1.5.1 全称量词与存在量词 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学全称量词与存在量词同步练，以“概念理解-否定辨析-综合应用”三级分层设计，覆盖命题识别、否定改写及参数应用，强化逻辑推理与数学表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解|全称/存在量词命题识别、真假判断|单选（1-3）结合教材改编题（6），夯实概念辨析| |否定辨析|命题否定改写及真假判断|多选（11）与否定规则应用（7-10），培养逻辑思维| |综合应用|参数范围、集合关系等交叉问题|解答题（17-18）结合参变分离，提升数学语言表达能力|

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 基础过关练 题组一　全称量词命题与存在量词命题及其真假判断 1.(2026安徽六安第一中学月考)下列命题与“∀x∈R,x2+1≥1”的表述意义一致的是(　　) A.有且只有一个实数x,使得x2+1<1成立 B.有些实数x,使得x2+1≥1成立 C.不存在实数x,使得x2+1<1成立 D.有无数个实数x,使得x2+1≥1成立 2.下列命题是全称量词命题的是(　　) A.有些实数没有倒数 B.每个四边形的内角和都是360° C.存在一个实数与它的相反数的和为0 D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 3.(2026湖南岳阳期中)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A.∀a∈N,方程ax+1=0有实数根 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b D.存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立 4.(多选题)(2025山东菏泽第一中学月考)下列命题中,是真命题的有(　　) A.设A,B为两个集合,若A⊆B,则对任意x∈A,都有x∈B B.设A,B为两个集合,若A不包含于B,则存在x∈A,使得x∉B C.∀x∈{x|x是无理数},x2是有理数 D.∃x∈{x|x是无理数},x3是无理数 5.(多选题)(2026福建厦门第一中学月考)∀x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪,y=[x]被“数学王子”高斯采用,因此得名高斯函数.人们有时也称之为“向下取整函数”.则下列命题中正确的是(　　) A.∃x∈R,[2x]=2[x] B.∃x∈R,x≥[x]+1 C.∀x,y∈R,[x+y]≥[x]+[y] D.∀x,y∈R,若[x]≥[y],则x≥y 6.(教材习题改编)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假. (1)存在一个四边形不是平行四边形; (2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点; (3)每个二次函数的图象都有最低点; (4)矩形有一个外接圆. 题组二　全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断 7.(2026广西南宁“4+N”联盟期中)命题“存在一个实数,它的绝对值是正数”的否定是(　　) A.存在一个实数,它的绝对值是正数 B.存在无数个实数,它的绝对值不是正数 C.对任意一个实数,它的绝对值都是正数 D.对任意一个实数,它的绝对值都不是正数 8.(2026江苏苏州三中月考)命题“∀y∈R,2<y≤6”的否定是(　　) A.∃y∈R,2<y≤6　　B.∃y∈R,y≤2或y>6 C.∀y∉R,2<y≤6　　D.∀y∈R,y≤2或y>6 9.(2026陕西西安曲江第二中学期中)命题“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是(　　) A.所有不能被4整除的整数都是偶数 B.所有能被4整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被4整除的整数是偶数 D.存在一个能被4整除的整数不是偶数 10.“对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是(　　) A.对于任意a≤0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根 B.对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根 C.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根 D.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根 11.(多选题)(2026黑龙江龙东联盟月考)已知命题p:∀x∈N,x2>0,命题q:∃x∈R,x3<x2,则(　　) A.¬p是真命题　　B.q是假命题 C.p和¬q都是真命题　　D.p和¬q都是假命题 题组三　全称量词命题与存在量词命题及其否定的应用 12.(2026广东东莞光明中学月考)已知命题p:∀x∈R,x2+x+a≠0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是(　　) A.a≤　　B.a< C.a<-或a>0　　D.a≤-或a≥0 13.(2026北京大兴期中)命题“∀x∈{x|-1≤x≤2},x2-a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是　　(　　) A.a≥4　　B.a≥3　　C.a≤4　　D.a≥5 14.(2026重庆部分学校联考)已知命题p:∃x0∈R,+m<0为真命题,则实数m的取值范围是　　　　　.  15.(2026天津五十七中月考)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|2a<x<a+3},且B≠⌀,若命题p:∀x∈A,x∉B是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  16.(2026湖南邵阳第一中学月考)命题p:m∈R且m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1≠0,若p与q不同时为真命题,则实数m的取值范围是　　　　　.  17.(2026山东枣庄滕州二中月考)已知集合A={x|-3≤x≤10},B={x|2m+1≤x≤3m-2},且B≠⌀. (1)若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围; (2)若命题q:“∃x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围. 18.(2026陕西咸阳第二中学月考)已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+3x+2-a=0. (1)当p为假命题时,求实数a的取值范围; (2)若p和q中有且只有一个是真命题,求实数a的取值范围. 答案 1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 基础过关练 1.C 2.B　对于A,C,D,含有存在量词“有些”“存在一个”“有一条”,为存在量词命题; 对于B,含有全称量词“每个”,为全称量词命题. 3.C　对于A,当a=0时,方程ax+1=0无实数根,故A错误; 显然B,D是存在量词命题,故B,D错误; 易知C正确. 4.ABD　对于A,因为A⊆B,所以对任意x∈A,都有x∈B,故A是真命题;对于B,因为A不包含于B,所以存在x∈A,使得x∉B,故B是真命题;对于C,当x=+1时,x2=3+2,是无理数,故C是假命题;对于D,当x=时,x3=2,是无理数,故D是真命题. 5.AC　对于A,当x=1时,[2x]=[2×1]=[2]=2,2[x]=2[1]=2×1=2, 故∃x∈R,[2x]=2[x],A正确. 对于B,由x-[x]<1,得x<[x]+1恒成立,B错误. 对于C,∀x,y∈R,0≤x-[x]<1,0≤y-[y]<1,则0≤x+y-([x]+[y])<2, 当1≤x+y-([x]+[y])<2时,0≤x+y-([x]+[y]+1)<1,则[x]+[y]+1=[x+y],则[x]+[y]<[x+y]; 当0≤x+y-([x]+[y])<1时,[x]+[y]=[x+y],因此∀x,y∈R,[x]+[y]≤[x+y],C正确. 对于D,取x=3.6,y=3.7,满足[x]≥[y],而x<y,D错误. 6.解析　(1)存在量词命题.梯形不是平行四边形,所以该命题为真命题. (2)全称量词命题.与x轴平行的直线与x轴无交点,所以该命题为假命题. (3)全称量词命题.对于y=ax2+bx+c(a≠0),当a<0时,其图象有最高点无最低点,所以该命题为假命题. (4)命题可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,含有全称量词“所有的”,故是全称量词命题.以矩形的对角线为直径的圆是其外接圆,所以该命题为真命题. 7.D 8.B　全称量词命题“∀y∈R,2<y≤6”的否定是将∀改成∃,然后否定结论, 即∃y∈R,y≤2或y>6. 9.D　全称量词命题的否定是存在量词命题,且否定结论,所以“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被4整除的整数不是偶数”. 10.D　一方面,将全称量词“任意”改为存在量词“存在”,另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”,即存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根. 11.AD　命题p:∀x∈N,x2>0,当x=0时,x2=0,故命题p为假命题,则¬p:∃x∈N,x2≤0为真命题; 命题q:∃x∈R,x3<x2,当x=-1时,-1<1,故命题q为真命题,则¬q:∀x∈R,x3≥x2为假命题,故A,D正确,B,C错误. 12.A　因为命题p是假命题, 所以¬p:∃x∈R,x2+x+a=0为真命题,可得Δ=1-4a≥0,解得a≤. 13.B　由题意可得,a≥x2(参变分离)对任意x∈{x|-1≤x≤2}恒成立, 即a≥(x2)max=4,因为{a|a≥4}⫋{a|a≥3},所以a≥3是原命题成立的一个必要不充分条件. 14.答案　{m|m<0} 解析　因为命题p:∃x0∈R,+m<0为真命题,所以∃x0∈R,m<-, 故m<(-)max=0, 所以实数m的取值范围为{m|m<0}. 15.答案　{a|1≤a<3或a≤-4} 解析　由B≠⌀,可得2a<a+3,解得a<3,由命题p:∀x∈A,x∉B是真命题,可得A∩B=⌀, 故2a≥2或a+3≤-1,解得a≥1或a≤-4. 综上,a的取值范围是{a|1≤a<3或a≤-4}. 16.答案　{m|m≤-2或m>-1} 解析　当命题p为真命题时,m≤-1, 当命题q为真命题时,Δ=m2-4<0,即-2<m<2, 所以p与q同时为真命题时,有解得-2<m≤-1,(正难则反的补集思想) 故p与q不同时为真命题时,m的取值范围是{m|m≤-2或m>-1}. 17.解析　(1)由命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,可知B⊆A, 又B≠⌀,所以 解得3≤m≤4. 故实数m的取值范围为{m|3≤m≤4}. (2)因为B≠⌀,所以2m+1≤3m-2,得m≥3. 因为命题q:“∃x∈A,x∈B”是真命题,所以A∩B≠⌀, 所以-3≤2m+1≤10或-3≤3m-2≤10,得-2≤m≤. 又m≥3,故实数m的取值范围为. 18.解析　(1)由p为假命题,得¬p为真命题,即∃x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a<0为真命题,故a>x2+x在x∈{x|1≤x≤2}上有解(参变分离),所以a>(x2+x)min,x∈{x|1≤x≤2},易知当x=1时,(x2+x)min=2,所以a>2. (2)由(1)可知,当p为假命题时,a>2;当p为真命题时,a≤2(p为真命题和p为假命题对应的参数范围互为补集). 当q为真命题时,方程x2+3x+2-a=0在x∈R上有解,故Δ=9-4(2-a)≥0,解得a≥-;当q为假命题时,a<-. 所以当p为真命题,q为假命题时,a<-;当p为假命题,q为真命题时,a>2. 所以当p和q中有且只有一个是真命题时,a的取值范围是aa<-或a>2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $