1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究距离问题，涵盖点到直线、点到平面、平行直线及平行平面间的距离。课堂导入通过几何学距离定义的情境问题，衔接平面距离知识，以问题链驱动公式推导，结合例题与训练形成递进式学习支架。 资料特色在于以问题探究引导数学抽象，规律方法总结强化数学运算，分层训练题提升直观想象。拓展异面直线距离深化理解，助力学生构建知识体系，培养逻辑思维与解决问题能力，符合新课标核心素养要求。

第一课时　用空间向量研究距离问题 课标要求 情境导入 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题（数学抽象、数学运算）． 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算、直观想象）． 　　几何学中，经常需要计算两个图形间的距离．一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫做这两个图形的距离．空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等．计算距离是空间度量最基本的问题．如何用向量方法求解这些距离呢？ 知识点一　点到直线的距离 问题　回忆一下，在平面中，若直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何求点P到直线l的距离？ 点到直线的距离： 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设=a，则向量在直线l上的投影向量=（a•u）u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ=　　　　　　=　　　　　　． 【微思考】 如何求两条平行直线之间的距离？ （链接教材P34例6（1））如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB=AB=2BC=4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A．2　 B．2 C．　 D．4 听课记录　　 　　 　　 规律方法 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的单位方向向量u； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量a； （4）利用公式d=计算点到直线的距离． 训练 1　（1）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若BB1=2，AB=2，则点C到直线AB1的距离为　　　　　； （2）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则直线FC1到直线AE的距离为　　　　． 知识点二　点到平面的距离 问题　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 点到平面的距离：如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ=　　　　　　=||=　　　　　　． 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （1）求||； （2）求点C到平面AEC1F的距离． 规律方法 用向量法求点面距的步骤 （1）建系：建立恰当的空间直角坐标系； （2）求点坐标：写出（求出）相关点的坐标； （3）求向量：求出相关向量的坐标（，平面α的法向量n）； （4）求距离：d=． 训练 2　（2026•福州福九联盟联考）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SO=AB=4，AC=BC，D为SO的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为（　　） A．　　 B．　　 C．1　　 D．2 知识点三　直线、平面到平面的距离 问题　类比求平面内两条平行直线间距离的方法，你认为如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？ 1.如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为　　　　　　的距离求解． 2.如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为　　　　　　的距离求解． 提醒：只有线面（面面）平行时，才有线面（面面）距． （链接教材P34例6（2））如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N分别是OA，BC的中点，求直线MN到平面OCD的距离． 变式 　在本例中，再取AD的中点R，求平面MNR与平面OCD的距离． 规律方法 　　求直线、平面到它的平行平面的距离，先在直线、平面上找到一点，然后转化为求点到平面的距离，且这个点要适当选取，以求解最简便为准则． 训练 3　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． （1）求证：B1D⊥平面ABD； （2）求证：平面EGF∥平面ABD； （3）求平面EGF到平面ABD的距离． 1.已知直线l过定点A（2，3，1），且n=（0，1，1）为其一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（　　） A．　 B． C．　 D． 2.已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n=（1，0，1），平面α内一点C的坐标为（0，0，1），直线AB上的点A的坐标为（1，2，1），则直线AB到平面α的距离为　　　　． 3.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（1，2，3），且两平面的一个法向量为n=（－1，0，1），则两平面间的距离是　　　　． 4.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，BB1=3，求点B1到平面A1BC1的距离． 　异面直线间的距离 通过教材P49复习参考题17题，我们知道线段AA′的长度为异面直线a与b的公垂线段的长度，也就是直线a与b间的距离． 【问题探究】 1.你认为该如何定义异面直线间的距离？ 2.通过教材P49复习参考题17题的解题过程，你能总结出求异面直线间距离的一般方法吗？ 【迁移应用】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，M，N分别为CD，BB1的中点，试求直线MN到直线A1B的距离． 完成课后作业　第一章　1.4　1.4.2　第一课时 答案 第一课时　用空间向量研究距离问题 知识点一　 导入新知 问题　提示：如图，设=a，则向量在直线l上的投影向量=（a•u）u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ==． 学习新知 　 微思考 提示：可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线之间的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解． 【例 1】　A　如图，以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，4，0），P（0，0，4），故=（2，0，－4），=（0，4，－4），所以在上的投影向量的长度d===2，故点C到直线PA的距离h===2，故选A． 训练 1　（1）　（2）　解析：（1）设AC的中点为O，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B1（0，，2），C（－1，0，0），=（－1， ，2），=（－2，0，0），所以点C到直线AB1的距离为 ==． （2）以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系（图略）．易知FC1∥AE，∴直线FC1到直线AE的距离等于点C1到直线AE的距离．易得C1（0，1，1），A（1，0，0），E（0，0，）．∴=（1，－1，－1），=（－1，0，）．∴直线AE的单位方向向量为v==（－，0，），设=m，则点C1到直线AE的距离为=．∴直线FC1到直线AE的距离为． 知识点二　 导入新知 问题　提示：过点P作PQ⊥平面α，垂足为Q，则线段PQ的长度就是点到平面α的距离，而∥n，所以向量在法向量n方向上的投影向量的长度就等于线段PQ的长度，即PQ=． 学习新知 |•|　 【例 2】　解：以D为原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1）， C1（0，4，3），=（0，4，1）． （1）设F（0，0，a），由=，得（－2，0，a）=（－2，0，2），所以a=2，所以F（0，0，2），=（－2，－4，2），所以||=2． （2）设n=（x，y，z）为平面AEC1F的法向量，=（－2，0，2）， 由得 取z=1，则n=（1，－，1），又=（0，0，3）， 所以点C到平面AEC1F的距离为d==． 训练 2　B　连接OC， 因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，由圆锥的性质可知SO⊥平面ABC．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则S（0，0，4），B（0，－2，0），C（2，0，0），N（0，1，1），=（2，2，0），=（0，2，4），设平面SBC的法向量为n=（x，y，z），则取y=－2，可得平面SBC的一个法向量为n=（2，－2，1）．又=（0，3，1），所以点N到平面SBC的距离为d===． 知识点三　 导入新知 问题　提示：在直线上或其中一个平面上取一定点，则该点到另一个平面的距离即为直线与平面或两平行平面之间的距离． 学习新知 1.点P到平面α　2.点P到平面β 【例 3】　解：因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（2，2，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0）， 所以=（2，0，0），=（0，－2，2）， 设平面OCD的法向量为n=（x，y，z）， 则取y=1， 可得n=（0，1，1），又=（2，1，－1）， 所以•n=0，因为MN⊄平面OCD，所以MN∥平面OCD，所以直线MN与平面OCD的距离为点N到平面OCD的距离． =（0，1，0），点N到平面OCD的距离为d===，所以直线MN到平面OCD的距离为． 变式　解：由例题可知，R（0，1，0），=（－2，0，0），•n=0， 因为NR⊄平面OCD，所以NR∥平面OCD． 因为MN⋂NR=N，MN，NR⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD，所以平面MNR与平面OCD的距离即为点N到平面OCD的距离，即为． 训练 3　解：（1）证明：如图所示，由条件知，BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz， 则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA=a，则A（a，0，0）． ∴=（a，0，0），=（0，2，2），=（0，2，－2）， ∴•=0，•=0＋4－4=0. ∴B1D⊥BA，B1D⊥BD， 又∵BD⋂BA=B，BD，BA⊂平面ABD， ∴B1D⊥平面ABD． （2）证明：由题意知E（0，0，3），G（，1，4），F（0，1，4）． ∴=（，1，1），=（0，1，1）， ∴•=0＋2－2=0，•=0＋2－2=0. ∴B1D⊥EG，B1D⊥EF， 又EG⋂EF=E，EG，EF⊂平面EGF， ∴B1D⊥平面EGF， 又平面EGF与平面ABD不重合， 结合（1）可知，平面EGF∥平面ABD． （3）由（1），（2）知，=（0，1，4）， =（0，2，－2）是平面ABD的法向量， ∴点F到平面ABD的距离为d===． 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， ∴两平面间的距离为． 随堂自测 1.A　=（－2，0，－1），||=，=，则点P到直线l的距离d===． 2.　解析：因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，易知=（1，2，0），所以点A到平面α的距离为==，即直线AB到平面α的距离为． 3.　解析：因为两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（1，2，3），故=（1，2，3），又两平面的一个法向量为n=（－1，0，1），所以两平面间的距离d===． 4.解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A1（4，0，3），B1（4，6，3），B（4，6，0），C1（0，6，3）， =（－4，6，0），=（0，6，－3），=（0，6，0）． 设平面A1BC1的法向量为n=（x，y，z）， 则即 取x=1，解得n=（1，，）． ∴点B1到平面A1BC1的距离为d==． 【教材挖掘】 问题探究 1.提示：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线间的距离． 2.提示：求异面直线间距离的一般步骤： ①求出与a，b都垂直的向量n； ②在直线a，b上任意取点A，B，得到； ③套公式得d=||． 迁移应用 解：以A为原点，AD，AB，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图． 则M（3，2，0），N（0，4，1），A1（0，0，2），B（0，4，0），即=（－3，2，1），=（0，4，－2）．由题意可知MN与A1B为异面直线，设MN，A1B公垂线的方向向量为n=（x，y，z），则有⇒令y=1，则z=2，x=，即n=（，1，2），|n|=．又=（－3，－2，2）在n上的射影的长度为d====．即直线MN到直线A1B的距离为． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $