第1章 1.4.2 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用这一核心知识点，系统梳理方向向量、法向量的概念及应用，逐步引导学生掌握利用向量计算线面角、面面角、异面直线所成角的方法，构建从向量运算到空间几何角度求解的学习支架。 该资料题目设计层次分明，从基础选择到综合解答覆盖不同难度，解析过程注重逻辑推理，结合空间直角坐标系培养学生的几何直观与空间观念。例如第4题通过建立坐标系求平面夹角，体现数学思维的推理能力和数学语言的模型观念，课中辅助教师授课，课后帮助学生自主练习、查漏补缺。

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角为(　　) A．40° B．50° C．130° D．170° 解析：选A.因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α所成的角等于130°－90°＝40°. 2．已知平面α的法向量n1＝(1，0，0)，平面β的法向量 n2＝(0，1，0)，则平面α与β的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选D.因为n1·n2＝1×0＋0×1＋0×0＝0，所以n1⊥n2，故α⊥β，所以平面α与平面β的夹角为90°. 3．在空间直角坐标系Oxyz中，向量a＝(1，－1，m)，b＝(1，3，0)分别为异面直线l1，l2的方向向量，若l1，l2所成角的余弦值为，则m＝(　　) A．± B．± C．± D．± 解析：选C.设l1，l2所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝ ＝＝，解得m＝±. 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝6，AA1＝4，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D. 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，4)，E(2，0，2)，D(0，6，0)，＝(0，6，－4)，＝(2，0，－2)， 设平面A1ED的法向量为n1＝(x，y，z)， 所以即 取x＝1，则y＝，z＝1，故n1＝(1，，1). 因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝，故平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为. 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2，D为棱B1B上的点，若直线A1C与直线DC1所成角的余弦值为，则BD的长为(　　) A．1 B． C． D． 解析： 选A.以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，2)，C1(0，2，2)，C(0，2，0). 设D(2，0，t)，0≤t≤2，则＝(0，2，－2)，＝(－2，2，2－t)， 所以|cos 〈，〉|＝＝＝， 解得t＝1(负值已舍去)，故BD的长为1. 6．(多选)在三棱锥P-ABC中，P(1，1，0)，A(2，0，1)，B(0，2，1)，C(0，0，0)，则(　　) A．||＝ B．向量与夹角的余弦值为 C．向量n＝(1，1，－2)是平面ABC的一个法向量 D．PB与平面ABC所成角的正弦值为 解析：选ACD.因为P(1，1，0)，B(0，2，1)，所以||＝＝，故A正确； 因为A(2，0，1)，B(0，2，1)，C(0，0，0)，所以＝(2，0，1)，＝(0，2，1)，所以cos 〈，〉＝＝＝，故B错误； n＝(1，1，－2)，因为·n＝2×1＋0×1＋1×(－2)＝0，·n＝0×1＋2×1＋1×(－2)＝0， 所以n＝(1，1，－2)是平面ABC的一个法向量，故C正确； 因为＝(－1，1，1)，所以PB与平面ABC所成角的正弦值为|cos 〈，n〉|＝＝＝，故D正确． 7．已知平面α的一个法向量为a＝(x，1，2－x)，直线l的一个方向向量为b＝(0，11，0)，则直线l与平面α所成角的正弦值的最大值为________． 解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a，b〉|＝＝＝＝， 当x＝1时，sin θ取得最大值，最大值为. 答案： 8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则异面直线EB1与AD1所成角的余弦值为 ________． 解析： 不妨设正方体的棱长为2，EB1与AD1所成的角为θ，以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(2，1，0)，B1(2，2，2)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，则＝(0，1，2)，＝(－2，0，2)， 设异面直线EB1与AD1所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝＝. 答案： 9．如图所示，在圆锥SO中，AB是底面圆直径，且SO＝AB＝4，AC＝BC，则平面ASB与平面SBC夹角的余弦值为 ________． 解析： 连接OC，因为AC＝BC，则OC⊥AB，以O为坐标原点，OC，OA，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则S(0，0，4)，B(0，－2，0)，C(2，0，0)，O(0，0，0)，＝(2，0，－4)，＝(2，2，0)， 设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝2， 可得y＝－2，z＝1，所以n＝(2，－2，1)， 平面ASB的一个法向量为＝(2，0，0)， 设平面ASB与平面SBC的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，即平面ASB与平面SBC夹角的余弦值为. 答案： 10．(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝2. (1)求直线PB与直线CD所成角的大小；(7分) (2)求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．(6分) 解：(1)由于PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD， 由于AB⊥AD，所以AB，AD，PA两两垂直． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，＝(2，0，－2)，＝(－2，2，0)，设直线PB与直线CD所成的角为α， 则cos α＝＝＝， 由于0<α≤，所以α＝. (2)由(1)知，A(0，0，0)，＝(0，4，－2)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)， 设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)， 则得z＝0，令x＝1，得y＝－1，所以n＝(1，－1，0)， 设直线PD与平面PAC所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝. 