周周练7 章末检测——直线和圆的方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦直线和圆的方程章末检测，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直线倾斜角、垂直平行条件、圆的方程|选择1-4、填空12等基础题，强化概念辨析与基本运算| |进阶层|对称最值、直线与圆位置关系、外接圆|选择5-8、多选9-11，融合多知识点，培养逻辑推理| |提高层|轨迹问题、米勒定理、实际应用|填空14、解答18-19，结合隧道截面等情境，发展数学建模与创新意识|

周周练7　章末检测——直线和圆的方程 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．过两点A(0，4)，B(，1)的直线的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C.因为直线过点A(0，4)，B(，1)，所以直线AB的斜率k＝＝－，设直线的倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tan θ＝－，所以θ＝120°，故直线AB的倾斜角为120°. 2．已知直线l1：ax＋y－1＝0，l2：ax－y＋1＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由l1⊥l2⇒a·a＋1×(－1)＝0⇒a＝±1，所以“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件． 3．(2026·深圳期中)直线l1：ax＋4y－2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则两直线间的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：x＋2y＋1＝0平行，得a＝2，所以直线l1：x＋2y－1＝0与l2的距离d＝＝. 4．(2026·合肥期中)已知点A(－1，1)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0外，则实数m的取值范围是(　　) A．(－3，＋∞) B．(，＋∞) C．(－∞，) D．(－3，) 解析：选D.由圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0，可得(x＋1)2＋(y＋)2＝－m，可得－m>0，解得m<，又由点A(－1，1)在圆外，则(－1＋1)2＋(1＋)2>－m，解得m>－3，综上可得－3<m<，所以实数m的取值范围是(－3，). 5．(2026·赣州期中)已知点A(3，2)，B(－1，4)，在x轴上求一点P，使|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为(　　) A．(，0) B．(，0) C．(－，0) D．(－，0) 解析： 选A.根据题意，作出A(3，2)关于x轴的对称点C(3，－2)，则|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|≥|BC|＝＝2，当点P与B，C共线时等号成立，则由C(3，－2)，B(－1，4)写出直线BC方程：y＋2＝(x－3)＝－(x－3)，再令y＝0得，2＝－(x－3)⇒x＝. 6．(2026·上饶月考)长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线3x－4y－10＝0距离的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.设A(m，0)，B(0，n)，由题意可得，m2＋n2＝4，设AB的中点坐标为(x，y)， 则所以(2x)2＋(2y)2＝4， 即x2＋y2＝1，即线段AB的中点的轨迹是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，圆心到直线3x－4y－10＝0的距离为＝2，所以线段AB的中点到直线3x－4y－10＝0距离的最大值为2＋1＝3. 7．(2026·天津期中)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b，圆上有且只有2个点到直线l的距离为1，则实数b的取值范围为(　　) A．(－3，－1)∪(1，3) B．(－3，－)∪(，3) C．(－5，－3)∪(3，5) D．(－6，－4)∪(4，6) 解析：选B.圆x2＋y2＝4的圆心是C(0，0)，半径r＝2，因为圆x2＋y2＝4上恰有两个点到直线l：y＝x＋b的距离等于1，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d∈(1，3)， 则d＝＝∈(1，3)， 解得－3<b<－或<b<3. 即实数b的取值范围是(－3，－)∪(，3). 8．如图，∠APB为锐角，C，D为射线PA上的两定点，E点为射线PB上的一动点，由米勒定理：当E点为过点C，D的圆与射线PB相切的切点时，∠CED最大．在平面直角坐标系中，若C(0，2)，D(2，4)，点E在x轴上运动，则∠CED最大时，△CED外接圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝9 C．(x－2)2＋(y－2)2＝4 D．(x－2)2＋(y－1)2＝9 解析： 选C.由题意，△CED外接圆的圆心在线段CD的垂直平分线上． 因为CD的中点为(1，3)，直线CD的斜率kCD＝＝1， 所以CD的垂直平分线的斜率为－1，其方程为y－3＝－(x－1)，整理得y＝－x＋4. 设圆心为M(a，－a＋4)，a>0，－a＋4>0，半径r＝|－a＋4|＝|MC|＝， 化简得a2＋4a－12＝0，解得a＝2或a＝－6(舍去).　 此时M(2，2)，半径r＝2，所以△CED外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．已知直线l经过点A(－2，0)，B(－5，3)，则正确的是(　　) A．直线l的方程为y－x＋2＝0 B．直线l的倾斜角为π C．直线l的一个方向向量为(1，1) D．直线l在y轴的截距为－2 解析：选BD.因为直线l经过点A(－2，0)，B(－5，3)，　 所以直线l的斜率为kAB＝＝－1. 对于A，直线l的方程为y＝－(x＋2)，一般式为x＋y＋2＝0，故A错误； 对于B，因为直线l的倾斜角α∈[0，π)，tan α＝kAB＝－1，所以倾斜角α为π，故B正确； 对于C，因为kAB＝－1，所以直线l的一个方向向量为(1，－1)，因为(1，1)与(1，－1)不平行，所以(1，1)不是直线l的一个方向向量，故C错误； 对于D，由选项A知直线l的方程为x＋y＋2＝0，令x＝0，得y＝－2，直线l在y轴的截距为－2，故D正确． 10．已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 解析：选ABD.设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则解得 满足D2＋E2－4F>0，所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，半径为，故A，B正确；因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称，故C错误；因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，所以点(2，3)在圆M内，故D正确． 11．(2026·武汉期中)已知点A(0，2)，B(1，1)，且点P在圆C：(x－2)2＋y2＝4上，C为圆心，则下列结论正确的是(　　) A．|PA|－|PB|的最大值为 B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为x－y＝0 C．当∠PAB最大时，△PAB的面积为2 D．△PAB的面积的最大值为 解析：选BD. 显然点A(0，2)在圆C：(x－2)2＋y2＝4外，点B(1，1)在圆C内，圆C的半径为2，直线AB方程为y＝－x＋2，圆心C(2，0)在直线AB上， 对于A，|PA|－|PB|≤|AB|＝，当且仅当点P是射线BC与圆C的交点时取等号，故A错误； 对于B，以AC为直径的圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，与圆C的方程联立消去二次项得x－y＝0，因此以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为x－y＝0，故B正确； 对于C，当且仅当AP与圆C相切时，∠PAB最大，即PC⊥AP，此时|AP|＝2， ∠PAB＝45°，S△PAB＝|PA|·|AB|·sin 45°＝×2××＝1，故C错误； 对于D，P到直线AB：y＝－x＋2的距离最大值为2，因此△PAB的面积的最大值为××2＝，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．已知点A(－1，2)，B(3，0)，则线段AB的垂直平分线方程为________． 解析：由点A(－1，2)，B(3，0)， 可得kAB＝＝－， 则AB的垂直平分线的斜率为k＝2， 又由AB的中点坐标为(，)， 即中点坐标为(1，1)， 所以线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0. 答案：2x－y－1＝0 13． 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙EA，FD高为2 m，弧顶高MN为5 m．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ________． 解析： 如图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作BG⊥AD，交圆弧于点G，作GH⊥MN于点H，连接OE，OG. 由题可知，MP＝5－2＝3 m，EP＝AD＝3m，GH＝BC＝m. 设OE＝OM＝r m，则OP＝(r－3)m， 在△OEP中，有OE2＝OP2＋EP2， 即r2＝(r－3)2＋(3)2，解得r＝6， 所以OH＝＝＝5 m， 所以MH＝OM－OH＝6－5＝1 m， 所以BG＝NH＝MN－MH＝5－1＝4 m， 故车辆通过隧道的限制高度是4－0.5＝3.5 m．　 答案：3.5 m 14．(2026·永州期中)已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆N是以圆x2＋y2＝1上一点为圆心，半径为1的圆，圆M与圆N交于A，B两点，则当|AB|最大时，∠AMB的大小为________． 解析： 圆N是以圆x2＋y2＝1上一点为圆心，半径为1的圆，所以圆N必经过原点(0，0)， 又因为圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过原点，所以圆M与圆N交于原点，设为A. 当圆M与圆N的相交弦刚好是圆N的直径时，|AB|最大， 此时|AB|＝2，B(2，0)，而M(1，1)， 所以∠AMB＝. 答案： 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线y＝－x＋斜率的2倍；(6分) (2)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成三角形的面积为6.(7分) 解：(1)直线y＝－x＋的斜率为－，所以所求直线的斜率为－×2＝－，故所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0. (2)设直线的方程为＋＝1(a≠0)， 则S＝·|a|·4＝6，解得a＝±3， 故所求的直线方程为＋＝1， 即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0. 16．(本小题满分15分)已知△ABC的顶点A(1，2)，B(3，4)，边AB上的中线所在直线方程为2x＋y－7＝0，边AC上的高所在直线方程为2x－y－2＝0. (1)求顶点C的坐标；(6分) (2)求△ABC的面积．(9分) 解：(1)由题意可知，边AC上的高所在直线方程为2x－y－2＝0，则该直线的斜率为2，又点A(1，2)，所以AC所在直线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 由解得 故C点坐标为(3，1). (2)由|AC|＝＝， 又点B(3，4)，所以点B到AC的距离d＝＝， 故△ABC的面积S＝·|AC|·d＝××＝3. 17．(本小题满分15分)(2026·萍乡期中)已知直线l1：2x－3y＋7＝0与l2：3x＋y－6＝0的交点为P，圆C的圆心在x轴上，且过点P和点Q(3，). (1)求圆C的标准方程；(6分) (2)若过点(－1，1)的直线l与C交于A，B两点，且|AB|＝2，求l的一般式方程．(9分) 解：(1)联立 解得即P(1，3)， 因为圆C的圆心在x轴上， 可设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2(r>0)， 又因为圆C过点P(1，3)和点Q(3，)， 则|CP|＝|CQ|＝r， 即r＝ ＝， 解得a＝1，所以r＝3， 故圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝9. (2)因为|AB|＝2，则圆心C到直线l的距离为d＝＝2， 当l斜率不存在时，直线l的一般式方程为x＋1＝0，此时d＝2，符合题意； 当l斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0， 则d＝＝＝2， 解得k＝，所以l的一般式方程为3x－4y＋7＝0. 综上所述，直线l的一般式方程为3x－4y＋7＝0或x＋1＝0. 18．(本小题满分17分)(2026·重庆期中)已知圆C经过点A(1，2)和B(3，4)，且圆心C在直线x－y－1＝0上． (1)求圆C的标准方程；(4分) (2)设直线l经过点(1，1)，且l与圆C相切，求直线l的一般式方程；(6分) (3)设P(x，y)为圆C上任意一点，求(x－4)2＋(y－3)2的最小值．(7分) 解：(1)由题可知，AB的中点为(2，3)，AB的斜率k＝＝1， 所以AB的垂直平分线方程为y＝－x＋5，又圆心C在直线x－y－1＝0上， 联立解得 所以圆心坐标为C(3，2)，半径为r＝|AC|＝2， 所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4. (2)①当直线l斜率不存在时，x＝1， 即x－1＝0， 经检验当l的方程为x－1＝0时，l与圆C相切，符合题意； ②当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y－1＝k(x－1)， 即kx－y－k＋1＝0，圆心C到直线l的距离为＝2，解得k＝－， 所以l的方程为y－1＝－(x－1)， 即3x＋4y－7＝0. 所以直线l的一般式方程为x－1＝0或3x＋4y－7＝0. (3)由(1)知圆心为C(3，2)，半径为2， (x－4)2＋(y－3)2表示圆上的点P(x，y)到点M(4，3)的距离的平方． 圆心C(3，2)到M(4，3)的距离d＝，圆的半径r＝2，因为d<r，所以M在圆内部， 圆上点到M的最小距离为r－d＝2－，因此所求最小值为6－4. 19．(本小题满分17分)(2026·淄博月考)已知圆C的半径为3，圆心C在射线y＝－2x(x≥0)上，直线l1：x＋y－1＝0被圆C截得的弦长为3. (1)若直线l2⊥l1，且直线l2过点P(2，0)，求直线l2的方程；(3分) (2)求圆C的方程；(5分) (3)若过点P(2，0)的直线l3与圆C交于M，N两点，且△OMN的面积是6(O为坐标原点)，求直线l3的方程．(9分) 解：(1)因为l1：x＋y－1＝0的斜率为k1＝－1，l2⊥l1，　 所以直线l2的斜率为k2＝1， 因为直线l2过点P(2，0)， 所以直线l2的方程为y＝x－2. (2)圆C的半径r＝3，设圆心C到直线l1：x＋y－1＝0的距离为d， 因为直线l1：x＋y－1＝0被圆C截得的弦长为3， 所以3＝2＝2， 解得d＝， 因为圆心C在射线y＝－2x(x≥0)上， 故设C(a，－2a)，a≥0， 所以C到直线l1：x＋y－1＝0的距离为d＝＝＝，解得a＝2， 所以圆心为C(2，－4)，半径为3， 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝9. (3)当直线l3的斜率不存在时，l3的方程为x＝2，此时直线l3过圆心C(2，－4)， 所以|MN|＝2r＝6，原点O到直线l3的距离为2， 所以△OMN的面积是S＝×6×2＝6，满足题意； 当直线l3的斜率存在时，设方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0， 则圆心C(2，－4)到直线l3的距离为d1＝<3，即k2>. 原点O到直线l3的距离为d2＝， 所以弦长|MN|＝2＝2， 所以△OMN的面积是S＝|MN|d2＝·＝6， 整理得25k2＋9＝0，显然方程无解． 综上，直线l3的方程为x＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $