所以原命题的否定是全称量词命题且为真命题,故D错误.故选AB. 14.解:(1)由∀x∈R,4x2+(4m-2)x+m2≠0,得关于x的方程4x2+(4m-2)x+m2=0无实根, 因此Δ=(4m-2)2-16m2<0,解得m>, 所以实数m的取值范围是m>. (2)由p为假命题,得¬p:∃x≥1,x2-x+1-m≤0为真命题,即∃x≥1,m≥x2-x+1, 而当x≥1时,x2-x+1=x(x-1)+1≥1,当且仅当x=1时取等号,所以m≥1, 由(1)知,m>,则m≥1, 所以实数m的取值范围是m≥1. 15.B　[解析] 当m∈P1时,m2+am+1>0,可得m2+am+2>0,所以m∈P2,所以对任意a∈R,P1是P2的子集.当b=5时,Q1={x|x2+x+5>0}=R,Q2={x|x2+2x+5>0}=R,此时Q1是Q2的子集;当b=1时,Q1={x|x2+x+1>0}=R,Q2={x|x2+2x+1>0}={x|x≠-1},此时Q1不是Q2的子集.综上,对任意a∈R,P1是P2的子集,存在b∈R,使得Q1是Q2的子集.故选B. 16.解:(1)由题意得,A={x|x≤1或x≥5}. ∵A∩B=B,∴B⊆A. ①当B=⌀时,a+1≥2a-1,解得a≤2,符合题意; ②当B≠⌀时,a>2,由B⊆A,得a+1≥5或2a-1≤1,可得a≥4. 综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤2或a≥4}. (2)由∀x∈A,x∉B,可知A∩B=⌀. ①当a≤2时,B=⌀,符合题意; ②当a>2时,解得0≤a≤3,所以2<a≤3. 综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤3}. (3)“∃x∈B,x∉A”的否定是“∀x∈B,x∈A”,若“∀x∈B,x∈A”为真命题,则B⊆A, 因为B≠⌀,所以结合(1)可知a≥4. 所以当“∃x∈B,x∉A”为真命题时,a的取值范围是{a|2<a<4}. 学科网（北京）股份有限公司 $