11．(2025·泰安期中)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，则直线PN与平面ABC所成的角的正弦值最大为(　　) A． B． C． D． 解析：选D. 如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则P(λ，0，1)，N(，，0)，＝(－λ，，－1)， 平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)， 设直线PN与平面ABC所成的角为θ， 则sin θ＝＝， 所以当λ＝时，直线PN与平面ABC所成的角的正弦值最大，最大值为. 12．(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是棱CD上的动点(含端点)，则(　　) A．三棱锥A1-AB1E的体积为定值 B．EB1⊥AD1 C．二面角E-A1B1-A的大小为 D．存在某个点E，使直线A1E与平面ABCD所成的角为 解析：选ABC.对于A，三棱锥A1-AB1E即为三棱锥E-AA1B1，其底面积为定值， 因为平面AA1B1B∥平面DD1C1C，E∈平面DD1C1C，所以点E到平面AA1B1B的距离不变，即三棱锥E-AA1B1的高不变，所以三棱锥A1-AB1E的体积为定值，故A正确； 对于B， 建立如图所示的空间直角坐标系，设DE＝t(0≤t≤1)，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，E(0，t，0)，因为＝(1，1－t，1)，＝(－1，0，1)，·＝－1＋(1－t)×0＋1＝0， 所以EB1⊥AD1，故B正确； 对于D，取平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)， 因为A1(1，0，1)，＝(－1，t，－1)， 设直线A1E与平面ABCD所成的角为θ，则sin θ＝＝＝≤， 当t＝0时，(sin θ)max＝，这时直线A1E与平面ABCD所成的角θ最大，最大值为，故D不正确； 对于C，设平面EA1B1的法向量为m＝(x，y，z)，＝(0，1，0)，＝(－1，t，－1)， 所以即 令x＝1，可得m＝(1，0，－1)，易知平面AA1B1的一个法向量为p＝(1，0，0)， 则|cos 〈m，p〉|＝＝＝，由图可知二面角E-A1B1-A为锐二面角，所以二面角E-A1B1-A的大小为，故C正确． 13．(15分)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，A1B1＝2，AB＝AC＝4，D为BC的中点，AC⊥C1D. (1)证明：AC⊥AB；(7分) (2)若AA1＝2，求平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值．(8分) 解：(1)证明：在三棱台ABC-A1B1C1中， 因为A1B1＝2，AB＝AC＝4，所以A1C1＝2，BC＝2B1C1，BC∥B1C1. 因为D为BC的中点，所以B1C1＝BD，又B1C1∥BD，所以四边形BDC1B1为平行四边形， 故BB1∥C1D. 因为AC⊥C1D，所以AC⊥BB1. 因为AA1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC， 所以AA1⊥AC. 因为AA1，BB1⊂平面ABB1A1，AA1，BB1为相交直线，所以AC⊥平面ABB1A1， 因为AB⊂平面ABB1A1，所以AC⊥AB. (2) 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，4，0)，B1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D(2，2，0)，所以＝(－4，4，0)，＝(－2，0，2)，＝(0，2，2)，＝(2，2，0). 设m＝(x1，y1，z1)是平面BCC1B1的法向量， 则即 取m＝(，，1). 设n＝(x2，y2，z2)是平面ADC1的法向量， 则即 取n＝(，－，1). 所以|cos 〈m，n〉|＝＝， 所以平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值为. 14．(15分)如图，在圆柱O1O2中，AB是底面圆O2上的一条直径，P，Q分别是底面O2，O1圆周上的一点，PQ∥O1O2，AB＝2PQ，且点P不与A，B两点重合． (1)证明：平面APQ⊥平面BPQ；(6分) (2)若二面角A-O1O2-P的大小为60°，求直线BQ与平面PQO1所成角的正弦值．(9分) 解：(1)证明：因为AB是底面圆O2上的一条直径， 所以AP⊥BP， 因为O1O2⊥底面圆O2，PQ∥O1O2， 所以PQ⊥底面圆O2， 因为BP⊂底面圆O2，所以PQ⊥BP， 因为AP∩PQ＝P，AP，PQ⊂平面APQ， 所以BP⊥平面APQ，因为BP⊂平面BPQ，所以平面APQ⊥平面BPQ. (2)因为O1O2⊥底面圆O2，AO2，PO2⊂底面圆O2， 所以O1O2⊥PO2，O1O2⊥AO2，又平面AO1O2∩平面PO1O2＝O1O2， 所以∠AO2P为二面角A-O1O2-P的平面角， 故∠AO2P＝60°，又AO2＝PO2，所以△APO2为等边三角形，以P为坐标原点，PB，PA，PQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 设AB＝2，故AP＝AO2＝PO2＝PQ＝1，PB＝＝， 则B(，0，0)，Q(0，0，1)，P(0，0，0)，O1(，，1)，＝(，0，－1)，＝(0，0，1)，＝(，，1)， 设平面PQO1的法向量为m＝(x，y，z)， 则 解得z＝0，令x＝1，得y＝－， 故m＝(1，－，0)， 设直线BQ与平面PQO1所成角的大小为θ， 则sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝＝， 即直线BQ与平面PQO1所成角的正弦值为. 15．在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.已知平面α的方程为x－2y＋z－7＝0，直线l是两平面x＋y＋2＝0与y－z＋2＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为__________． 解析：由题可知平面x－2y＋z－7＝0的一个法向量n1＝(1，－2，1)，平面x＋y＋2＝0的一个法向量n2＝(1，1，0)，平面y－z＋2＝0的一个法向量n3＝(0，1，－1). 设直线l的方向向量为l＝(x，y，z)， 因为直线l是两平面x＋y＋2＝0与y－z＋2＝0的交线，则有l⊥n2，l⊥n3， 即 取x＝1，则l＝(1，－1，－1)， 设直线l与平面α所成的角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈l，n1〉|＝＝＝，故直线l与平面α所成角的正弦值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $